基于三种学习理论整合的数学概念教学设计，本文主要内容关键词为：三种论文,教学设计论文,学习理论论文,概念论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学概念是数学的基石，是学生认知的基础，是学生开展数学思维活动的载体.国内外学者通过不同的学科角度，对如何学习数学概念提出了许多理论.然而，目前各个学习理论基本都是“各自为政”，缺乏“沟通”与“交流”，这不免使一线教师面临着选择的困惑，即不知运用何种学习理论能较好地指导数学概念教学.通过比较与分析不难发现：这些理论往往既有共同处，又存在差异性；每种理论既有长处和优势，也存在一定的缺陷和不足.所以单一的学习理论已不能满足复杂教学的需要，教师在进行数学教学设计时，应充分考虑各理论的合理性与不足之处，汲取各种理论的精髓，在有利于学生数学认知的情况下，对各种理论进行整合，以此来作为指导教学设计的理论基础.为此，本文以APOS理论、多元表征理论与变式教学理论为基础，尝试探寻三者的共同特征与联系，将三者“凝聚”于数学概念教学设计之中. 一、三种学习理论整合的必要性 APOS理论是由杜宾斯基等人提出的一种基于建构主义的学习理论.该理论认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经历以下4个阶段：操作（action）阶段，过程（process）阶段，对象（object）阶段，图式（scheme）阶段.[1]该理论解释了数学概念学习的本质，指明了概念建构的层次，也强调了建构的最终结果.从数学学习心理学角度分析，APOS理论的四个学习阶段是合理的，反映了学生学习数学概念过程中的真实的思维活动.但对于每个阶段如何深化数学概念学习的过程、应采取怎样的教学策略促进对数学概念的内化等方面略显不足. 对于数学多元表征，不同学者有不同的观点，但多数学者认为数学多元表征，大致可分为言语化表征和视觉化表征两类[2]，前者如符号表征、文字表征等，后者如图形表征、情境表征、操作表征等.多元表征是通过多种形式的表征及各表征之间的转译和转换，帮助学生对数学知识从多角度、多层面来进行认识，使对同一数学知识的不同信息互相补充，丰富学生的数学知识的网络结构，从而达到优化已有认知图式的目的.但多元表征理论主要侧重于从静态的角度来刻画数学知识的学习，对于数学知识学习的层次性、过程性等特点，它缺乏系统全面的描述和刻画，因而有待用其他理论进行补充，以实现不同学习理论之间的互补. 变式教学是指在教学过程中通过变更概念的非本质特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律的一种教学策略.顾泠沅教授将变式教学划分为概念性变式与过程性变式.[3]就概念学习而言，变式教学主要是通过在教学中使用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征.目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念.通过概念的变式教学，有利于排除背景干扰，凸显事物本质属性，明晰概念外延，让学生真正理解和把握数学概念.结合多元表征理论来研究变式教学，将会进一步深化对变式教学理论的认识，如针对不同表征方式展开相应的变式教学等，从而可以在联系与整合当中丰富对理论内涵的认识. 因此，APOS理论可通过多元表征及变式教学，使每个阶段的学习目标顺利实现.在数学多元表征的教学中，可借助APOS理论的指导来了解学生真实的思维活动，可利用变式教学来深化对数学知识本质的理解.而变式教学通过各种多样化的表征方式，可进一步凸显数学概念的本质，并借助于APOS理论使得概念的理解建立在过程与结果统一的基础之上.所以将三种学习理论有机整合，并凝聚于概念教学设计当中，可清楚地了解学生的思维处于哪个阶段，做好学生的思维水平之间的过渡，有效处理每个层次上出现的“思维危机”，从动态和静态、过程和结果等多个方面，加深对数学概念本质的理解. 二、三种学习理论整合的可能性 1.APOS理论与变式教学 在APOS理论的四个阶段中，操作阶段主要是呈现数学概念的实例，在活动中进行思考的阶段；过程阶段实质上是对实例进行概括和提炼，将特殊“活动”内化为一般“过程”的阶段.在这两个阶段，变式教学可以通过对实例或活动的变式，来帮助学生积累活动经验，逐步从具体提升到抽象层面.在从过程“凝聚”为对象阶段的过程中，也可以通过各种过程变式之间的差异与联系来把握概念的内涵与外延，实现对数学概念的多角度的理解.而数学概念的图式是通过操作、过程、对象所形成的一种存在于学生头脑中的认知结构，包括概念的实例、抽象的过程、完整的定义及其符号，以及它和其他概念的区别和联系.数学概念图式的最终建立，离不开“操作”和“过程”这两个重要环节，而变式教学是执行“操作”和“过程”这两个环节最有效的教学形式. 2.APOS理论与多元表征 现代心理学的研究表明，概念的“心理对应物”在大多数情况下并非相应的形式定义，而是一种由多种成分组成的复合物，即概念意象，而概念意象的建立依赖于多元化的心理表征.数学概念要被学生合理地内化、成为自身的知识结构体系的一部分，那么教学就应围绕建立多元化的心理表征来展开，其中包括情境表征、操作表征、过程表征等，这就需要凸显知识的过程性，而不是机械地灌输形式化的定义.而APOS理论注重“操作”内化为“过程”、“过程”压缩为“对象”的步骤，恰为多元表征的建立提供了可能.同时，在基于APOS理论的概念教学中，适当地运用多元表征及表征的各种转换，也能反过来促使“操作”内化为“过程”、“过程”压缩为“对象”的顺利跨越. 3.多元表征与变式教学 多元表征学习通过表征转换与转译来加强数学理解，而变式教学是通过改变数学概念的非本质属性来达到理解数学概念的目的.多元表征更强调的是数学的非形式化的学习，通过建立丰富的概念意象来达到正确认知的目的；而变式教学更倾向于数学的形式化的学习，通过紧扣概念的形式化定义的各种变式来达到对概念的深刻理解.二者采用不同的方式来达到共同的目的，可谓殊途同归.不难看出，将二者整合起来可使所要理解的数学概念更加丰富，避免理解的浅化、窄化和偏化，从而更好地把握数学概念的本质. 从以上分析可以看出，三种学习理论的最终目的都是为了把握知识的实质，使学生对数学概念达到真正理解的目的.变式教学需要多元表征来支撑，非形式化的多元表征需要具有本质主义倾向的变式教学来引领，而APOS理论的四个层次的顺利实现，则离不开变式教学与多元表征.将三种学习理论有机地整合在一起，更有助于对数学概念学习过程的科学把握. 三、三种学习理论整合的途径探析——以函数概念学习为例 通过对APOS理论、多元表征理论及变式教学理论的分析，可以看出三者各具特色，存在一定的互补性.将三者进行有效整合，其方式应是多种多样的.下面以函数概念的学习为例，通过以APOS理论为纵向、多元表征及变式教学理论为横向，来具体探析一种整合的途径和策略.（其模式如下图所示）
函数是中学数学的核心概念，它将中学许多知识点紧紧围绕在一起，正如韬尔在研究中指出：函数概念是一个典型的数学认知根源，但函数并不是一个容易理解的概念.[4]特别是对于刚进入高一的学生来说，他们要适应从“变量说”过渡到“对应说”是较为困难的.高中利用集合的语言刻画函数概念，学生需要理解函数的三要素以及符号y=f（x）的意义才能理解函数的本质.因此，教师需深入钻研教材，理解函数概念的深层次结构，将学习理论有效地运用到教学设计当中，才能达到较为理想的教学效果. 1.操作阶段 为了让学生寻求事物的共同属性，教师可创设适当的问题情境，从学生已有的知识经验出发来进行认知.例如让学生观察函数y=2x+1和y=
，在理解这两个函数过程中，需要用具体的数字构造对应：2→5，3→7，4→9，5→11…；2→4，3→9，4→16，5→25…此对应可通过描点来画图（操作表征与图象表征），也可利用信息技术通过动态演示来让学生充分感受外部刺激，理解函数的变化规律及对应关系.并列举生活中符合y=2x+1和y=
的例子，通过情境变式来观察、总结活动的实质，使学习者回顾函数的变量说. 数学教学是数学活动的教学，理解数学概念需要活动或操作.该环节通过情境变式以及操作表征、图象表征等多种表征方式，使学生充分感受变量之间的关系，体会函数的对应关系，在活动中个体通过反思对感知到的对象来进行内化. 2.过程阶段 在活动阶段学生可能会举出许多用解析式表示的例子，在问题“函数关系都可以用解析式表示吗”的引导下，举出用图、表表示的函数实例，通过教材的三个实例让学生判断能否构成函数，以此来进一步理解函数的概念，顺利地实现从函数的“变量说”到“对应说”的过渡. 例1近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.下图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞面积从1979-2001年的变化情况.臭氧层空洞的面积是时间的函数吗？（人教A版数学必修1P15）
例2国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表中恩格尔系数随时间变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.城镇居民的恩格尔系数（%）是时间（年）的函数吗？（人教A版数学必修1P16）
设计意图 例1和例2通过图象表征及表格表征来呈现函数的实例，具有直观形象等特点.初中接触的主要是用解析式来表示的函数，用图象和表格表示的函数学生并不能立即接受，特别是表格表示更是如此.台湾学者陈盈言指出“教材中有关函数概念与表格表征间的联结相当薄弱，除了代入求值与画函数图形有表格的出现外，似乎没有从表格表征来判断是否为函数的例子.”因此需要通过表格表征来加强与函数概念间的联结. 例3 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律为h=130t-5
.炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？（人教A版数学必修1P15） 设计意图 该问题以文字表征和符号表征呈现，学生要理解其中的对应关系相对较困难.此时需要教师引导学生审清题意，启发学生把文字、符号信息转换成图象信息，并通过几何画板（或图形计算器等）演示动态过程，通过图象得出t与h的取值范围，实现函数概念表征之间的转换与转译. 过程阶段是整个教学环节最重要的部分，个体经过不断重复“操作”，抽象出活动对象的共同属性.本阶段从典型、丰富的具体实例出发，与学生原有的认知结构产生冲突，引起学生的积极思考，从而引导学生用集合及对应的语言来刻画函数概念，将函数概括为一般的对应过程：x→f（x），从而得到函数的定义.函数解析式具有抽象性、简洁性等特点，图象和表格具有直观、形象具体等的特点，将言语化和视觉化这两种表征结合起来，可有效促使学生在多元表征的转换与转译中实现对函数概念本质的理解.关于这一点，莱什（Lesh，1981）曾通过以下框架来做了解释.不难看出，可以通过实际生活情境的变式来引领表征的转化，可以通过多元表征来支撑变式教学.
3.对象阶段 经过前面两个阶段的内化和反思，函数的概念与学生认知结构中的已有观念建立起了一定联系.为了进一步抽象和概括出函数的严谨定义，这时可通过设问y=
是否为函数以及现在所学的函数概念与初中的函数概念有什么区别等，让学生意识到函数的本质是“对应”.同时返回到过程阶段，让学生思考三个实例中的对应关系分别是什么，通过对该问题的深度理解，把握函数的本质属性. 在理解符号y=f（x）时，学生有时会出现困惑：f和x是否为相乘关系？这时教师可以通过文字表征及操作表征解除学生的错觉，即f代表自变量与因变量的对应关系，对于定义域内任意的x（在黑板上写下x），通过对应关系f（在黑板上写出f( )，刚才的x被括号括在其内），对应出一个y（在刚才的式子前写下y=），整个过程就完成了.关于这一点，教师可通过“输入—输出”模型，让学生头脑中建立起f与x作用的形象表征. 在给出函数概念的定义后，针对函数概念的内涵与外延，可设计一些辨析型问题，通过对这些问题的讨论与解决，让学生明确概念的内涵，深化概念的理解. 题1 下列图象中不能作为函数y=f（x）图象的是（ ）
设计意图 借助于图形表征，通过图形变式，让学生认识函数概念中“单值对应”的本质属性，使学生理解函数概念中对“对应”方法所作的特殊要求，以健全学生的函数概念的意象. 题2 下列说法正确的是________. ①函数f（x）=x与g（t）=t表示同一函数. ②函数f（x）=x与f（x）=
表示同一函数. 设计意图 题2中对于①而言，有部分学生会认为是不同函数.出现这样的问题，主要是学生未深刻认识到形式与内容的关系.对于②而言，学生也往往只从函数的表面形式来考查，而认识不到对应关系的实质或函数定义域的重要性.通过上述2个变式，可加深学生对函数概念的理解，在“美丽”的错误中发掘问题的根源所在. 对象阶段是对事物抽象出的本质进行精致化的过程，需要经过过程的内化、过程的压缩、对象的实体化等三个阶段.本节课主要是借助以上实例，让学生经历过程的内化和压缩阶段.在后续学习中，还会把函数y=f（x）当作一个完整对象来进行操作，这相对学生来说更为困难.如“给定一函数f（x）的解析式，计算f[F（x）]”“已知函数f3-2x）的定义域为[-1，2]，求f（x）的定义域”等，这些困难均可采用变式训练和恰当表征的方式来进行克服. 4.图式阶段 任何一个数学概念都不是孤立的存在，因此需将所学的知识纳入学生已有的认知结构中，将分散的知识联系起来.此时的函数概念，以一种综合的心理图式存在于学生的脑海里，在数学知识体系中占有特定的地位.这一心理图式含有具体的函数实例、性质、抽象的过程、完整的定义，甚至与其他概念（如方程、图象、曲线等）的区别与联系. 在本阶段，教师进行课堂小结，指导学生根据以往的知识基础以及经验画函数的概念图，通过概念图使函数以视觉化方式呈现出来，使各个表征之间建立联系，让学生对函数概念有整体性的认识，即它既有代数的特征（函数的解析式），数的特征（函数的列表方式），也有几何的特征（函数的图象），符号特征（y=f（x）），以及通俗的形象化特征（输入—输出箱）.并结合一定的变式训练等，多方位地丰富完善概念，使函数概念成为后续学习的一个稳固的知识固着点. 综上可见，通过汲取三种学习理论自身的优点，寻找一个契合点将其融合在数学概念教学设计当中，将有助于深化对数学概念教学的认识，科学地把握数学概念建构的过程，有效提升数学概念教学设计的质量，提高数学概念教学的效果.
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