黄美燕 广西大学附属中学数学组 广西 南宁 530000
中图分类号：G652.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2020）01-099-03
数列是高中数学中的重要内容，是研究高等数学的基础，且数列问题具有较强的灵活性，技巧性，综合性，能达到考查学生各种能力的目的。故而每年高考数列是必考内容。研究数列的运算特点和策略，以求做到避繁就简，选择合理，快速解题的目的。我对求解数列题目的一些常用方法进行了归纳，提炼出以下几种常用的策略。
一、回归概念，繁题化简
教学中要特别重视基本概念，定义的教学，要从概念的定义出发，由表及里，去伪存真，掌握概念的本质属性，就能化繁为简解决问题。
例1.设数列满足。
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前n项和.
点评：根据Sn 定义知，Sn=a1+a2+…+an-1+an与Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),可知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1，本题相当于已知an与Sn的关系求an,求an的步骤:
(1)当n≥2时,用an=Sn-Sn-1计算得到an;
(2)当n=1时,用a1=S1计算得到a1的值;
(3)检验a1的值是否满足得到的an，若满足,则通项公式就是an;若不足,则用分段的形式表示。
二、巧用性质，减少运算量
1.利用等差数列的性质运用等差数列的性质,若m+n=p+q=2k,且m,n,p,q,k∈N*,则am+an=ap+aq=2ak，快速又准确。
例2.在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）
(A)58 (B)88 (C)143 (D)17
解析：在等差数列中，
，答案为B。
2.等比数列的基本运算中经常遇到高次方程组解法有：换元法，整体代入法，作商法等。
①.（2019年3卷5）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 2
解：设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C。
本题需要通过换元思想将4次方程降为二次方程来解出q。
②已知等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项。
解:设该等比数列的公比为q,首项为a1,
因为所以
因为1-q3=(1-q)(1+q+q2),
上述两式相除,得q(1-q)=?q=,所以a1===96.本题需要通过作商来消元。
③：已知等比数列{an}的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为()
(A)15(B)17(C)19(D)21
解析:由题意,得S4=1,即a1+a2+a3+a4=1.公比q=2,所以S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+(a1+a2+a3+a4)q4=1+1×24=17.故选B。
本题通过整体代入来简化计算。
3.巧设“对称项”解等比数列问题
已知4个数,前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,中间两数之积为16,首末两数之积为-128.求这4个数.
解:设第3个数为x,后3个数的公比为q(q≠0),则由题意知这4个数依次为-x,,x,xq,
于是即消去x2得(2-q)·16q=-128,即q2-2q-8=0,
解得q=4或q=-2(舍去),所以x2=64,解得x=8或x=-8.
当q=4,x=8时,所求的4个数为-4,2,8,32;
当q=4,x=-8时,所求的4个数为4,-2,-8,-32.
本题通过对称假设，大大降低运算量。
三、数形结合，直观求解
例3．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋2tn，当且仅当n＝7时Sn最大，则t的取值范围是________．
解:数形结合，利用二次函数图象可得对称轴x＝t∈(6.5，7.5),故填(6.5，7.5).
例4.在等差数列{an}中, 已知＝－15, 公差d＝3,
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
解：（1）由题意得，解得，
∴．
（2）由（1）得
，
∴当n=8或n=9时，Sn有最小值，且最小值为，
∴数列{an}的前n项和Sn的最小值为-108。
点评：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的通项公式，求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和 (A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值。
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四、巧用数列的单调性
例5. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＜0，若存在自然数m≥3，使得am＝Sm，则当n＞m时，Sn与an的大小关系是()
A． Sn＜an B． Sn≤an
C． Sn＞an D． 大小不能确定
解：若a1＜0，存在自然数m≥3，使得am＝Sm，则d＞0，若d＜0，数列是递减数列，则Sm＜am，不存在am＝Sm.由于a1＜0，d＞0，当m≥3时，有am＝Sm，因此am＞0，Sm＞0，又Sn＝Sm＋am＋1＋…＋an，显然Sn＞an.故选C.
例6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足,,则,，，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
解：∵等差数列{an}中，，即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0，∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，
∴等差数列{ an }为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，
∴,
又中最大的项为．故选D
五、巧取特例，快速求解
例7.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(D )
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
解：∵等比数列中 ∴当公比为1时，， ；
当公比为时，， 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D；
点评：巧取特例，特别是在解决选择题时，举特殊例子，能快速解答。
六、适时分类，合理解答
例8.数列{}满足，则{}的前60项和为（ ）
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
解：有题设知
=1，① =3 ② =5 ③ =7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，，……
∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，
∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，
∴{}的前60项和为=1830.
点评：一般遇到有(-1)n类型的可以考虑分类解答。
七、学生在数列运算中其他常见的问题和策略
1.由对推公式求通项公式的构造问题
例：已知数列的前n项和为，且，，求.
解:由①，得当时，②，
由①-②，得③.当时，，不符合③式，
当时，，即，
是以为首项，2为公比的等比数列。
所以，，，
综上所述，。
本题直接构造出对大部分学生来说是比较困难的，如果用待定系数法，设递推公式可变形为，将该式展开与递推公式对比即可求出t。这一递推公式结构还可以推广为：形式，例如已知递推公式为，设可变形为，展开对比可得t=1；已知递推公式为，设可变形为；展开对比可得t=-1。在假设变形式时，两边一定要写成新构造数列的前后两项关系。
2.在裂项求和中，学生裂项不过关。
可列项求和的数列的通项公式主要特征是分式或根式，例如：
，
等
①（2017年2卷15）等差数列的前项和为，，，则———————————．
解：设等差数列的首项为，公差为，所以 ，解得 ，
所以，那么 ，所以
②已知数列的通项公式为，求前项和。
解：因为，
所以
.
通项公式为分式结构，求和时考虑裂项，先将分母因式分解，再分别以这两个因式为分母1为分子写成两个分式的差（各项符号正负交替出现时写成两个分式的和）。如设，左边所以t=2。
3.错位相减法求和计算问题
错为相减法求和是学生感到比较头疼的运算之一，关键在于理解算法以及每一步的要点。错位相减法求和的数列的通项公式主要特征是一次式（等差数列）与指数式（等比数列）的积，例如：，等。整个运算过程可分为五个步骤：
第1步：写出前n项和等式①；
第2步：等式①两边乘以指数式的底数（也可以是底数的倒数）得等式②；
第3步：①式与②式作差，幂指数相同的项对应相减（即错位相减）；
第4步：错位相减部分为等比数列，用等比数列求和公式求和并化简；
第5步：将系数化1并检验。
例9：已知数列的通项公式为，求前项和。
解： （第1步）因为
①
（第2步）
②
（第3步）①-②得
，
（第4步）即，
（第5步）所以，
运算的易错点有：第3步中两个等式中没有相同幂指数的两项是相减的关系，如本例；错位相减的项有(n-1)项，而不是n项，如本例。因此，第4步用公式求和时是前(n-1)项的和而不是前n项的和。第4步对含有指数式的项合并时要注意把幂指数化为相同。还有很多同学容易遗漏第5步，没有系数化1，本例第3步用②-①可以省去系数化1，但运算检验是必不可少的，运算中出现错误往往是在所难免的，因此要通过检验发现错误并改正，本例可以用检验结果是否正确，其实求和问题都可以用这种方法检验运算。
论文作者:黄美燕
论文发表刊物:《中小学教育》2020年3月3期
论文发表时间:2020/4/16
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