主题研究方法与研究思路的试题--以一种新型的解析几何为例_数学论文

指向学科研究方法和研究思路的试题命制——以一类解析几何新题型为例，本文主要内容关键词为：解析几何论文,为例论文,学科论文,试题论文,思路论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      笔者参加了“国培计划2013”骨干教师高端研修项目，北京市特级教师张鹤先生的讲座“有意义的教学是观念性的教学”让人印象深刻，其中提到一种现象：有些教师在“椭圆的性质”课例中，直接画出图形然后让学生观察椭圆的性质，而不是根据标准方程来研究椭圆的性质进而画出图形.无独有偶，2012年第六届全国高中数学青年教师教学观摩与展示活动在黄山市举行，一位参赛教师在展示“正弦函数的性质与图象”课例时，也是给出图形，由学生观察并热火朝天地“发现”正弦函数的性质，而不是先从“数”的角度研究正弦函数的奇偶性、单调性、周期性等，再由性质得到正弦函数的图象这个“形”.一线课堂教学中这种对数学学科知识的研究方法和研究思路的处理本末倒置的现象让笔者陷入了思考……

      一、理解数学：教材中的研究方法和研究思路

      顾泠沅先生指出，专家教师卓有成效的教学常常基于对学科知识的通透理解.上述现象恰恰说明上课教师未能理解教材中数学知识的来龙去脉，无法引导学生正确构建知识网络.而数学理解的本质正是数学知识的结构化、网络化和丰富联系[1].长期浸润在这样的课堂中，学生可能会做题，但“对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器”（丘成桐语），创新能力更是无从谈起.

      人教A版教材主编寄语：“数学是自然的，数学是清楚的.如果感到数学是强加的，说明对数学的理解还不到位，因为数学是水到渠成、浑然天成的.”教材中的每个数学分支，甚至每个课程单元或者主题模块，都有相应的研究方法和研究思路.比如，集合一章立足于元素分析法，着眼于对象的关系和运算；数列一章由特殊到一般，先研究等差数列、等比数列的相关性质再推广到一般的数列；函数的研究都是从数（性质）到形（图象），只有指数函数的研究比较特殊，是直接由函数图象“观察”出函数性质，因为这里涉及高等数学知识，高中阶段不易讲清楚，所以教材采取了“混而不错”的措施.苏步青先生在编制中学数学教材时就曾提出“混而不错”的原理，在高中数学教材中还可以找到其他实例.

      作为中学数学教师，只有搞清楚数学知识和方法的源与流，在理解数学的基础上才能理解学生、理解教学.数学课堂教学的关键是数学学科的内在逻辑，理解数学学科的研究方法和研究思路比掌握具体的数学学科知识更重要，这就好比“渔”和“鱼”两者之间的关系.具体的知识学习多年后学生会逐渐忘却，但是研究问题的方法和思路一旦领会就终生难忘，这才是数学教育给予学生的长远影响.

      笔者以一类解析几何新题型为例，谈谈在高三复习教学中如何命制以一个章节或者模块的研究方法和研究思路为考查对象的试题，希望通过对这类问题的分析，整合学生已有的知识储备，打通知识和方法的联系，指导学生学会思考、学会研究.

      需要格外强调的一点是，本文讨论的话题所依据的是沪教版高中数学教材和上海的考试说明，无论是教材内容还是高考命题，上海与其他省份都有较大差异.比如，沪教版教材圆锥曲线部分没有第二定义和坐标的平移与旋转，函数部分没有导数及其应用等内容.正是基于这种特殊情况，新题型的命制才显得有价值，即如何用现有的知识和方法来研究较为复杂的问题.

      二、试题命制：指向学科研究方法和研究思路

      “用方程表示曲线、通过方程研究曲线的性质”是解析几何的两大问题，坐标法是解析几何研究的基本方法.在高中阶段，对于图形性质的研究内容主要是整体特征（对称性、图形范围）和局部特征，包括特殊点（顶点、焦点等）、特殊线（准线、渐近线等）、特殊量（长轴、短轴、实轴、焦距、焦准距等）.教材中完整的研究体系，是我们命制新题型的理论依据.根据解析几何中问题载体的不同，可以考虑以下几种具体的命题形式.

      （一）指定研究内容，考查研究方法

      先给出学生不熟悉的曲线，在题中明确研究内容和方向，设计出封闭性问题.由于问题中的图形无法直接画出，因而只能先通过相应的代数方法了解其性质，这就回到了研究曲线的科学轨道上——由“数”到“形”，通过方程研究曲线.

      例1 已知动直线y=kx交圆

于坐标原点O和点A，交直线x=4于点B，若动点M满足

，动点M的轨迹C的方程为F（x，y）=0.

      （Ⅰ）求动点M的轨迹方程F（x，y）=0；

      （Ⅱ）请研究曲线C的以下四个方面的性质，并说明理由.

      （1）对称性；

      （2）图形范围；

      （3）顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）；

      （4）渐近线.

      

      （Ⅱ）（1）对称性：将方程中的（x，y）换成（x，-y），方程的形式不变，故曲线C关于x轴对称.

      （2）图形范围：由

≥0，得0≤x＜4，y∈R.

      （3）顶点坐标：在方程

中，令y=0，得x=0，故曲线C的顶点坐标为（0，0）.

      （4）渐近线：由0≤x＜4，

当x→4时，y→+∞，故直线x=4是曲线C的渐近线.

      说明：由于曲线C不是圆锥曲线等学生熟悉的图形，没有定义相关度量，所以“特殊量”的内容不在研究之列.为了研究图形的具体结构，还可以分析图形的局部“走向”，从而设计问题“对方程F（x，y）=0，当y≥0时，研究函数y=f（x）的单调性”.这样对函数性质的考查也融入进来，帮助学生将曲线性质的研究和函数性质的研究融会贯通.

      （二）提示研究方法，考查研究思路

      为了增加命题的开放性，可以考虑不指定研究内容，但这样可能会由于指向不明导致学生茫然不知所措.减少因方向不明确可能带来的风险从而降低问题难度的做法就是提示研究方法.

      对于陌生的曲线，提示研究方法，着重考查学生对具体研究思路和研究内容的掌握情况.

      例2 平面内一动点P（x，y）到两定点

的距离之积等于1.

      （Ⅰ）求动点P（x，y）的轨迹C的方程，用

形式表示；

      （Ⅱ）类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹C的性质，直接写出答案.

      

      （Ⅱ）轨迹C的性质如下：

      对称性：关于原点对称，关于x轴对称，关于y轴对称；

      图形范围：

；

      顶点：（0，0），（

，0）

      说明：这个问题是由椭圆和双曲线的第一定义类比出来的，到两定点距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线.教材中的研究思路是先整体特征（对称性、图形范围）再局部特征（特殊点、特殊线、特殊量），如果定义了这两个定点

、

为焦点的话，也可以得到“焦距”等特殊量.本题也可以设计出有关图形“走向”的问题：“研究函数f（x）的单调区间”，第（Ⅰ）问要求将方程化为

的形式，避免去根号增加方程的次数，同时为函数单调性问题做好了铺垫.根据题中已研究的三个性质和图形“走向”，就可以大致画出轨迹C的图形了.

      （三）联系特殊函数，考查灵活运用

      某些曲线通过坐标旋转后可以成为函数的图象.在缺乏坐标旋转的知识背景下分析这些特殊函数的图象特征，是对“通过方程研究曲线性质”的研究方法和研究思路的一种灵活运用，此时无论是问题的开放性还是对相应研究方法的要求都上升到了更高的层次.

      例3 （Ⅰ）已知等轴双曲线C：

的两个焦点

、

在直线y=x上，求出此双曲线的实轴长和焦点坐标；

      （Ⅱ）函数

的图象也是双曲线，尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？

      

      

      

      

      说明：第（Ⅰ）问先做好铺垫，暗示了此种双曲线的顶点、实轴、焦点位置的确定方法，接着更进一步，对于非等轴双曲线，如何确定其相关特征：对称轴、特殊点、特殊线、特殊量？这就需要对双曲线的研究方法有透彻的理解，知道双曲线的结构特征的决定要素是渐近线，因此研究的思路是：先确定渐近线，接着确定对称轴（实轴和虚轴），同时也确定了a、b、c三个量之间的关系，然后通过解方程组得到顶点坐标和实轴长（虚轴长、焦距），最后顺势得到焦点坐标.

      三、实践反馈：评分标准和测试结果分析

      指向学科研究方法和研究思路的试题还是新鲜事物，命题技术方面还有待深入研究.一般情况，考查研究思路时不要求写出具体研究方法，只写出研究内容和相应结果即可；考查研究方法时，需要说明各个结论的理由.为了降低难度，避免卷面得分过低而挫伤考生的积极性，在评分标准方面做了以下约定：

      （1）问题可选择性.对掌握了主要研究方法（但不全面）的考生而言，这是一种鼓励和鞭策.比如，例1中，考生可选择四个方面中的三个进行研究，若研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分.

      （2）答案多样性.比如，例3中，若考生未能写全上述六条性质，但是给出了

的一些函数性质（诸如单调性、最值），也酌情给分.因为“函数单调性”实际上给出了图形的“走向”，“函数最值”实际上给出了图形的范围，这些都是由“数”到“形”过程中很有价值的环节.

      对于本文所研究的解析几何新题型，笔者所在学校在高三复习阶段的测试中曾使用过几次.从测试结果来看，考生们主要呈现出以下特征：

      （1）对于考查研究方法的问题（如例1），图形范围求解过程经常出错，根源还是函数的定义域和值域的相关知识没有熟练掌握并灵活运用；渐近线常难发现，根源是函数极限不属于上海高考考试范围，教材中没有专门研究，考生主要靠从数列极限的学习中类比感知.

      （2）对于考查研究思路的问题（如例2），大部分考生都只能写出部分结论，没有形成较为全面系统的认识，根源是没能理解和领悟教材中的研究思路.

      （3）对于考查灵活运用的问题（如例3），有相当多的考生一筹莫展，或者只能写出函数的性质，根源是没能理解教材中研究曲线的方法本质，比如研究双曲线的关键是渐近线，研究抛物线的关键是准线，等等.

      总之，即使试题评分标准做了一些降低要求的处理，但试题检测的情况仍然暴露出考生对于“通过方程研究曲线”的研究方法和研究思路的一知半解，将函数图象与方程两者完全割裂开来的认识误区，也说明考生并未构建内容联系，对解析几何的研究体系没有形成本质的理解.这对我们的日常教学有很多有价值的启示.

      四、教学反思：注重内在逻辑，构建内容联系

      教学中出现的“会而不懂”现象，主要是由于学生未能把握教材内容的内涵和外延.只有将教学流程建立在数学内在逻辑的基础上，让学生了解数学知识的来龙去脉，多问几个“是什么”“为什么”“还有什么”，不只讲推理更要讲道理，由此构建的内容联系和知识网络才是牢固的、可生长的.

      仍以解析几何为例，在“通过方程研究曲线”这个基本问题的教学上，在高三复习教学中，笔者考虑了以下三种教学设计思路：

      其一，立足于几何定义.比如，在复习“圆的方程”时，学生已经知道了到两定点距离之比为定值（不为1）的点的轨迹是阿波罗尼斯圆，这相当于“除法”运算，由此自然联想到：到两定点距离之和（之差、之积）为定值的点的轨迹是什么图形？这就建立起阿波罗尼斯圆、椭圆、双曲线、卡西尼卵形线的内容联系，四则运算在这里就是一种数学内在逻辑.在这样的教学环境中，学生也会迸发出许多妙趣横生的问题.比如，课堂上有一位数学成绩不太好的学生提出了问题：平面内到两定点

（-3，0）、

（3，0）的距离倒数和为定值1的点的轨迹是什么图形？

      其二，立足于代数方程.从方程角度可以衍生出很多有趣的曲线，这也是锻炼学生运用所学方法研究新问题的好素材.比如，将椭圆标准方程写“倒”了，得到

此方程所表示的图形也相当优美，颇值得玩味[2].

      其三，立足于特殊函数.函数是特殊的方程，函数图象是特殊的曲线，将曲线性质的研究方法运用于这些特殊函数，如二次函数（抛物线）、反比例函数、对勾函数（双曲线）等，是灵活运用解析几何研究方法，构建函数与曲线方程的内容联系的有效途径.

      总之，注重数学内在逻辑而建构的数学知识内容联系，凸显了数学学科研究方法和研究思路的重要价值，为学生的后续学习和长远发展提供了知识准备和方法论支持，笔者以为这是克服“会而不懂”病症的一剂良药.

      对于本文所提出的问题及相应的思考，笔者期盼同行专家们的批评与指正.

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