我国股市股票价格波动的动态模型及其动力学系统，本文主要内容关键词为：动力学论文,股票价格论文,模型论文,股市论文,我国论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、序言
投资者参与炒作股票的目的是为了获得较高的投资利润。但在管理还不够规范的我国沪深两市，股票投资中不时会出现过度的投机。回顾一九九二年邓小平同志南巡讲话之后和一九九六年至今沪深股市所掀起的暴涨暴跌的行情，投资者至今记忆犹新。在这两次浪潮中，股价的大起大落，给一些理性的投资者带来了丰厚的投资回报，但却给许多盲目跟风，追涨杀跌的投资者带来了累累亏损。历经暴涨暴跌行情的股民，对投资股票的风险认识已得到进一步加强。目前，理性投资股票已逐渐成为股市中的投资主流。本文将根据目前投资者的理性投资心态，结合我国“政策市”的股市特点来建立股票价格变化的动态数学模型，并对其作出有效的定量分析和定性研究。
二、模型的建立
股票的买入是投资者根据自己所获信息预测到某公司股票价格在后期很有可能要上涨时所实施的投资行动。而股票的卖出则是投资者当他所持有的投票已经获利或者被套牢时在主观预测到股票后期很有可能要下跌而采取的兑现行动。和农民春天播种秋天收割的管理相似，中长线投资者从买入到卖出总有一段连续持股的时间长度。若以某W公司股票价格的变化作为我们跟踪考察的对象，我们总可以把一个很长的投资时期按一定的时间长度依次分划成若干个较短的的投资阶段。取阶段变量为整数K(k=1,2,……)，并把W公司的股票在第K阶段的平均价格x[,k]选作第K阶段的状态变量(k=1,2…)。如果某些股民在第K阶段按均价x[,k]已分批买入了若干手W股票，并准备到第K+1阶段分批卖出，则他们的后期利润率就是
x[,k+1]-x[,k]
────────（这里把印花税率和标准佣金率忽略不计）。
x[,k]
设M[,k]是W股价的近期顶部，m[,k]是W股价的近期底部，则m[,k]≤x[,k]≤M[,k]，考虑到今后政策面、消息面，公司经营状况的变化对W股票在第K+1阶段的价格产生的扰动ε[,k+1]，我们可假定W股票在第K+1阶段股价的变化范围是[m[,k]+ε[,k+1]，M[,k]+ε[,k+1]]，并把区间[x[,k]，M[,k]+ε[,k+1]]定义为第K+1阶段W股价的上升空间，而把区间[m[,k]+ε[,k+1]，x[,k]]定义为W股价在第K+1阶段的下跌空间，把上升空间与下跌空间的总和[m[,k]+ε[,k+1]，M[,k]+ε[,k+1]]定义为第K+1阶段W股价的波动空间。显然当x[,k]越小时，W股价的上升空间就越大，而下跌空间却越小，因而在x[,k]价位买入的投资风险率就越小，且在第K+1阶段卖出时的获利概率就越大。反之，当x[,k]越大时，W股价的上升空间就越小，而下跌空间却越大，因而在x[,k]价位买入的投资风险率就越高，且在第K+1阶段卖出时的获利概率就越小。据此事实，我们可假定在第K阶段x[,k]价位买入W股票后的预期利润率
x[,k+1]-x[,k]
────────
x[,k]
是W股价在后一阶段上升空间高度的增函数，且是该股价在后一阶段下跌空间高度的减函数。为使函数关系简单化，我们可假定这一函数是线性的，即存在特定常数α[,k]＞0,β[,k]＞0使得有：
x[,k+1]-x[,k]
───────=α[,k]（M[,k]+ε[,k+1]－x[,k]）－β[ ,k]（x[,k]－m[,k]－ε[,k+1]），
x[,k]
对此方程整理可得x[,k+1]的表示式：
x[,k+1]=（1+α[,k]ε[,k+1])+β[,k]ε[,k+1]+α[,k]M[,k]+β[,k]m[,k]）x[,k]－（α[,k]+β[,k]）x[2,k](1)
若记λ[,k+1]＝α[,k]ε[,k+1]+β[,k]ε[,k+1]+α[,k]M[,k]+β[,k]m[,k]，k=1,2,3…,n,…。则方程(1)可写成含有参变量λ[,k+1]和常数α[,k]，β[,k]的非线性差分方程。
x[,k+1]＝（1+λ[,k+1]）x[,k]－（α[,k]+β[,k]）x[2,k]，k=1,2,3,…
(2)
则(2)就是一个用来描述W股价从状态x[,k]转移到状态x[,k+1](k=1,2,…,n,…)的动态数学模型。
三、模型的动力学特性
设方程(2)中状态变量x[,k+1]关于状态变量x[,k]的二次函数是f[,λk+1](x)＝（1+λ[,k+1]）x－（α[,k]+β[,k]）x[2]，k=1,2,…,n,…。则方程(2)可抽象地写成
x[,k+1]=f[,λk+1](x[,k])，k=1,2,…,n,… (3)
对于任给初始值x[,1]∈[m[,1]，M[,1]]，由(3)迭代所产生的数列x[,1],x[,2],…,x[,n],…叫做初值x[,1]在函数序列f[,λ[,2]],f[,λ[,3]],…,f[,λ[,n-1]],…的混合迭代下所生成的一个轨道，记作O[+](x[,1])=｛x[,1],x[,2],…,x[,n],…｝。轨道O[+](x[,1])的变化具有什么样的特性？数列x[,1],x[,2],…,x[,n],…是收敛还是发散？轨道O[+](x[,1])的变化对参数组｛λ[,2]，λ[,3]，…，λ[,n]，…｝的依赖程度如何？如能解答这一系列问题，就等于定性地描述了W股份在未来各阶段中变化的基本特性和方式。
为解决上述问题，我们先讨论(3)的一种特殊形式。令(3)中的λ[,2]＝λ[,3]＝…＝λ[,n]＝λ，(n=2,3,……)，α[,k]+β[,k]=α+β(k=1,2,…,n,…)，则可得(3)的特例为x[,k+1]=f[,λ](x[,k]),k=1,2,…,n,…。相应地方程(2)的特例为；
α+β
x[,k+1]＝（1+λ）x[,k]（1－───── x[,k]），k=1,2,…,n,… (4)
1+λ
由于股价x[,k]>0,x[,k+1]>0，故只有0＜λ＜3，方程(4)叫做logiestic差分方程，其中变量x[,k+1]关于变量x[,k]的函数关系是
α+β
f[,λ](x)＝（1+λ）x（1－──── x），二次函数y=f[,λ](x)有
1+λ
λ
一个非零不动点x[,0]＝──── （即x[,0]满足等式f[,λ](x[,0])=x[,0]），
α+β
通常称x[,0]为方程(4)的系统平衡点（如图1所示），在平衡
d
点x[,0]处，函数f[,λ](x[,0])的变化率──── f[,λ](x[,0])＝1－λ。
d[,x]
d
根据差分方程稳定性理论[1]知当│──f[,λ](x[,0])│＜1，即0＜λ＜2时，
dx
方程(4)的动力学系统在x[,0]处是稳定的，初始值x[,1]∈(m,M)的轨道O[+](x[,1])=｛x[,1],x[,2],…｝最终收敛到平衡值x[,0]处，即 lim X[,n]=x[,0]，这一收敛过程可由函数f[,λ](x)的蛛网模
n→∞型表示如下（图Ⅰ）。
由于当0＜λ＜2时，初值x[,1]的轨道最终收敛于系统平衡点x[,0]，故称x[,0]为函数f[,λ](x)的一个吸性平衡点，且称函数f[,λ](x)的
d
动力系统为一个稳定系统。但当│──f[,λ](x[,0])│＞1，即2＜λ＜3时，
dx
由差分方程的稳定性理论知方程(4)的动力学系统在x[,0]处是不稳定的，任何异于x[,0]的初值x[,1]∈(m,M)的轨道O[+](x[,1])=｛x[,1],x[,2],…,x[,n],…｝都是发散的，其发散过程和发散方式可由函数f[,λ](x)的蛛网模型表示如图（Ⅱ）。
由于当2＜λ＜3时，任何异于x[,0]且在x[,0]邻近处的初值x[,1]在函数f[,λ](x)的反复迭代下，最终都离开了系统平衡点x[,0]，轨道O[+](x[,1])的变化呈现出渐近周期振荡或混沌现象[2]。因此，我们把
λ
1＜λ＜3时的系统平衡点x[,0]＝──── 叫做函数f[,λ](x)的斥性
α+β
平衡点，而把轨道O[+](x[,1])中的每一状态x[,k]称为不稳定状态。且称f[,λ](x)的动力系统为一个不稳定系统。
综合上述结论可知，参数λ在区间(0,3)内的每一个具体取值都确定了函数y=f[,λ](x)的唯一动力学特性（即系统的稳定性或不稳定性）。由于函数f[,λ[,k]](x)与f[,λ](x)是同类型的二次函数，因而具有完全相同的动力学分岔性质。因此我们可以把f[,λ](x)的前述结论应用到每一个函数f[,λ[,k]](x)上，并综合讨论函数序列f[,λ[,2]](x),f[,λ[,3]](x),…,f[,λ[,k]](x),…在混合迭代下所构成的方程(3)的动力学性质。
在方程(3)中，对于每一个自然数K，确定状态转移x[,k-1]→x[,k]过程的函数是y=f[,λ[,k]](x)，其动力系统的平衡点是
λ[,k]
x[(k),0]＝────────，而确定状态转移x[,k]→x[,k+1]过程的函数是
α[,k-1]+β[,k-1]
λ[,k+1]
y=f[,λk+1](x)，其动力系统的平衡点是x[(k+1),0]＝───────。
α[,k]+β[,k]
如果λ[,k+1]＝λ[,k]，那么y=f[,λk](x)与y=f[,λ[,(k+1)]](x)是同一个函数，因此W股价在两次状态转移x[,k-1]→x[,k]→x[,k+1]的全部过程中始终由同一个函数的动力系统所确定。如果λ[,k]≠λ[,k+1]，则y=f[,λk](x)与y=f[,λk+1](x)具有不同的动力系统，因而在状态转移x[,k-1]→x[,k]→x[,k+1]的全部过程中，前期由函数y=f[,λk](x)的动力系统所确定，后期由函数y=f[,λk+1](x)的动力系统所确定。W股价这种从一个函数的动力系统到另一个函数的动力系统的转化过程可由函数y=f[,λk](x)与y=f[,λk+1](x)的混合蛛网模型表示如下（图3）。
由于当λ[,k+1]≠λ[,k]时，在状态转移x[,k-1]→x[,k]→x[,k+1]过程中，确定W股价变化的动力系统发生了变化。按照参数λ[,k]与λ[,k+1]在(0,3)内的具体取值，伴随着系统的改变，W股价的变化有下列几种形式。
1.如果0＜λ[,k]＜2，0＜λ[,k+1]＜2，则函数y=f[,λk](x)与y=f[,λk+1](x)的动力系统都是稳定的。在状态转移x[,k-1]→x[,k]→x[,k+1]过程中，W股价由前期向函数y=f[,λk](x)的吸性平衡点x[(k),0]渐近收敛转变成后期向函数y=f[,λ[,k+1]](x)的吸性平衡点x[(k+1),0]渐进收敛。W股价的变化由一个稳定系统内的小幅波动转换成另一个稳定系统内的小幅波动。
2.如果0＜λ[,k]＜2＜λ[,k+1]＜3，则f=f[,λk](x)的动力系统是稳定的，而y=f[,λk+1](x)的动力系统是不稳定的。在状态转移x[,k-1]→x[,k]→x[,k+1]过程中，W股价在前期受y=f[,λk](x)的吸性平衡点x[(k),0]的吸引呈渐近收敛，在后期受y=f[,λ[,k+1]](x)的斥性平衡点x[(k+1),0]的排斥呈振荡发散，W股价的变化由一个稳定系统内的小幅波动转换成一个不稳定系统内的大幅振荡。
3.如果0＜λ[,k+1]＜2＜λ[,k]＜3，则y=f[,λk](x)的动力系统是不稳定的，而y=f[,λk+1](x)的动力系统是稳定的。在状态转移x[,k-1]→x[,k]→x[,k+1]过程中，W股价前期受y=f[,λ[,k]]的斥性平衡点的排斥而发散振荡，后期受y=f[,λk+1](x)的吸性平衡点的吸引而渐进收敛，W股价的变化由一个不稳定系统内的大幅振荡转换成一个稳定系统内的小幅波动。
4.如果2＜λ[,k]＜3，2＜λ[,k+1]＜3，则y=f[,λk](x)与y=f[,λk+1](x)的动力系统都是不稳定的。在状态转移x[,k-1]→x[,k]→x[,k+1]过程中，W股价的变化呈现出发散振荡的格局。
根据上述分析可知，当参数λ保持不变时，W股价的变化仅由函数y=f[,λ](x)的动力系统的内部性质（即稳定性或不稳定性）所确定，但当参数λ由λ[,k]增大（或减小）到λ[,k+1]时，W股价的变化将由函数y=f[,λ[,k]](x)的动力系统转向函数y=f[,λk+1](x)的动力系统。是什么原因引起参数λ的变化呢？分析λ[,k+1]的表示式λ[,k+1]＝（α[,k]+β[,k]）ε[,k+1]+α[,k]M[,k]+β[,k]m[,k]，有λ[,k]＝（α[,k-1]+β[,k-1]）ε[,k]+α[,k-1]M[,k-1]+β[,k-1]m[,k-1]＝α[,k-1]（M[,k-1]+ε[,k]）+β[,k-1]（m[,k-1]+ε[,k]）＝α[,k-1]M[,k]+β[,k-1]m[,k]，由于常数α[,k-1]≈α[,k]，β[,k-1]≈β[,k]，故有λ[,k+1]≈（α[,k]+β[,k]）ε[,k+1]+λ[,k]。显然扰动变量ε在第K+1阶段的取值ε[,k+1]是引起参数由λ[,k]增大（或减小）到λ[,k+1]的主要原因。如果ε[,k+1]＝0，则λ[,k]≈λ[,k+1]；如果第K+1阶段有较大的利空扰动，则有ε[,k+1]<0，从而使参数减小，即使λ[,k+1]＜λ[,k]；如果第K+1阶段有较大的利好扰动，则有ε[,k+1]>0，从而使参数增大，即使λ[,k+1]＞λ[,k]。特别当有特大的利好消息出台时，扰动变量ε[,k+1]的过量增大，可使参数由λ[,k]∈(0,2)，增大到λ[,k+1]∈(2,3)，从而使W股价的变化由稳定系统f[,λk](x)转向不稳定系统f[,λk+1](x)，W股价将因λ[,k+1]∈(2,3)而出现大幅振荡。同理，当有特大的利空消息出台时，扰动变量ε[,k+1]的过量减小（ε[,k+1]<0），可使参数由λ[,k]∈(2,3)减少到λ[,k+1]∈(0,2)，从而使W股价由原先的不稳定系统f[,λk](x)转移到稳定系统f[,λk+1](x)，W股价由原先的大幅振荡格局回落到向吸性平衡点x[(k+1),0]的渐近收敛过程。回顾近几年沪深股市所出现的几次暴涨暴跌，每次暴涨都由特大利好（ε[,k+1]>0）所引起，每次暴跌都由特大利空（ε[,k+1]<0）所造成。由此可见，不论是上市公司，还是证券管理层，在出台利好或利空消息的同时，应慎重考虑扰动变量ε的变化对系统参数λ所产生的巨大影响，尽量把股价控制在一个稳定的动力系统中，力争避免出现暴涨暴跌行情。对于广大中小投资者来说，应随时观察政策的变化，并根据方程(2)的动力学系统较准确估计出所选股票股价波动的系统平衡点x[(k),0]。当该股价低于平衡值x[(k),0]时可积极吸纳，当股价高于平衡值时可分批派发，切忌在x[(k),0]上方追涨，且忌在x[(k),0]下方杀跌。
现在，我们把前面关于W股价在状态转移x[,k-1]→x[,k]→x[,k+1]过程中有关结论应用于一切自然数K(k=1,2,3……)，即可得到W股价的初值x[,1]在函数序列f[,λ[,2]](x),,f[,λ[,3]](x),…,f[,λ[,n]](x),…的混合迭代下所生成的轨道O[+](x[,1])=｛x[,1],x[,2],…,x[,n],…｝的变化性态。由于扰动变量ε的取值ε[,1]，ε[,2]，…，ε[,n]，…对政策面和消息面的依赖性很强，从而导致了参数λ的取值λ[,1]，λ[,2]，…，λ[,n]，…的无序性。因此，从理论上来讲，随着函数序列f[,λ[,2]](x),f[,λ[,3]](x),…,f[,λ[,n]](x)…的动力系统的稳定性与不稳定性的随机排列，轨道O[+](x[,1])=｛x[,1],x[,2],…,x[,n],…｝的变化将呈现出永久的波动。
需要说明的是在建模过程中，我们仅考虑了股价变化的内在规律，而很少关注市场主力机构的人为造市因素。因此，方程(2)的动力学体系仅适宜于沪深股市中的大盘A股的价格变化，而不适宜于那些受庄家任意操纵的小盘股，投资者在作参考时应区别对待。