数学试题：基本特性及测量依据——从一次期中试题说起，本文主要内容关键词为：期中论文,测量论文,性及论文,试题论文,数学试题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
某名校高一数学期中考试，因试题整体要求偏高，多数学生的成绩不及格.家长会上，大家对学校的数学教学质量提出质疑，言辞激烈.一次期中考试居然引发了一场小规模的冲突，可见，作为教学质量评价的试卷已超越了教学本身，具有一定的社会效应.作为数学教师，必须学习一些教学测量理论，提高试卷命制水平，多一份担当责任的意识.
一、数学试题的基本特性和命制原则
（一）基本特性
1.社会性和开放性.在上述案例中，被考对象学生属于弱势群体，但因为“无辜”受挫，赢得了家长的同情；家长作为一个特殊群体，向学校倾诉和施压，于是通过组织系统，由上而下追查原因，最终命题教师从个体的强势者——考试的主宰者，转化为“受害者”.作为教师，只有充分认识到试题的社会性和开放性，才能在观念上重视、行动上认真.
2.不确定性和非线性.首先，命题和考试本身属于随机事件，抽取样本虽然是可控的，但又是不确定的；其次，数学知识与思想方法的整合，又会使考查内容呈指数式的扩张；再加上模糊数学的模型，导致不确定性和非线性.因此，命题时一定要具备科学的眼光、务实的作风和谨慎的态度.
3.多元性和生成性.考查内容的多元性，试题及相关组合的多样性以及学生学情的变化，使得命题的过程和终端结果都呈现出多元性和生成性，这是后现代课程的基本特征.
4.介入性和趋利性.随着民主程度的提高，社会上各种人群都会积极介入到对考试和试卷的评价上，不同背景的人对待评价的态度是有差异的，但趋利性（包括个体和群体的利益）是共同的特点.
5.学术性和导向性.只有不断积累命题的经验，才能增强命题的预见性；科学规范命制过程，才能避免命题的随意性；通过考后的各项统计指标，反思命题成功的经验和失败的教训，才能使命题不断走向成熟，体现出良好的教学导向.
（二）命制原则
1.试题要以数学课程标准和教学要求为依据，以数学教材为主要参考材料.
2.试题取样应具有代表性，能体现测试内容的范围和要求，有较大的覆盖面，各内容之间的配比合理，突出教学重点.
3.试题数量恰当，多数考生能恰好完成.
4.试卷难度合适、坡度合理，适合多数学生；试题一般应有多种解法，其中以通法为主，兼顾巧法，让各种层次的学生展示其思维能力.
5.要建立严格的审核机制，尤其是个人研制的原创性试题，一定要让其他教师做一做、磨一磨，以防出错.
6.试题的表述必须清楚明白，力求做到用词准确、文字扼要、叙述明了.
7.要制订合理的评分标准，力求做到条理清晰、公平公正、利于批阅.
二、数学试题的测量依据
（一）难度是先行指标
所谓难度，是指试题的难易程度，文章开头所说的案例中，学生受挫的原因就是试题的难度过大.对单个题目，难度系数P的计算公式P=
中，X为考生在某一题目上的平均得分，W为该题满分.影响题目难度的因素较多，一般的，将难度系数大于或等于0.7的试题定为容易题；难度系数大于0.4、小于0.7的试题，定为中档题；难度系数小于或等于0.4的试题，定为难题.对整个试卷，难度P的计算公式P=中，X为样本平均得分，W为试卷总分.笔者通过实践，总结出控制试卷难度的几个步骤：首先，规定每个题号的难度系数作为入选试题的依据；整卷试题命制完成后，根据自己的判断，再对每一道题的难度系数作进一步估测，然后乘上该题分值的权重，最后得出预估的平均分，以保证试卷的难度系数达到要求.案例中出现的问题，就是因为试卷难度失控.
（二）区分度是核心指标
所谓区分度，是指试题对考生心理特征的区分能力.对于选拔性考试而言，区分度是其核心指标，单个试题的区分度D的计算公式为：
，其中，
为27%高分组的平均分，
为27%低分组的平均分，W为试题分数.试卷的区分度，则是将全体考生得分从高到低排列，将得分最高的27%的考生定为高分组，得分最低的27%的考生定为低分组，再分别计算各组的平均分，得分率之差即为试卷的区分度.作为高一、高二的期中、期末考试，是介于水平性和选拔性两者之间的考试，因此只能确定部分试题（如40%～50%的试题）突出区分度，以体现导向作用，其余试题应为达标要求.案例中试卷的题目几乎都是中档题，每道题的区分度较好，但整卷的区分度却不理想，说明学生的错误具有弥散性.
（三）信度是公平指标
所谓信度，是指使用同一试卷对考生重复测验时，或两个平行试卷对考生测验时，所得测验分数的一致性和稳定性程度，亦即测量的结果是否真实、客观地反映了考生的实际水平.信度除了要说明成绩的真实性之外，还要说明题目涉及的内容与教学的相关程度.影响信度的主要因素是测量中因抽样的变动性、随机事件的偶发性及系统性而引起的误差.为了提高试题的信度，通常会依据不同的难度要求，对课本上的一些例题、习题加以删减、拼凑、组合和改造.同时，还要从知识的交汇处出发，融合多种数学思想方法，设计一些原创题，以考查学生的思维品质、探索能力、自学能力和创造能力.试题的配比则由考试的性质决定.
（四）效度是有效指标
所谓效度，是指考试有效性的质量指标，即是否考了要考的内容，试题难度、区分度是否适宜，是否达到了预定目的等.这其中，内容效度最为关键，因为考试内容或材料是反映考生能力的载体，这和试题命制有极大的关系.当相关显著时，就能相对地说明该次考试结果和考生的实际能力水平联系紧密；反之，相关系数过低，就表示这次考试的成绩与考生本身所具有的实际能力没有什么显著联系，从而从量的关系上说明了该次考试所反映的考生能力特征或实际水平很不明显，这就很难说明这次考试可以作为正确和有效的测量手段.案例中试卷的效度较差，主要是因为试题整体要求过高，导致考查内容远离学生的实际水平.
此外，还有一些测量指标，如平均分、方差、及格率、频率分布分别是试题的难度、区分度、信度、效度的另一种表现形式，这些数据更通俗易懂且便于采集.但由于考试在前，统计在后，因此，要在考试之前对试卷的这些指标作出预测，难度较大.其中，既有对考生宏观学情的把握问题，也有经验积累和操作规范等问题.以难度为例，数学知识的抽象度、类似知识的干扰性、解题方法的新颖性、试题的综合程度、运算量和阅读量的大小、逻辑推理的要求、涉及变量的多少、几何图形的复杂性等，都是影响试题难度的因素，平时应通过统计的手段，积累把握试题难度规律的经验，反思命题失误的教训，把好试卷质量关.
三、对案例中若干试题的评析
（一）基础题的数量、位置及到位程度
下面的例1、例2、例3分别是案例中试卷的前三题.
此题虽属常见题，但综合性较强、干扰性过大，难度系数为0.68，其实是一道中档题.它主要考查集合的表示法、运算及二次函数的值域，其中描述法的理解是难点.许多学生误认为求交集就是求两个函数图象交点的坐标，于是错答成｛0｝、｛-1，1｝等.事实上，两个集合中的y只是表示代表元，它们分别表示对应函数的值域，即A=[-1，+∞），B=（-∞，1]，于是A∩B=[-1，1].
事实上，高一学生的认知水平处于具体运算向形式运算的过渡阶段，加上学生考试的心理变化，起点题一般应以一个知识点的检测为主，这就是所说的“送分送到手”.受江苏高考数学试卷的影响，目前各类数学考试的题量都是14道填空题和6道解答题.一般地，填空的前5题和解答的前2题应突出基础性，难度系数在0.9左右.案例中试题的难度出入较大.
（二）变式题的变化程度与适应情况
众所周知，把课本题改编为考试题，能起到遏制题海、回归课本的良好导向作用，但要注意的是，课本题的难度也不尽相同.一般地，填空的第6～10题，应选择练习和习题中的题加以改编，以确保难度系数在0.8左右.这两道变式题略偏难，与题目的综合性、思想性、新颖性和理解力有关.
（三）应用题的阅读长度和建模要求
例6（第17题）某公司生产一种产品每年投入成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元.经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t百件时，销售所得的收入约为5t-
（万元）.
（1）若该公司的年产量为x百件（x＞0），试把该公司生产并销售这种产品所得的利润表示为年产量x的函数.
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
（3）要使公司不亏损，年产量应是多少？
成本、收入和利润的概念，在苏教版高中数学必修1第二章第6节“函数模型及其应用”中作了详细的介绍，学生并不陌生.出现大量错误，是因为在建模时忽视了x＞5时，利润y=5×5-12.5-0.5-0.25x，从而没有找到分段函数的模型.这说明学生的阅读理解能力较为欠缺.应该说，该题具有良好的导向性，但难度系数为0.42，已接近难题的指标，与题号不匹配.
此外，还要看探索题的隐蔽程度和思维空间、整卷的运算量和推力要求等.若是在高三复习阶段，案例中的每一道题都很精彩，但由于是针对高一新生，就缺乏合理的坡度，难度系数与题号严重不匹配，造成了“好题成堆酿成灾”的局面.
数学试题命制是一项专业性和技术性很强的工作，一张试卷除了评价师生教与学的情况外，还必须发挥对教学的良好导向作用.为此，命题时应突出基础性，体现大众数学的思想；同时要有一定的综合性，以适应数学的整体性；还要关注数学的应用性，以强调数学的工具性；还要渗透探索意识，适度体现能力立意，培养学生的创造性思维.