基于正态近似法的《周易本义·筮仪》概率分析

王晓刚¹, 宗序平²

(1. 扬州职业大学, 江苏 扬州 225009; 2. 扬州大学, 江苏 扬州 225002)

摘 要： 用正态近似法,对《周易本义·筮仪》作概率分析,针对《左传》《国语》筮例,利用多项分布的概率分布律求得分布拟合检验的显著性概率为0.3412，大于0.05。结果表明，《周易本义·筮仪》与《左传》《国语》事例所反映的《周易》筮法基本相合。

关键词： 《周易本义·筮仪》；筮法；正态近似法；《左传》《国语》筮例；多项分布；分布拟合检验

董光璧先生的《易学科学史纲》(简称董著)中,利用古典概率模型,给出了《周易本义·筮仪》 “三变成一爻”的概率分布律:筮得“六”“七”“八”“九”的概率依次为1/16、5/16、7/16、3/16^[1]。美国学者孙涤也曾作过类似推导^[2]。

本文拟利用正态近似法对《周易本义·筮仪》(简称《筮仪》)作概率分析。

1概率分析

引入如下记号:在第i 变过程中,中分蓍策为二,左侧蓍策数与右侧蓍策数的差记为d _i ,描述d _i 离散程度的标准差记为σ _i ,第i 变后剩余蓍策数为r _i (i =1,2,3)。

1.1 对随机变量d ₁分布的初步判断

首先对随机变量d ₁分布进行初步判断^[3]。第一变中,49根蓍策,双手随机中分为二摞,包括最极端的情况,共有诸如“1与48”“2与47”……“48与1”共48种可能,其中“1与48”和“48与1”应剔除，以便后续的“挂一”及“归奇于扐”。按左减去右计算的差值d ₁绝对值较小的可能性较大,d ₁绝对值较大的可能性则较小。事实上,占筮者双手中分49根蓍策成左右两摞时,既不能刻意使左摞多于右摞,也不能刻意使右摞多于左摞。筮者在占筮时应该不偏不倚地将49根蓍策迅速分成左右两摞。这样就没有理由认为左摞多于右摞的概率,大于或小于右摞多于左摞的概率。合理的看法是左摞与右摞之差d ₁的总体期望值应该等于0。

各种偶然因素使得每一次操作的结果随机变化。根据概率论中的中心极限定理，有理由认为随机变量d ₁应该近似服从期望值为0的正态分布N (0,σ ₁²)。

P {r ₃=36}=P {r ₂=40}×P {r ₃=36|r ₂=40}

为验证d ₁值服从N (0,σ ₁²),同时也为了估计σ ₁值,操作了这样的随机试验:取49根筹策,双手迅速中分为两摞,记录左右数目并计算出左右之差后合为一摞,分别请100个人独立重复上述过程,得到含有100个差值的随机样本,详见表1。因为样本中没有小于-15的值,也没有大于15的值,所以-15对应区间(-∞,-14),15对应区间(14,+∞)。

表 1对 d ₁总体的抽样结果与分布拟合 χ ²检验计算表

假设总体d ₁近似服从正态分布,计算样本均值为-0.02,用以估计总体均值μ ₁,计算样本标准差为6.4479,用以估计总体标准差σ ₁,利用下式计算概率值:

本文选取我国A股上市公司2012～2017年数据，通过融资约束综合指标和SA指数来衡量企业的融资约束程度，深入探究了融资约束、对外直接投资、企业绩效三者之间的关系。实证结果显示：（1）融资约束会对企业对外直接投资决策产生抑制作用，即企业融资约束程度越严重，对外直接投资倾向越小；（2）对外直接投资对企业绩效具有显著的促进作用，而且企业绩效水平的提升存在滞后效应；（3）融资约束在对外直接投资影响企业绩效的过程中起到扩大振幅的作用，即企业的融资约束程度越高，对外直接投资对企业绩效的促进作用越明显。

式(2)中：ec为人均生态承载力(hm2/人)，Ai为人均实际的某类生态生产性土地面积(hm2/人)，yi为产量因子，i、j与Wj所代表的含义与其公式(1)中的含义相同。在计算生态承载力时，由于各地区各种生物生产面积产出存在差异，需要引进一个产量因子来实现生物生产面积的转化，并扣除12%的生物多样性保护面积，即为可利用的人均生态承载面积。产量因子采用我国目前常用的取值[13]，即耕地、建筑用地、林地、草地、水域和化石原料用地的产量因子分别取值为1.66、1.66、0.91、0.19、1.0、0。

(1)

P {r ₁=44}×P {r ₂=36|r ₁=44}

(2)

因为分布族的χ ²拟合检验是用连续分布近似估计离散分布,要求每一个区间上的理论频数np 均大于5,所以表1中将d ₁的取值为-15、-13、-11三行，d ₁取值为-9、-7两行，d ₁取值为7、9两行，d ₁取值为11、13、15三行的频数与理论频数分别合并。这里n =100,公式(2)中的k 是拟合项,这里k =10,表1的求和项为103.7565,代入(2)式计算得χ ²=3.7565,χ ²分布的自由度ν 按ν =k -r -1计算,其中r 表示分布中未知总体参数的个数,这里未知总体参数有2个,一个是总体均值,另一个是总体标准差,代入计算ν =7,利用χ ²分布的概率分布函数可得显著性概率为0.8074,远大于一般情况下的显著性标准0.05,所以接受一开始的假设“d ₁总体是一个正态总体”,存伪的可能性很小,相反如果拒绝这一假设,那么弃真的概率则会高达80.74%。

求得表1所示随机样本的样本标准差是S _d1 =6.4479,样本方差是按式

代理人是基于权利人的委任而管理他人事务的人。1.一名代理人，或是就全部财产或是就单项事务，可以在出席者之间，也可以信使或者信件来设立。

(3)

推算d ₁总体标准差σ ₁的99.9%置信区间，这里代入公式(3)计算得σ ₁的99.9%置信区间是(5.20, 8.34)。

1.2 第一变后剩余蓍策数r ₁的概率分布律

d ₁的取值空间是{±1,±3,…,±45},剩余蓍策数r ₁的取值空间是{40,44},并且r ₁=40对应d ₁∈{-41,-33,-25,-17,-9,-1,7,15,23,31,39},r ₁=44对应d ₁∈{-45,-43,-39,-37,-35,-31,-29,-27,-23,-21,-19,-15,-13,-11,-7,-5,-3,1,3,5,9,11,13,17,19,21,25,27,29,33,35,37,41,43, 45}。于是

P {r ₁=40}=P {d ₁=-41}+P {d ₁=-33}+

P {d ₁=-25}+P {d ₁=-17}+P {d ₁=-9}+

P {d ₁=-1}+P {d ₁=7}+P {d ₁=15}+

P {d ₁=23}+P {d ₁=31}+P {d ₁=39}

使用正态近似法有

水稻种质资源是研究水稻的物质基础，在杂交育种的过程中占有非常重要的地位。为了更好地利用种质资源，应对水稻的优质资源进行探讨，使水稻的优质基因得到更好的遗传，以发挥种质资源的作用。根据我国水稻发展的特点，应大力收集各地优质的品种和特异的品种，并加强对优质种质资源的引进和新品种的鉴定、评价，从而提高杂交水稻育种的产量。

(4)

为了完整探求P {r ₁=40}随σ ₁在其99.9%置信区间 (5.20, 8.34)中的变化规律,将公式(4)看成是以σ ₁为自变量，以P {r ₁=40}为函数值的函数。利用数学软件^[4]，作出该函数在一个比(5.44, 7.87)更加宽泛的范围，比如(1,16)中的图象,如图1。图象表明σ ₁在区间 (5.20, 8.34)中自由变化时,P {r ₁=40}稳定于0.25附近,分别将σ ₁的99.9%置信区间的上下限σ ₁=5.20与σ ₁=8.34代入,可得P {r ₁=40}的值分别是0.2500760176与0.2500000129,所以认为P {r ₁=40}=1/4是合适的,从而P {r ₁=44}=3/4,其中的细微差异可以部分归结于用连续分布规律估计离散型随机变量概率所造成的误差。

图 1 P { n = 40}随 σ ₁变化规律

1.3 第二变的概率分析

=3/8×1/2=3/16

采用与第一变类似的分析过程可得

P {r ₂=32|r ₁=40}=P {r ₂=36|r ₁=40}=1/2

P {r ₂=36|r ₁=44}=P {r ₂=40|r ₁=44}=1/2

于是三变而成一爻,占得老阴、少阳、少阴、老阳的概率分布律见表2。这一结论同于董著。

P {r ₂=32}=P {r ₁=40}×P {r ₂=32|r ₁=40}

=1/4×1/2=1/8

P {r ₂=36}=P {r ₁=40}×P {r ₂=36|r ₁=40}+

如果总体d ₁确实近似为一个正态总体,那么表1中的实际频数f 与理论频数np 就不应该相差太大,衡量这一差距的统计量是按下式计算的χ ²统计量。

研究区面积为5 011.03 km2，以1∶5万比例尺DEM数据为基础，采用栅格数据处理方法将研究区进行网格划分，全区划分为3 052行、 3 854列，共8 017个25 m×25 m规模的单元格，然后以单元格为单位对各指标进行归一化处理。

=1/4×1/2+3/4×1/2=1/2

P {r ₂=40}=P {r ₁=44}×P {r ₂=40|r ₁=44}

=3/4×1/2=3/8

1.4 第三变的概率分析

第三变的概率分析应在r ₂=32、r ₂=36与r ₂=40三种情况下,讨论r ₃条件分布。与前类似有

先用较坚硬的石块回填槽孔，石块不宜太大；然后进行重新造孔。重新造孔进尺不宜太快，发现孔斜时应再次回填石块重复造孔。

P {r ₃=24|r ₂=32}=P {r ₃=28|r ₂=32}=1/2

P {r ₃=28|r ₂=36}=P {r ₃=32|r ₂=36}=1/2

P {r ₃=32|r ₂=40}=P {r ₃=36|r ₂=40}=1/2

加强对医护人员健康促进专项培训,把健康促进成为一种常态性的工作来开展,将健康促进和健康教育有效纳入医疗服务工作中,提供系统化的就诊、入院和出院健康教育及康复指导,医患沟通取决于治疗疾病的成败,好的医患沟通可以使医护人员较快地了解患者的病情,及时准确地采取有效的治疗措施。加强医患沟通,医院成立老付热线、护患连心廊、健康驿站、健康教育微信平台等,有利于医务人员与患者、家属进行交流和沟通,并通过报纸、媒体、网络向公众开展健康知识传播、科普知识宣传、预防保健等,受到社会各界广泛赞誉。

P {r ₃=24}=P {r ₂=32}×P {r ₃=24|r ₂=32}

从而

=1/8×1/2=1/16,

P {r ₃=28}=P {r ₂=32}×P {r ₃=28|r ₂=32}+

This manuscript deals with questionnaire survey on super-extended lymphnode dissection in patients with AGC. The conclusion of this manuscript seems to agree with the general consensus of current Japanese surgical oncologists,and could be acceptable for publication.

P {r ₂=36}×P {r ₃=28|r ₂=36}

=1/8×1/2+1/2×1/2=5/16

P {r ₃=32}=P {r ₂=36}×P {r ₃=32|r ₂=36}+

P {r ₂=40}×P {r ₃=32|r ₂=40}

2.初一时，大家觉得自己和中考之间还有段距离，但从初二开始，学业内容的数量和难度、学校的要求、父母的期待都发生了很大变化，带着一种说不出来的急切。这种急切让大家感觉到中考的严酷，主动学习的学生平日里不敢放松一丝一毫，被动学习的学生又处在“想努力却总也追不上”的煎熬里。

=1/2×1/2+3/8×1/2=7/16

至此，我终于明白了。她所谓的“怕”，其实是面对弱者的遭遇无力提供帮助而产生的自责，继而形成的逃避行为。

随机变量d ₁的取值空间是{±1,±3,…,±45}。严格来说,d ₁是一个离散型随机变量,正态分布是一种连续型分布,但在样本容量足够大条件下,可以用连续型分布的概率分布规律估计离散型随机变量取值的概率。这里具体做法是将d ₁所有取值按升序排序,用相邻两个值的中点将整个数轴分成若干个子区间,这样d ₁落在每一个子区间的概率就相当于d ₁取相应的值的概率。

对第二变的概率分析,首先在r ₁=40与r ₁=44两种情况下,讨论r ₂条件分布。

根据全概率公式可得随机变量r ₂的概率分布律如下:

表 2《筮仪》三变成一爻的概率分布律

初步观察可知,占得阳爻与占得阴爻的概率各占1/2,阴阳平衡。占得变爻(老阴或老阳)的概率为1/4,占得少阳或少阴的概率为3/4,占得变爻的概率较低。

2 关于《筮仪》筮法概率分析的两点说明

第一,每一变之结果的概率分布所表现的稳定性,反映出《筮仪》筮法设计之巧妙。古圣先贤仅凭手中的一把蓍策模拟天地四时人事的变化,究竟是如何完成这样一个令人叹为观止的天才设计,今人已不得而知。这种稳定性表明,不管是什么样的占筮者、不管在什么样的条件下、不管使用的是什么样的占筮工具,三变而成一爻的概率分布均相同,这其中蕴含着非同寻常的哲学意义。著名的历史学家、经学家、儒学家金景芳先生早年强调《周易》的内容首先是筮，然后是卦，最后才是辞。在筮法当中有思想、有哲学、有所谓的“天之道”。研究《周易》必须先研究筮法,因为筮法本身就是哲学。研究《周易》的哲学思想,筮比卦更重要,至少说筮与卦同样重要。金景芳先生的论断无疑是精当的^[5]。

免耕栽培可省去耕田整地等繁重劳动，但除草、水田的开沟、分厢仍十分重要，做到雨后不渍水。在前茬作物收获后油菜苗移栽前2-7d，用克瑞踪、农达等灭生性除草剂及时喷施除草灭茬，在油菜苗移栽的当天用禾思农等芽前除草剂进行封闭式除草；玉米地在收获后没砍倒玉米杆之前喷除草剂，然后在玉米杆还立着时，用刀从上至下将玉米杆砍成20-30 cm的短节还于田间，玉米杆、稻草亦可覆盖于油菜行间，既可抑制杂草生长又能腐烂后肥田，高温干旱时还可起到降低地表温度与保墒的作用。

第二,以上概率分析表明,每一变之结果的概率分布所表现的稳定性存在一定条件,即左右之差的总体标准差不能太大,也不能太小,这就要求卜筮者在“中分为二”时,要心无所系、操作迅速,既不能刻意使某一摞多于另一摞,也不能刻意追求左右平衡从而导致左右之差的离散度太小。实际经验表明,“中分为二”时,运作迅速,信手一分,一般均可满足要求。从d 总体的总体标准差的99.9%的置信区间中也可看出这一点。相反,如果“中分为二”时有选择地使某一侧的蓍策数较多而另一侧的蓍策数较少、没有做到不偏不倚,那么将会使得差值d 的标准差较大;又或者如果“中分为二”时动作不够迅速，掺杂进人为因素，刻意使得左右蓍策数尽量平衡,那么将会使得差值d 的标准差较小。图1表明这两种情况下占筮结果的概率分布将会与表2完全不同。古人强调“中分为二”时不偏不倚与动作迅速是有所根据的,并不是所谓的为了增加占筮过程神秘感。

3《筮仪》筮法与《左传》《国语》筮例的拟合分析

《左传》《国语》两书关于《周易》的记载共二十二条。其中有六条纯以易经卦爻辞作为箴言进行说理,另有十六条筮例,占卦十七个^[6],具体是观之否，屯之比，大有之乾，归妹之睽，蛊，大有之睽，复，艮之随，困之大过，明夷之谦，屯，屯之比，坤之比，泰之需，乾之否，屯之豫，泰之八。其中,第17例的“泰之八”存在较大争议,暂舍之不用^[7]。这样所得的样本共16卦96爻,其中老阴少阳少阴老阳出现的频数汇总见表3。

此外，山体表层坡残积粉质黏土及部分全～强风化岩见高液限土分布，高液限土张缩性明显，一旦遇水则迅速软化，土体抗剪强度会降低，为滑坡的形成提供有利作用。

表 3老阴少阳少阴老阳统计

统计学上作分布拟合检验时一般选择计算过程较为简单的χ ²检验,但在利用χ ²检验作分布拟合时,因为使用了连续型分布的概率分布规律计算离散型随机变量的概率,所以最终求得的显著性概率存在着一定的误差,因此，下面在多项分布的概率分布律的框架下,精确计算《筮仪》概率分布律与《左传》《国语》筮例拟合检验显著性概率,只是计算过程较为复杂,必须借助数学软件进行计算。

假设随机试验共有四种不同结果“六”“七”“八”“九”,在一次试验中出现的概率分别是1/16、5/16、7/16、3/16。现独立重复进行该试验96次,记“六”“七” “八”“九”出现的次数分别是X ,Y ,Z ,(96-X -Y -Z ),其中X =0,1,2,…,96,Y =0,1,2,…,(96-X ),Z =0,1,2,…，(96-X -Y ),则X ,Y ,Z 的联合概率分布律为

③［以色列］尤瓦尔·赫拉利:《未来简史——从智人到神人》，林俊宏译，中信出版社2017年版，第340～344页。

i =0,1,2,…,96;

j =0,1,2,…,(96-i );

k =0,1,2,…,(96-i -j )

(5)

因为 “六”“七”“八”“九”出现的概率分别是1/16、5/16、7/16、3/16,所以独立重复进行96次该试验“六”“七”“八” “九”出现的理论频数分别是6、30、42、18,记之为向量(6,30,42,18)。实际试验时所得样本的实际频数向量与理论频数向量的距离较近的可能性较大,较远的可能性较小,这里的距离选择常用的欧氏距离。现在向量(10,32,43,11)与向量(6,30,42,18)的欧氏距离的平方等于70。在如公式(5)所示多项分布的样本空间中,求出与理论频数向量的距离的平方大于等于70的所有样本点对应的概率之和,就是《筮仪》概率分布律与《左传》《国语》筮例分布拟合检验的显著性概率P ,具体表达式是

(6)

其中logical是指逻辑判别式(i -6)²+(j -30)²+(k -42)²+(96-i -j -k -19)²≥70。

利用数学软件计算得拟合检验显著性概率P =0.3421,比通常的显著性标准0.05大很多,接受假设“《筮仪》筮得‘六’‘七’‘八’‘九’的概率分布律与《左传》《国语》筮例相合”是恰当的。相反如果拒绝该假设,则弃真的概率将达34.21%。

4 结论

按照《筮仪》这一随机数发生器,只要在操作 “中分为二”时,既不刻意使左右数目悬殊,又不刻意追求左右数目平衡,那么占筮结果的概率分布相对于左右之差的离散度将表现出相当的稳定性。经过假设检验,为易学主流学派所接受的《筮仪》筮法筮得“六”“七”“八”“九”的概率分布律与《左传》《国语》中的实际筮例基本相合,也就是与东周时期的《周易》筮法基本相合,拟合度为34.21%,只是没有达到令人完全信服的高度,关于这一问题今后将进一步研究。

参考文献：

[1] 董光璧.易学科学史纲[M].武汉:武汉出版社,1993.

[2] 孙涤.解析大衍筮法及易卦的蓍占概率[J].文史哲,2018(1):47-59.

[3] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.北京:高等教育出版社,2008.

[4] 张宝善.Mathematica符号运算与数学实验[M].南京:南京大学出版社,2007.

[5] 金景芳，吕纲.周易讲座[M].长春：吉林大学出版社，1987.

[6] 高亨.周易古经今注[M].北京：中华书局,1984.

[7] 廖名春.《左传》、《国语》易筮言“八”解[J].国学学刊，2012(1):5-11.

Analysis of the Probability of Zhouyi Benyi ·Shiyi Based on Normal Approximation

WANG Xiao-gang¹, ZONG Xu-ping²

(1. Yangzhou Polytechnic College, Yangzhou 225009, China; 2. Yangzhou University, Yangzhou 225002, China)

Abstract : By using normal approximation, this paper makes a more detailed probability analysis of Zhouyi Benyi ·Shiyi . With the probability distribution law of multinomial distribution, the paper obtains the significance probability of the fitting test which is 0.3412 and is greater than 0.05, based on the divination cases recorded in The Tso Chuan andGuoyu . The result shows that Shiyi is basically consistent with the Zhouyi divination method; reflected in The Tso Chuan andGuoyu .

Key words :Zhouyi Benyi ·Shiyi ; divination; normal approximation; divination cases recorded in The Tso Chuan andGuoyu ; multinomial distribution; fitting test

收稿日期： 2018-11-29

作者简介： 王晓刚(1966—),男,扬州职业大学数学科学学院副教授。

基金项目: 扬州职业大学科研资助项目(2017RW10)。

中图分类号: B 221

文献标识码: A

文章编号: 1008-3693(2019)01-0030-05

(责任编辑：张疆涌)

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