HPM视角下椭圆概念教学的意义，本文主要内容关键词为：椭圆论文,视角论文,意义论文,概念论文,HPM论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
自2005年第一届“全国数学史与数学教育会议”在西北大学召开以来，HPM（History and Pedagogy of Mathematics）日益受到我国数学教育界的关注，关于数学史教育价值的讨论层出不穷，一些HPM教学案例亦悄然诞生.HPM在情感态度价值观方面的作用得到了广大数学教育工作者的认同，而在认知方面的作用却始终受到质疑，这就造成了HPM在公开课、评比课上频繁亮相，而在日常教学中却无人问津的现象！
在2011年第四届数学史与数学教育会议上，浙江省义乌市第四中学陈锋老师作了“基于旦德林双球实验的椭圆教学”的报告[1]，引发了热烈的讨论.与会者肯定了这一案例在激发学生兴趣、创造学生学习动机方面的作用，但该案例比椭圆概念的传统教学耗时更多，因此，有与会者从“教学效率”和学生认知角度对该案例提出了质疑.针对这些肯定与质疑，笔者结合自己的调查，对HPM视角下的椭圆概念教学进行更深入的思考.
本文试图回答以下问题：经历了椭圆教学的学生对椭圆最深刻的印象是什么，他们对椭圆概念的把握是否完整？椭圆概念的传统教学与HPM视角下的教学有何本质区别？HPM视角下的椭圆概念教学除了具备情感态度价值观方面的作用，在认知方面是否也存在不可替代的作用？
二、学生对椭圆概念的认知
1.两个问题暴露学生对于椭圆认知的缺陷
有两个数学问题引发笔者关注学生对椭圆概念的认知.
例1 （2008年浙江高考理第10题）如图1，AB是平面α的斜线段，A为斜足.若点P在平面α内运动.使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）.
（A）圆（B）椭圆
（C）一条直线（D）两条平行直线
分析这一问题是当年浙江高考卷选择题的最后一题，不仅困扰了很多学生，还困扰了很多教师.解决的关键是到直线AB的距离为定值的点的轨迹是圆柱面，而圆柱面被平面斜截所得的截线当然是椭圆.该问题的困难之处当然在于把“面积为定值”化归为“点的轨迹为圆柱面”，但是如果学生对于椭圆的认知是建立在圆锥（柱）截线的基础上，那么这一化归就未必不能完成，更何况四个选项实质就是圆柱面的四类截线，显然大部分教师与学生对此并没有感觉.
例2 （2009年浙江会考卷第26题）一不透明圆锥体的底面半径为5，母线长为10，若将它的顶点放在水平桌面上，则该圆锥体在桌面上的正投影不可能为（）.
分析 这一问题虽然出自于会考题，作为笔者任教的省重点中学的学生，处理会考题本不应该成为一种困难，然而这一问题却同样困扰了很多学生，显然他们对于圆面只有在平行于投影面时它的正投影才是圆.当圆面不平行且不垂直予投影面时它的正投影为椭圆这一知识不甚了了.
上述两个问题均与椭圆有关，但所涉及的并不是椭圆的轨迹定义，而是圆锥截线这一椭圆最原始的定义以及椭圆与圆的密切联系.那么，什么才是椭圆最本质的定义？我们在教学过程中是否忽视了对椭圆本质的把握？
2.关于椭圆认知的调查及其结果分析
为了大致把握学生对于椭圆的认知情况，笔者对所任教高中的145位高三学生（90位文科，55位理科）进行了一次问卷调查.问卷只有一个问题：“关于椭圆你能想到什么，请把你想到的全部写下来，谢谢！”调查结果如表1所示.
（1）第1～6类涉及的是椭圆的定义.很多学生尤其是文科生提到鸡蛋、橄榄球、柠檬等生活中的椭圆，理科生提及生活中的椭圆虽然少些，但更多的学生绘制了椭圆的图形，还有少数学生提及“变形的圆”，虽然表述并不科学，但却隐含着圆与椭圆的联系.可见即使学过椭圆概念，学生对于椭圆最直觉的反应并不是轨迹定义，而是椭圆的几何形态，这才是学生真正的认知起点.同时对于椭圆定义的呈现也能显现出教学干预的结果，人教版的教材已经删去了圆锥曲线的第二定义（统一定义），但在笔者所在学校，理科班教师对此略有补充，所以理科生中有学生提及了统一定义，而文科生没有.参与调查的90位文科生源于笔者本人任教的两个班级，这两个班级的椭圆概念教学都始于圆柱截线，借助旦德林球将圆柱截线的定义与轨迹定义联结起来，因此有19位学生提及了圆锥（柱）截线这一定义，几乎与轨迹定义相近.而55位理科生中则只有一位学生提及.
（2）第8～11类则可以说完全是教学干预的结果.椭圆方程、椭圆的几何性质以及解析几何的方法，已经成为了学生对于椭圆认知的核心内容，掌握解析几何的思想方法，用代数研究几何图形当然是必要而有意义的，调查结果表明了高中解析几何教学的成功，但是对比椭圆的定义，尤其是圆锥（柱）截线定义的苍白，我们不能不说这同样也是椭圆教学的缺憾！
（3）提及圆锥的学生不能确定是想到圆锥截线，还是解析几何，所以将它单独归类.提及椭圆的应用的学生虽然只是少数，但能将椭圆联系到天体运行轨道，尤其是联系到开普勒定律，说明他们对椭圆的认知已经更深一层，椭圆概念不仅仅是数学知识，更是解决实际问题的工具.
（4）还有一些同学提到的是“压轴题”，“计算复杂”，“解析几何很难”等，笔者都将它们归入其他一类中，看着这些字眼，学生虽然掌握了解析几何的知识与技能，是不是也同时牺牲了他们对于解析几何的兴趣与认同，可见我们的教学确实还有值得反思的地方.
从调查结果可见，学生头脑中存在两种椭圆表象：一种是生动鲜活的生活中的椭圆表象，有些学生甚至能将椭圆与圆结合在一起识别比较，更有部分能力强的学生能够体会到椭圆在现实生活中的作用.生活中的椭圆，是学生头脑中磨灭不了的椭圆表象，也是对椭圆最初的认知.另一种椭圆表象，融合了椭圆的轨迹定义、椭圆的方程以及椭圆的几何意义，虽然是教学干预的结果，但是长时间的训练，使得学生对这一椭圆教学形态的印象同样深刻.
然而传统椭圆教学下的学生头脑中的两种椭圆表象是彼此割裂的.他们的头脑中缺乏椭圆基于生活中的椭圆表象的椭圆的截线定义，当然更不能将椭圆的截线定义与轨迹定义融合.对于学生而言椭圆的定义、方程及几何意义只是解决解析几何问题的工具，与生动的椭圆表象是没有联系的，学生在进行繁琐的解析几何运算的过程中甚至连椭圆的表象也是没有的，这正是传统椭圆教学的缺陷，它割裂了椭圆的原始形态与解析几何形态.
三、HPM视角下的椭圆概念教学
HPM视角下的椭圆概念教学是在重构椭圆历史顺序的基础上完成的（图3），椭圆的历史包括：古希腊人发现椭圆、3世纪阿波罗尼斯给出截线定义及推导了椭圆的基本性质与焦半径性质、17世纪荷兰数学家舒腾给出利用椭圆的焦半径性质作图的方法、法国数学家洛必达给出椭圆的轨迹定义并推导椭圆的方程.其中最后的机械作图法、轨迹定义、椭圆方程构成了人教版教材的顺序.
HPM视角下的椭圆概念教学借助于旦德林球沟通了椭圆的截线定义与轨迹定义，由截线定义跨越了复杂的基本性质推导过程直接过渡到轨迹定义，便于学生的理解.教学过程如图4所示，包括创设情境、介绍椭圆的截线定义、推导椭圆的焦半径性质、给出椭圆的轨迹定义、推导椭圆的标准方程五个环节.
义乌市第四中学的陈锋老师实施的椭圆概念教学与笔者之一的教学设计[2][3]略有差异，在借助旦德林球推导椭圆的焦半径性质时有一个从单球到双球的过程，其余部分大致相似.
通过教学反馈与学生问卷调查显示HPM视角下的椭圆概念能够为学生所理解与认同，也有助于激发学生的学习兴趣，为学生所喜爱[2].
四、HPM视角下椭圆概念教学的意义
椭圆的圆锥截线定义源于椭圆的原始形态，是椭圆概念的本质，而椭圆的轨迹定义是解析几何的产物，便于建立椭圆的方程，用代数方法研究椭圆的性质.椭圆的轨迹定义并不是建立椭圆方程的唯一手段，像椭圆的第二定义，与两定点构成的两直线的斜率乘积为定值的动点的轨迹，甚至古希腊的“三线轨迹”[4].都可以成为构建椭圆方程的定义.因此，笔者认为椭圆的轨迹定义作为熟悉解析几何思想方法的范例是合适的，但就椭圆本身的理解而言，它确实是存在缺陷的，尤其是割裂了椭圆与圆的联系，使椭圆成了一种孤立的图形.
HPM视角下椭圆概念教学的实质是利用旦德林球沟通了椭圆的截线定义与椭圆的轨迹定义，使得学生在掌握解析几何典型范例的基础上同样能够把握椭圆概念的本质.这才是这一教学案例在认知上真正的作用，它未必能够加深对椭圆轨迹定义的理解，但它对于椭圆本身的理解却有着深刻的意义.虽然在高中数学教学中椭圆只是解析几何的一种载体，然而在现实生活中椭圆却有及其广泛的应用，天文学、光学、建筑领域都能找到椭圆的身影，因此对椭圆本身更深刻的认识有助于学生对解析几何真正价值的理解：我们之所以学习这门学科，是因为它能让我们更广泛、更深刻地了解几何图形的性质，从而能更好地服务于我们的生活。而不仅仅是因为它能帮助我们解题应试.
五、结语
歌德曾经说过：“一门科学的历史就是这门科学本身.”[5]数学的历史也就是数学本身，或者至少也是数学本身不可分割的一部分.数学史不仅可以促进学生对数学的理解，最重要的是，它能使学生对数学的理解更加完整.“促进理解”和“使理解更完整”有着本质的区别，“促进理解”主要体现在深度上，主要是一种纵向的联系，“促进理解”可以有多种教育手段.像情境教学、变式教学等等，数学史不过是其中的一种而已；而要使数学的理解更加完整，则不仅要求有纵向的联系，更要有广度，要有横向的联系，那就非用数学史不可.没有数学史，数学的理解就是不完整的，因而数学史不可替代.
拿椭圆概念来说，学生头脑中虽然存在椭圆的生活表象与椭圆的解析几何表象，但这两种表象之间是彼此分割的，因而学生对于椭圆概念的把握是不完整的.传统的椭圆概念教学关注的是椭圆的解析几何表象，把重点放在了椭圆轨迹定义的教学上，而未能将椭圆的截线定义与椭圆的轨迹定义融合，这是椭圆概念传统教学的缺陷也是椭圆概念的传统教学与HPM视角下的椭圆概念教学的本质区别.椭圆的截线定义是椭圆概念不可分割的一部分，而服务于解析几何的椭圆的轨迹定义与截线定义之间是相互独立的，联结两者的唯一桥梁就是旦德林球.要让学生认识椭圆的本质，截线定义是不可替代的，而联结两种定义时，旦德林球同样也是不可替代的，这就是数学史在椭圆概念教学中的不可替代性.让学生对数学的理解更加完整，应该是在数学教学中融入数学史的主要目标之一.