巧添辅助线，妙解初中平面几何题，本文主要内容关键词为：平面几何论文,初中论文,辅助线论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在几何学中，为了解答疑难几何问题，在原有图形的基础上添加的具有重大作用的线段或直线称为辅助线。添加辅助线的目的就是在原本不相关的题设条件之间建构一座桥梁，使这些条件环环相扣，指引我们顺着这座桥梁到达成功的彼岸。因此添加辅助线是解决几何问题的重要手段，添加的方法也非常之多，那么如何添加才能将题目化繁为简、化难为易呢？这就需要我们多做、多练、多反思、多总结，不断积累经验，才能做到举一反三、触类旁通、闻一知十。下面笔者通过举例说明几种常见的添加辅助线的方法。
一、截长补短
要证明两条线段之和等于第三条线段或两条线段之差等于第三条线段时，可以在长的线段上截取一条和两条短的线段中某一条相等的线段，证明长的线段上剩下的线段和短的线段中另一条相等，这就是截长补短的思想。
例1 如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD。
图1
分析：本题中，要证明两条线段之和等于第三条线段，可以利用截长补短的思想，即在CD线段上截取一条线段与AB、CD线段中其中一条相等。那么，怎样截取好呢？我们来观察一下题目，因为观察可以导致发现，可以揭示某些原则、模型或规律。我们看到，在CD左边有一线段BD，所以可以在CD线段左端截取一条线段DE与BD相等，这样就可以构造成一个等腰△ABE，接下来只要根据题目中的条件去证明CE=AB就行了。
证明：在CD上取一点E，使BD=DE，连接AE。因为AD⊥BC，BD=DE，
所以AB=AE，∠B=∠AED。
又因为∠AED=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，所以∠C=∠CAE，所以AE=CE，所以AB+BD=AE+DE=CE+DE=CD。
二、对称变换
通常在求两条线段之和的最大值或最小值的时候，可以利用轴对称的性质，通过对称变换，找出其中一条线段的对称线段，再去求变换后的线段和未变换的线段之和的最大值或最小值。
例2 如图2，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。
图2
分析：本题中，要求两条线段之和的最小值，可以利用对称变换的思想方法，正方形是关于对角线对称的图形，在这里，正方形ABCD关于对角线AC对称。因为本题要求的DN和MN均在AC的右上方，这样加起来不太方便，所以可以根据对称性将点M关于对角线AC的对称点M'找出来，再去求DN+M'N的最小值，这样计算起来就比较方便。
解：在BC上取BM'=2，连接M'N。
因为点M'是点M关于对角线AC的对称点，所以MN=M'N,
所以DN+MN=DN+M'N。
此时，连接DM'，交AC于点N'。
因为三角形两边之和大于第三边，
所以DN+M'N＞DM',
所以当点N运动到N'时，DN+M'N取到最小值DM'。
三、构造特殊三角形
对于某一类几何问题的解决，常需用到某种题设条件中没有的三角形，这些常用三角形有等腰三角形、等边三角形和直角三角形。因为这些三角形都是特殊的三角形，它们自身都具有重要的性质，运用这些特殊三角形的特殊作用，达到化难为易的目的。
例3 （2004重庆数学竞赛）如图3，在三角形ABC中，∠C=90°，∠CAD=30°。AC=BC=AD，求证：CD=BD。
分析：本题中，要证明两条线段相等，很显然，根据已知条件无法得出CD=BD，这时可以将CD按顺时针方向旋转60°，构造一个等边三角形来证。
图3
证明：以C为旋转中心将CD按顺时针方向旋转60°至CO，连接CO、DO、AO，可知△COD为等边三角形。
因为AC=AD，∠CAD=30°，∠C=90°，∠DCO=60°，所以∠ACO=∠BCD=15°。
因为AC=AD，CO=DO，AD=AD，
所以△ACO≌△ADO(SSS)，
又因为AC=BC，CO=CD，∠ACO=∠BCD=15°，所以△ACO≌△BCD(SAS)，
所以∠CBD=∠CAO=15°，
所以CD=BD（等腰三角形等角对等边）。
四、构造三角形“三线”
所谓三角形“三线”是指三角形的中线、角平分线、中垂线，遇到等腰三角形，就会出现底边上“三线合一”的情况了。在有关三角形的问题中，添加这些线段具有非常重要的作用，另外，三角形的中位线也具有非常重要的作用。
例4 如图4，已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD=AD。AC=AB，∠ADB=90°，求证：∠CAB=30°。
分析：本题中，并不能直接看出条件之间的相互关系，但是在这里，根据条件我们知道△ADB是等腰直角三角形，等腰直角三角形具有十分重要的性质，就是底边上的中线等于底边的一半，我们可以作出底边的中垂线，到这里，这道题就迎刃而解了。
证明：过点D作DF⊥AB，垂足为点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G。
因为BD=AD，∠ADB=90°，DF⊥AB，
图4
又因为AB∥CD，DF⊥AB，CG⊥AB，
所以四边形CDFG为矩形，
所以CG=DF，所以在Rt△ACG中，CG=DF=
AC，所以∠CAB=30°。
例5 如图5，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，F是DE的中点，证明：AF⊥BE。
图5
分析：本题中，要证AF⊥BE，但是AF、BE并不在同一个三角形内，怎样添加辅助线呢？我们可以通过F点构造一条与BE平行的线段，根据条件F是DE的中点，因此我们可以在△BDE中构造中位线FG，此时我们只需证明AF⊥GF即可。这就是中位线的重大作用。
证明：作BD的中点G，连接AG、GF。
因为AB=AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC，∠BAD=∠DAE。
又因为DE∠AC，所以△BAD∽△DAE。
又因为F是DE的中点，G是BD的中点，
所以△GAD∽△FAE，
所以∠GAD=∠FAE，
所以∠GAF=∠DAE。
又因为∠CDE=∠DAE，
所以∠CDE=∠GAF。
因为
，∠CDE=∠GAF，
所以△GAF∽△CDE，
所以∠AFG=∠DEC=90°，
所以AF⊥BE。
五、构造圆
通常在证明两角之和等于180°或证明某个角为直角时，可以构造三角形的外接圆或内切圆，利用同弧对应的圆周角相等，圆心角是圆周角的2倍来求解问题。特别地，当四边形对角相加等于180°或以某定点为起点的3条以上线段长度相等时，可以通过四点共圆构造圆。
例6 如图6，在△ABC中，D为AC边上的中点，∠BDC=2∠BAD，BD=a，BC=b，求AB边的长度。
图6
分析：这里，根据∠BDC=2∠BAD，且两个角对应的线段是同一条线段，我们就可以将两个角放在一个圆中进行考虑，根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，我们可以知道点D就是△ABC的外接圆的圆心，接下去就顺理成章了。
证明：作△ABC的外接圆。
因为∠BDC=2∠BAD，
所以点D为外接圆的圆心，所以AC、BD分别为外接圆的直径和半径，∠ABC=90°，
所以AC=2BD=2a，所以
六、旋转
通常在证明线段之间的关系或角之间的关系时，可以利用旋转变换的思想来改变图形的位置，但不会改变图形中线段的长度和角的大小。将图形进行适当的旋转之后，能使题目条件之间的关系变得更加明朗，以利于问题的解决。
例7 如图7，△AOB与△A'OB'都是顶角为100°的等腰三角形。K、L、M分别为AB、BB'、B'A'的中点。求∠KLM的度数。
图7
分析：本题中，读一遍题目，好像无从入手，再读一遍，还是无从入手。或许通过特殊情况的列举，我们能猜出答案，但是这种做法是不严谨的。那么，怎样做到严谨又简洁呢？这里我们可以观察这两个三角形都是顶角为100°的等腰三角形，并且有一个公共点O，那么我们可以通过某种方法使两个三角形重合，那就是这里所说的旋转了，这样本题做起来就简单多了。
解：连接AB'、BA'，交于点N。
因为△OAB'≌OBA'(SAS)，
∠AOB=∠A'OB'=100°。
所以将△OAB'绕O点逆时针方向旋转100°将与△OBA'重合，此时AB'也绕O点逆时针方向旋转100°将与BA'重合，
所以∠ANB=100°，∠ANA'=80°。
又因为LM∥NA'，KL∥AN（三角形中位线性质），
所以∠KLM=∠ANA'=80°。
七、构造相似三角形或全等三角形
通常，当几何题中涉及线段之间或者角度之间的比例关系时，就可以应用构造相似三角形或全等三角形来解决。
例8 如图8，在正三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的一个三等分点，AE交CD与P，求证：BP⊥CD。
图8
分析：本题中，要求证∠BPD为直角，但是题设条件中并没有某个角为直角，这里，我们不妨采用科学研究的一般方法来解决数学问题，即提出猜想——验证猜想的过程，我们可以构造一个直角，然后去证明这个构造的直角和∠BPD相等。那么证明两个角相等有哪些方法呢？通常我们可以用相似三角形或全等三角形对应角相等，但结合本题条件，要想构造一个与△BDP全等的三角形比较难，于是我们可以构造一个与△BDP相似的三角形。根据图中线段之间的比例关系，再结合这个正三角形，我们作BC边或AB边的中垂线，然后去验证构造的三角形与△BDP相似。
证明：过点A作AF⊥BC于点F，令正三角形ABC边长为3a。
因为∠ADP=∠AEB，∠PAD=∠BAE，
所以△ADP∽△AEB，
所以AE·DP=AD·BE=a。
又因为DB·EF=a，
所以AE·DP=DB·EF，
且∠BDP=∠AFE，
所以△BDP∽△AFE，所以BP⊥CD。
以上种种技巧，只要留心，不难掌握。学习数学，不仅要学习已有的（别人的、书上的）技巧，更要培养良好的观察能力，自己创造技巧。当然，除了上述这些常用的方法之外，还有很多其他添加辅助线的方法，我们需要把握住重要的定理和概念，经常总结规律，以至于灵活运用。遇到不同的问题，我们就要选择不同的方法，有时也需将几种方法结合使用。我们知道辅助线对于几何问题的解决具有必不可少的作用。怎样提高添加辅助线的能力呢？我想，除了多练习多思考多总结，没有其他更有效的方法了。
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