浙江省苍南县树人学校 浙江 温州 325800
摘 要：数学建模是初中数学六大核心素养之一，数学建模不光体现在应用数学模型解决实际问题，更体现在平时的解题过程中。可以说，在数学的学习过程中，处处都有数学模型。在平时教学中，积累基本的数学模型，在解决难度比较大一些的题目中把复杂问题模型化，从复杂的题目中提炼出基本的模型，能达到化繁为简、化陌生为熟悉的目的，最终回归到数学的本原。
关键词：核心素养 基本模型 拓展变式 回归本原
一、题目原型再现
（浙江省苍南中学自主招生试题）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H。
（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长。
（2）若直线FH交⊙O于点G：①当FH∥BE时，求AE的长。②在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由。
1.题干中模型的提炼
题目中，BE是⊙O的直径，∠A是直角，所以点A在圆周上；连接EF，则∠BFE也是直角，所以这里有第一个模型“直径所对的圆周角是直角”（图1）。在Rt△EFC中，FH⊥CE，所以这里又有一个“子母型”相似模型（图2）。
图1.直径所对的直角模型图2.子母型相似模型
以上直接从题干中提取出来的两个模型，对解决后面的问题有至关重要的作用。
2.巧提中位线模型，解决问题（1）
问题（1）中，FH是⊙O的切线，所以连接OF，则必有OF⊥FH。又问题1：本题中，点E是动点，矩形ABCD是固定的，FH⊥CE，所以OF∥EC。因为O是BE中点，所以出现“中点+平行线=中位线”模型（图3），因此BF=2.5，易知四边形ABFE是矩形，所以AE=AF=2.5。
3.掘“K型相似”解问题（2）
问题：若直线FH交⊙O于点G，当FH∥BE时，求AE的长；因为FH∥BE，FH⊥CE，所以BE⊥CE，再加上∠A、∠D是直角，所以“K型相似”（图4）就出现了，所以△BAE与△EDC相似。设AE=x，则DE=5-x = ,即 =，解得：x=1或4。
4.模型思想显神威——压轴的破解
问题：若直线FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由。
分析：△OFG是等腰直角三角形，很容易想到分类讨论，但点F、G均在圆周上，所以OF=OG，所以只有当∠FOG=90°时，△OFG是等腰直角三角形。因为点E是动点，G是直线FH与⊙O的交点，所以分两种情况讨论。
点G在BC上方时，如图，学生在做题的过程中很难将∠GOF=90°这个条件利用起来。于是引导学生联想一个基本的模型，如图5：
图5图6
所以连接BG，就得到了“同弧所对圆心角与圆周角”模型（图5），如图6，所以∠GBF= ∠GOF=45°。因为∠BFG和∠EGB都是直角（直径所对的圆周角是直角），所以△BFM和△MGE是等腰直角三角形。设AE=x,则BF=x,于是MF=BF=x。
思路一：BG= 2BF= 2x,EM=2-x，EG=MG==，BG=BM+MG= （2+x）。因为可证△BGE与△CFE，所以 = ，代入求出x＝ （舍去大于5的根）。
思路二：过点G作EF的垂线，表示出GN、FN，由“子母型”相似模型和“共角型”相似模型，得到△FGN与△CFE相似，所以 = ，代入亦可求出x。
简析：其实在解决这个问题过程中通过辅助线补出了相似模型和等腰直角三角形（图7、8），
图7 图8
点G在BC下方时，解决这类问题往往第一种情况对第二种情况具有方向作用，课堂里面需要做好引导，并积累这类例子。本题中：如图9，连接BG，交EF延长线于点M（所标尽量保持与前面一样，方便与解题和过程书写），过点G作EF的垂线GN，因∠GBF= ∠GOF=45°，所以△BFM和△GNM是等腰直角三角形。同上面的过程得到BF＝ 。
二、类比拓展，生成新问题
教师：最后一个问题是等腰直角三角形问题的讨论，是否存在△OGF是其他三角形的情况呢？
学生：等边三角形。
于是，引发了学生的解题热，纷纷画出图形（图10、图11），然后投入到解决问题中。
图10 图11
在解题过程中，学生只要模仿前面的思路，不难得到正确答案，跟原题的不同点就是把“1∶1∶ 2”模式换成了“1∶2∶ 3”模型（解法类似，篇幅限制，不再赘述，读者自行尝试）。
三、关于解题教学中通过模型思想回归本原的思考
回归本原主要包括回归教材、回归学生和回归目标。
1.通过模型思想，回归教材。数学模型的积累，来自于平时教材中的点滴积累。教材中虽没有指名道姓是什么模型，然而我们在教学中很有必要从中提取出来。例如：让学生看到含30°的直角三角形，马上就知道它的三边之比是1∶2∶ ３。数学模型思想，如同是数学的灵魂贯穿于题目的始终，它是解决现实问题的重要工具，更是学生解决考试中压轴题型必不可少的思想和方法。一道复杂的几何题型，往往可以将图形分解为若干基本模型，然后各个击破。在平时教学中渗透模型思想、渗透核心素养，在数学学习中可以帮助学生理解数学学习的意义并解决问题，让学生回归到解决问题的本原，也就是回到教材中来。
2.通过建立模型，回归学生。根据《义务教育初中数学课程标准》的指导思想：（1)“义务教育阶段数学课程的设计，要充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考。”初中学生的思维特点，以形象思维为主，抽象思维能力不足，通过模型思想，化抽象为形象，学生更容易理解，解题时更容易想到。（2)“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。在解题教学中，要体现以学生为主体。
3.通过建立模型，回归目标。不管习题课还是平时的课题，最终都要回归到学生的目标达成之中，通过模型思想，提炼出基础模型，不光能达成三维目标和双基目标，还能渗透核心素养，发展学生的能力。
参考文献
[1]钱德春 解题教学应关注思维方式与思维心理[J].中学数学教学参考（中旬），2008，（10），2-5。
[2]刘生根 解题教学教学：“寻源”方可“显流”[J].中学数学教学参考（中旬），2019，（3），40-42。
论文作者:袁文平
论文发表刊物:《中小学教育》2020年第387期
论文发表时间:2019/11/14
标签：模型论文; 直角论文; 角形论文; 学生论文; 数学论文; 求出论文; 本原论文; 《中小学教育》2020年第387期论文;