刘春华 湖北省公安县孟溪初级中学 434300
摘 要：平面几何是初中数学的重要内容，对学生数学学习习惯的养成、数学兴趣的培养及数学能力的形成都有特别重要的意义。如何添加辅助线解决全等三角形的相关问题，这是教师与学生都需要思考的问题。因此，本文就全等三角形问题中常见的辅助线的作法进行探讨。
关键词：全等三角形 常见问题 辅助线作法
全等三角形作为数学学习中一类具有典型特性的图形，一直是数学问题的重点，针对全等三角形问题中常见的辅助线的作法，一直是初中数学教学的重点，因此探析全等三角形问题中的常见的辅助线的作法具有至关重要的意义。
全等三角形问题中常见的辅助线的作法：截长补短法、倍长中线法、角平分线法等。
一、截长补短法
1.截长法：可在较长的线段上截取一段，使它与其中的一条线段相等，再利用全等证明，余下的等于另一条线段。
2.补短法：也可在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另一条较短的线段，再利用全等证明，延长的线段等于那一条线段。
例1：已知，如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B =2∠C．求证: AB + BD = AC。
图1 图2 图3
分析，线段AB,BD ,AC所在的两个三角形明显不全等，因此需要添加辅助线来帮助解决问题。
方法一：截长法（如图2）
解答思路: 在AC 上截取AE=AB,连接DE. 构造全等三角形△ABD≌△AED, 证明BD = EC即可。
方法二：补短法（如图3）
解答思路: 延长AB到F,连接DF,使BF=BD，构造全等三角形△ADF≌△ADC，证明AC=AF即可。
二、倍长中线法
遇到三角形的中线或一边的中点，可加倍延长中线，使延长部分与原中线相等，构造全等三角形。
例2：已知，如图4，△ABC中，AB=12，AC=8，则中线AD的取值范围是多少？
图4
解答思路: 延长AD到E,使AD=DE, 连接BE，构造全等三角形△ADC≌△EDB,证明AC=BE,在△ABE中，根据三角形三边关系，得出AD的取值范围。
三、角平分线法
常常过角平分线上一点作角的两边的垂线，构造全等三角形。
例3：已知：如图5，在△ABC 中，AD是∠A的平分线，E、F 分别为AB、AC上一点，且∠EDF+∠BAF=180°，求证：DE=DF。
图5
分析：线段DE,DF所在的两个三角形明显不全等，且有角平分线AD,则可作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,构造全等三角形△DGE≌△DHF即可。
四、全等三角形辅助线做法的口诀
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
数学几何问题的解决中，当题目给出的条件不够时，我们就需要通过添加辅助线构成新的图形，建立新的关系，让分散的条件集中，在已知条件与未知条件中间建立一座桥梁，将问题进行转化，变成自己能力范围内的可解决的问题。
参考文献
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[2]余尚友 全等三角形添加辅助线的几种方法[J].云南教育（中学教师），2015，（09），25-27。
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[4]李琴堂 构造全等三角形的基本思路[J].中学生数学，2003，（12），27-28。
论文作者:刘春华
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年1月总第254期
论文发表时间:2018/1/24
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