争鸣：向量法不会削弱对空间想象能力的要求，本文主要内容关键词为：向量论文,能力论文,空间论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
笔者在历届高三立体几何专题复习中经过仔细调查发现，大约有80%左右的学生只要遇到立体几何问题，不论是让解决什么问题，都是不假思索的建系求坐标，首选向量法，哪怕是特别简单的问题，学生也是如此.向量法果真神奇，引领那么多学生和老师为其倾倒.之所以我们提倡和推崇向量法，是因为它不仅是通性通法，更因为它在现代数学中具有重要的作用.因此，有些老师就产生疑虑：这样下去，会不会失去立体几何原有的魅力，从而削弱对学生空间想象能力的培养？带着这样的思索，才陡升奇想，特撰拙文.
随着高中新课程标准的全面推行，对高中学生的空间想象能力和推理论证能力的要求和以前大纲版教材相比有所变化，把重点转移到了运算上.特别是随着空间向量知识在新课标教材中的引入，使得立体几何中论证和运算问题变得程序化了，从而使立体几何中的求解策略在以往传统综合法的基础上又增加了以向量为工具的向量方法.向量方法又可分为基向量法与空间坐标向量法.然而，向量法也并不见得像某些报刊上大肆渲染的是最好做的一种方法，实际上和传统的综合法一样，向量法固然有很多优点和长处，但也有弊端，因此在解题的过程中如何选择恰当的方法，是我们所关心的问题.为了解决这些问题，下面笔者先比较一下这三种方案在求异面直线所成的角时的区别，然后再以典例说明这三种解题方案的在解决不同问题时的异同，分析一下每种方案的适用条件、繁简和难易程度等，以有利于在求解立体几何问题时理性地选择最佳方案.通过仔细研究，笔者认为向量法不会削弱对空间想象能力的要求.
二、三种方案的分析比较
三、典例展示
例1 如下页图1，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为边长为1的菱形，∠ABC=
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离.
方法一（综合法）
（Ⅰ）略.
（Ⅱ）∵CD∥AB，
（Ⅲ）略.
方法二（坐标形式向量法）
作AP⊥CD于点P，如图2，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
（Ⅲ）略.
方法三（基向量法）
（Ⅰ）略.
（Ⅲ）略.
剖析：若从传统几何法来考虑，可以考虑平移一条或两条来构造异面直线AB与MD所成的角.但不管采取哪一种构角方案都得计算DP和MD长度，而从已知条件想求出DP和MD的长度是相当费劲的，需要很强的空间思维能力及识图、添辅助线的能力，如果缺乏良好的空间想象能力和空间位置关系知识比较淡薄，是难以求出DP和MD的长度的，所以难点在于如何通过转化求出DP和MD求长度；若从构建直角坐标系的角度来考虑，容易选择AB与AO作为坐标系的其中两条轴，但第三条轴在哪？与几何体中的线面有何关系？是需要明确的，是难点之一，否则写不出点D坐标.另外最难地方恐怕还是点P坐标定位，是难点之二；若从基向量的角度来考虑，容易找到长度与夹角都已知的共点基向量，思维自然流畅，解题过程程序化，既培养了学生空间思维能力，又提高了学生的运算能力，一箭双雕，但要求学生有很强的运算能力.从上面的解法来看，向量法还是学生较容易接受一些，并不一定就削弱和降低了对空间想象能力的要求.之所以学生习惯于向量法，笔者认为，它把纯几何问题通过向量转化成代数问题，充分体现了向量的工具性，同时在解题过程中又渗透了数形结合、转化与化归等重要数学思想方法.
例2 如图3，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10.
（Ⅰ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离.
剖析：本题主要考查空间中的线面平行、线面垂直以及点到直线距离等问题，考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力和应用所学知识对问题的探究能力，同时考查考生利用基向量法解决问题的能力.通过构造空间基向量，利用共线向量基本定理，考查了考生的空间想象能力，提高了他们的空间想象能力，同时利用空间向量的线性运算，又考查了考生的运算能力；在探求问题的过程中培养学生分析转化的能力.在利用空间坐标法的过程中，建系中对考生的空间想象能力要求更高，需要通过两平面垂直及其他条件找出三条共点且两两垂直的直线来构建空间直角坐标系，并求出和设出相应点的坐标，这本身对考生的空间想象能力要求就很高，符合新课程标准对考生能力的要求，并有利于培养和发展学生的空间想象能力.
例3 如图4，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.
分析：要求是否存在点使得二面角为直二面角，可首先作出直二面角的平面角，再根据二面角的平面角的两边与二面角的棱互相垂直，利用数量积为零，再结合已知条件求出是否满足E点使得二面角A-DE-P为直二面角就可以了.
解：由于PA⊥底面ABC，所以选取
为空间的一组基向量.
由于PA⊥底面ABC，所以选取为空间的一组基向量.
（Ⅱ）设直线AD与平面PAC所成角为θ，
（Ⅲ）∵二面角A-DE-P为直二面角，
∴作PF⊥DE于F点，连结AF，则AF⊥DE，即PF⊥AF.
剖析：本题通过直线和平面垂直的判定、直线和平面垂直的性质、直线与平面所成的角、二面角及其平面角等众多知识载体，着意考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，考查空间向量及其坐标运算、两向量垂直的充要条件，考查化归与转化的思想，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.主要考查空间位置关系和空间角与距离问题求法，注意基向量的选取，以及空间向量的线性运算和数量积运算等，注重培养学生逻辑思维和空间想象及向量运算等能力.利用向量法不仅可以求出是否存在点E，而且还可以确定E点的相对位置，这是综合法所不能实现的，这也就是向量法的优越性所在，因此向量法更不会削弱对考生空间想象能力的要求.
从以上例子可以知看出，每种方法都各有优劣，正如综合法有“构角”与“求三角形边长”两大难点，基向量法有“方向向量的基底表示”与“方向向量的模与数量积书写冗长繁琐”两大难点一样，空间直角坐标法也有“建系”与“相关点坐标确定”两大难点.应该讲向量是一种很好的工具，但并不是万能的.那么面对一个具体题目，我们只有熟悉三种方案的各自适用范围，以及依据题目已知条件、隐含条件定性三种解法中为了求得相关元素的量来一个难度比较，才能在求解问题时趋利避害，快速理性地选定最佳方案.
通过以上的分析比较，三种解题策略就好像情同手足的三个兄弟一样，谁也离不开谁，他们相互扶持，共同进步.有时候把三种方案结合在一起使用，效果可能更好些，然而向量法在现代数学中的重要作用，是其他方法无可替代的，因而在现代数学教学中应当鼓励学生更好的选择向量法.
四、教学建议及启示
三种方案是解决空间几何问题常用方法，到底如何恰当地选择不同的方法，笔者认为在教学中应切实处理好如下几方面的工作：
1.当异面直线所成角不好找或求三角形边长冗繁时，可考虑用向量方法.
2.当基向量的模不全知（或长度关系未知）或基向量之间的夹角（或夹角关系）未知时，考虑用综合法.
3.难以借用给定几何体中的两线或三线建立直角坐标系或点坐标难以确定时，可用基向量法或综合法.
4.空间向量作为一种工具，对解决立体几何问题是很有好处的，但我们教学时不能顾此失彼.有些立体几何问题的处理，虽然用向量方法比用综合法简单易行，但教学中注意，不能因为有了向量法，就摒弃传统的思想方法，并不是所有的立体几何体都能用向量法来解决，更何况向量法未必就比综合法简单，在平时的教学中，教师应通过典例让学生对比辨析，让他们自己鉴别各种方法的优劣.
5.不论用哪种方法，细节上需要讲究.如用综合法求一点到平面的距离时，可以用等体积法或平面的法向量替代；用空间向量的坐标运算时，虽然运算过程程序化，但对学生的运算要求较高，用法向量求二面角大小时，最好用棱的法向量，因为用面的法向量有时不可靠，学生难以把握等等.
6.在新课标教材中之所以把向量法提高到一个很重要的位置，是因为向量法是通性通法，符合新课程的理念.同时它又是研究现代数学的重要工具，符合现代科学发展的需求，而且为学生今后的学习和工作奠定了基础，因此使用向量法不但不会降低对学生空间想象能力的要求，相反还会更加合理地渗透重要的现代数学思想方法，以适应现代数学发展的需求.
五、结束语
从几何学的发展看，研究方法的进步是标志.实验几何用归纳实验发现空间的本质；推理几何用演绎法，以逻辑推理探索新知，并将几何整理成公理化体系；坐标解析几何用坐标法研究几何性质，不但将几何与代数简明有力地结合起来，开创了近代数学的先河，而且导致微积分的产生，解析法在自然现象的研究中也得到广泛使用；向量几何本质上是坐标解析几何的返璞归真，最大优越性在于向量运算的正交不变性，由于几何学研究的是空间所有保长变换所构成的变换群的不变量理论，因此向量是最有力工具.向量几何是不依赖于坐标系的解析几何，它自然而然地化解了由坐标系的选取所引入的各种（非几何的）非不变量的困扰.因此，向量法很重要，代表了几何发展的方向，这样先进的工具应让学生学习.
另外，高中以学习向量几何为主已是世界潮流，西方好多国家在很早以前就已经这样做了，我们在高中阶段学习向量几何不是赶时髦，而是为了反映数学发展的趋势和信息化社会对公民数学素养的需求.
总之，高中几何应以向量几何为主，综合法在初中平面几何中已得到很好的训练，目前的问题是大家对向量法的优美和力量注意不够，需要我们加强研究，改变习惯思维和做法，使向量几何真正融入高中数学，成为主角，不要害怕向量法会降低对空间想象能力的要求.通过研究发现，向量法不仅不会削弱对学生空间想象能力的要求，相反在寻求基向量和建系求坐标的过程中还可以培养学生的空间想象能力，同时提高学生的运算能力，真可谓一箭双雕.
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