随机R&D经济增长模型研究

王丽丽

(合肥学院 数学与物理系，安徽 合肥 230601)

摘 要： 通过动态最优化的方法，研究了随机R&D技术经济增长模型，对该模型的增长路径进行了稳定性分析，讨论随机干扰对确定性增长模型的改变。结果表明：在一定的参数条件下，随机干扰会实质性地改变由确定性增长模型所预言的增长轨道。

关键词： 研究开发；稳定性；经济增长模型

Solow模型和人力资本模型是新古典增长理论的起点，这类模型是一类较单纯的经济增长模型，不涉及决策行为。另外这两个模型忽略了技术因素，而技术在现代经济成长中无疑起着举足轻重的作用。在后期的R&D(Research and Development)模型中假定技术是在独立于生产部门的开发部门中进行的，但是它局限于在确定性框架下讨论经济增长问题^[1]。本文试图讨论R&D模型的随机形式，假定要素的积累受到某种随机干扰，要素积累方程会从ODE过渡到SDE，因而对模型的分析归结于对所得SDE的分析。

1 模型描述

设经济由生产部门与研发部门组成，二者分别生产物质产品与开发技术，其生产函数分别为：

Y =C _Y K ^α (AL )^α′

(1)

ψ _A =C _A K ^ξ A ^θ L ^η

(2)

其中C _Y ，C _A 是正常数，0<α <1;α ′=1-α ,ξ ,η ≥0,ξ +η >0。在生产过程中，要素资本K ，劳动力L 在生产部门与R&D部门按固定比例配置，这些比例已吸收进系数C _Y 与C _A 中而未直接表现出来。

与确定性模型比较，此处Y 为平均产出(或期望产出)，而ψ _A 为技术的平均增长率。以ψ _K 表示K 的平均增长率，且假定ψ _K =s (Y /K ),s ∈(0,1)是常数储蓄率。为方便起见，下面约定x =ψ _A ,y =ψ _K 。

设A ,K ,L 服从如下随机增长方程：

(3)

其中n 是非负常数，du _A ,du _K ,du _L 是Brown运动，为方便起见，假定它们互不相关。需要注意的是x ,y 不同于n ，并非常数。

现在利用式(1)～(3)导出关于x ,y 的SDE，应用对数微分公式^[2]计算dx ,dy ：

=(θx +ξy +p )dt +dv

Linux操作系统实现嵌入式设计时，没有专用的开发和调试工具，专业人员在开发应用程序时，编译和调试工具需要开发人员自主研发。

类似地，可算出

(4)

乡镇电视台取材范围狭窄。在取材不足的情况下，电视台主要把新闻焦点聚焦在时政方面，其中又以县级领导干部和正常政务活动的镜头为主；而对于那些能够反映基层群众日常生活、思想风貌、生存环境和社会心声的民生类新闻的比重较少。新闻报道内容单一，总体价值不高，这些与百姓利益没有直接性关系的会议新闻观众不感兴趣，影响了收视率。

y ^-1dy =(α ′x -α ′y +q )dt +dw

(5)

可推出

(6)

若dv =0=dw ，即随机扰动消失，则(6)退化为ODE系统：

(6)′

于是从条件

2 稳定性分析

而在《乡愁四韵》中，余光中先生对乡愁的能指不再注重历时性的转变，转而描绘思念故土、亲人时的感官印象。“长江水”与“腊梅香”两个形象指向了“醉酒的滋味”与“母亲的芬芳”，属于味觉与嗅觉感受；“海棠红”与“雪花白”两个形象指向了“烧痛”与“等待”，由红、白两个视觉印象进入了心理体验。诗人在提到乡愁这一心理所指时同时选取了分属于味觉、嗅觉、视觉方面的所指，不同感官间能指与所指的跳跃结合正是符合了“通感”修辞，给予了乡愁这一心理具象的、多维的刻画。

(ⅰ)若θ +ξ <0<n ，则系统(6)′有惟一正均衡点(x ^*,y ^*)，其中

(x ^*,y ^*)在第一象限内是全局渐进稳定的。

粉彩瓷作为景德镇的“四大名瓷”之一，有着其厚重的历史积淀。而深受西方现代、后现代主义理念影响的风格流派还处在雏形阶段。从现代粉彩人物瓷画流派的趋势来看，短时期新文人流派还会长期处于粉彩人物瓷画的主流地位。主要原因还是我们老一辈艺术家绘画实力在短时间很难撼动，另个原因是新粉彩人物画表现出来的文化特征以及艺术风格还是深受欢迎，其文化传承的意义也深受广大陶瓷爱好者的赞誉。

(ⅱ)若θ +ξ >0，或θ +ξ =0<n ，则系统(6)′无正均衡点，系统在第一象限内的轨道最终均进入介于直线

θx +ξy +nη =0与x -y +n =0

之间的区域，然后趋向无穷。

(ⅲ)若θ +ξ =0=n ，则系统(6)′在第一象限内的所有轨道均收敛于直线y =x 上某点。

4.2.2 整体调节 以温、平，苦、甘、酸和肾、肺、脾、胃为导向在85味抗胃癌植物类中药中进行选择，优先选择兼顾温、平，苦、甘、酸和肾、肺、脾、胃等性味归经特点的中药，必要时亦可突破此范围在166味抗肿瘤植物类中药中进行选择。如可在大枣、千金子、淡豆豉、刀豆、葫芦巴、月季、荔枝核、沙苑子、灵芝、陈皮这10味药中选5味入组。

现在我们的主要兴趣是SDE(6)的零解的稳定性。首先将系统(6)改写成^[4-5]：

于是有

(7)

(8)

其中

A (x ,y )=(θx ³+ξx ²y +α ′xy ²-α ′y ³+λx ²+μy ²)/(x ²+y ²)；

可以得到

有研究表明[2],糜烂性胃炎出血的直接因素是由于胃黏膜受损所致,因此临床上用于治疗糜烂性胃炎出血的原则是去除各类诱因,为了减少对胃黏膜损害,需防止氢离子反弥散并降低胃内酸度,同时还需及时止血,因此常规方法主要是止血、抑酸和补液等。生长抑素是肽激素,对抑制胃蠕动和分泌有重要作用,同时还可对垂体或下垂脑促生长素的释放起到抑制作用。也有研究指出[3],糜烂性胃炎出血采用生长抑素治疗的作用机制是由于其具有聚集血小板并能促进血管收缩,可永久止血,降低静脉高压,减少内脏血流量,同时可减少胃酸分泌,促进修复胃肠道黏膜且能改善微循环。

当t ₀∉(0,∞)时取

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其次，对t ,x >0有

=xg (t )+h (t )。

容易看出

首先指出，关于确定性系统(6)′有以下结果^[3]：

但g (t )的情况较复杂，很难作一个完全的讨论，下面考虑若干特殊情况^[6]。

(ⅰ)设参数α ,θ ,ξ 的选择已保证g (t )≤0(∀t >0)，则

于是条件(7)相当于

其中

(9)

当条件(9)满足时，系统(6)的起于第一象限内的解要么a.s.指数衰减于零，要么以正概率逸出第一象限。至于条件(9)以及g (t )≤0(∀t >0)的具体化，则仍然是一个很复杂的问题，需要非常细致地讨论。

(ⅱ)设θ +ξ >0,则g (1)=(θ +ξ )/2>0,于是有t ₁,t ₂,使得0≤t ₁<1<t ₂<∞,在区间[t ₁,t ₂]上g (t )≥0，令

D ={(x ,y ):x ,y >0,t ₁≤y /x ≤t ₂}

(10)

则

(6)′正是确定性R&D模型的微分方程组。

(11)

这就得到关于x ,y 的SDE系统：

1.2.1 研究工具 由自设的一般情况调查问卷和护士工作压力源量表组成。根据研究目的，自行设计一般情况调查表，包括人口学资料（性别、年龄、护龄、职称、学历、婚姻状况等）。护士工作压力源量表由李小妹等编制而成，包括5个维度，即护理专业及工作、工作量及时间分配、工作环境及资源、患者护理、管理及人际关系，采用1～4 级评分法，1分代表没有压力，2 分代表压力程度一般，3 分代表压力程度较高，4 分代表压力程度非常高，得分越高表明压力程度越大，量表的总 Cronbach’s α系数为 0.98，具有良好的信效度[2]。

这就得到：

命题 设θ +ξ >0且条件(11)满足，(x (t ),y (t ))是系统(6)的解，(x (0),y (0))∈D ,则以下两结论必有一个成立：

课堂互动不仅包括师生之间的互动，学生通过小组合作探究方式展开的交流也是一种课堂互动形式。高中数学教师可以将小组合作探究教学方法与课堂教学内容有机结合。首先，教师可以将班级学生分成几个小组；其次，教师可以将教学内容转换成学习任务布置给学生，并引导学生在小组中展开讨论和交流，共同探究完成教师布置的学习任务；最后，学生讨论完毕，每个小组可以选出一名学生将小组讨论的结果汇报给教师。教师根据学生的讨论结果讲解课程内容。

(a )当t →∞时，x (t )与y (t )几乎必然呈指数增长。

李：简单来说，就是根据党的领导原则、科学性原则、依法治校原则，构建“二权”冲突防范机制。比如构建科学民主决策机制——建立有效的决策信息来源机制，广泛的决策参与机制，严格的决策过程机制，基于现代信息技术的辅助决策机制；构建运行顺畅的“二权”机制——以学术委员会为核心的主体机制，大学管理中心下移机制；构建内控监督机制——完善“两级”教代会运行机制，增加信息公开机制，拒绝暗箱操作。

(b )(x (t ),y (t ))的轨道以正概率逸出扇形区域D 。

以上结论与系统(6)′在θ +ξ >0时的情况是接近的，只是现在附加了条件(11)。令人遗憾的是，在一般情况下，很难看出条件(11)如何能被满足。

(ⅲ)考虑如下特殊情况：设

θ +ξ >0,0<η <α ′,α <1/2,n >0;

则由式(4)，(5)得

学者们从时间顺序、党的执政方略、国家意志等角度对党的生态文明思想的发展历程进行了细致的考察，观点各有千秋。实践发展永无止境，认识真理永无止境，理论创新永无止境。笔者认为，中国共产党的生态文明思想也是经历了一个漫长的探索历程，从生态意识觉醒萌芽到生态文明思想一代代的继承创新、丰富发展、不断完善，最后形成了臻于成熟的思想体系。我们必须结合每个时期的具体背景和发展实际，对共产党人提出的生态文明思想和执政方略进行分析研究，才能更好地考察和把握生态文明思想的发展历程。

因在给定条件下有故条件(11)相当于即

由此可见，在给定的参数条件下，当适当小时，前述命题的结论成立。反之，若很大，则可能使对确定性系统(6)′成立的结论变得不再成立。这就在另一种形式下显示出劳动力扰动的突出影响。

校园有一条馨径直通丝木棉广场。粉红的石板，英式的路灯，走到馨径上，头顶丝木棉的虬枝便触手可及，一阵风吹来，淡淡的芳香扑鼻而来。这片土地，十多年前便种下三百多棵丝木棉，粉红的花海沿岸肆意生长一两公里，如今成为全广州丝木棉种植规模最大的赏花点，堪比武大樱花，为冬日里的城市注入一股暖流。

3 结论

本文通过吸收内生增长理论的思想，将随机扰动引入确定性R&D模型中，建立随机经济增长模型，对所得到的随机微分方程进行分析，得出在一定的参数条件下，随机干扰会实质性地改变由确定性增长模型所预言的增长轨道。但是，技术开发有时不是在独立的R&D部门中进行，而是作为生产部门的副产品出现，所以可以进一步对R&D模型加以修正。

参考文献:

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[2]WU Fuke,MAO Xuerong,YIN Juliang.Uncertainty and economic growth in a stochastic R&D model[J].Ecnomic Modeling,2008,25(6):1306-1317.

[3]胡适耕.宏观经济的随机模型[M].武汉:华中科技大学出版社,2006:98-102.

[4]周少波,胡适耕.随机 Learning-by-doing经济增长模型[J].系统工程理论与实践,2004(9):9-14.

[5]HOWITT P.Steady endogenous growth with population and R&D inputs growth[J].Political Economics,1999,107(21):715-730.

[6]王海军,胡适耕.具有不完全技术外部性的随机Learning-by-Doing 模型及解法[J].华中师范大学学报(自然科学版),2009,43(3):45-49.

Stochastic Research and Development Economic Growth Model

WANG Li-li

(Department of Mathematics and Physics,Hefei University,Hefei,230601,Anhui)

Abstract ：The stochastic economic growth model with research and development production function was investigated.The growth path of the model was analyzed by the methods of the dynamic optimization,and the changes of stochastic disturbance to the deterministic growth model were discussed.The results showed that stochastic disturbance could change the growth track of deterministic growth model substantially under certain parameter conditions.

Key words ：research and development;stability;economic growth model

中图分类号: F323; F224

文献标识码: A

文章编号: ( 2019) 02-0097-03

收稿日期： 2018-08-25

基金项目： 高校优秀青年骨干人才国内访学研修项目(GXFX2017093)。

作者简介： 王丽丽(1982-)，女，安徽蚌埠人，讲师，硕士。E-mail：vivian@hfuu.edu.cn

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