胡琴[1]2003年在《二次系统极限环的有限性问题》文中研究说明本文将用纯初等方法研究二次系统极限环的有限性，虽然Bamon宣布已经完成了二次系统极限环的有限性证明，但其证明过程中用到了涉及复域的Il'yashenko定理，从而给Il'yashenko定理一个初等的证明是本文的主要思想。本文具体就是证明无界多边环都是有限的，包括无界双曲的情况和无界非双曲的情况，其中最重要的部分是针对无界双曲多边环的情况，即Il'yashenko定理。证明采用以下的方法：首先对无穷远处的奇点的特征根引入一个辨别式λ_1~1/λ_1~2=λ_2~1/λ_2~2≡k及S_1~1/S_1~2=S_2~1/S_2~2≡g，其中λ_i~j，S_i~j为系统线性部分在奇点处对应的特征根，当等式不成立时系统已被证明极限环是有限的，所以我们只需要针对等式成立的情况，在此条件下，按照k和g的取值情况分析分界线环的存在性以及结聚现象，关键在于研究k和g均属于(-∞，0)，即分界线上为双曲鞍点的情况，此时等式成立与否直接决定了分界线构成的是单图还是非单图，则我们主要对其构成非单图时情况也就是等式成立的情况进行分析。在证明的过程中结合了极限环不存在性和唯一性。在本文的最后略为涉及Hilbert第十六问题中的极限环的个数问题及其在生态环境上的应用。
孙艾明[2]2003年在《多项式微分系统极限环的有限性问题》文中提出所谓的多项式微分系统极限环的有限性问题是说，R~2上任一多项式向量场是否至多只有有限个极限环。关于这个问题的研究，现有的工作和有关资料见得不多。在有限性猜测的研究中有两个十分重要的结果，即修正的Dulac定理和Il’yashenko定理，现有的文献对这两个定理的讨论和证明非常简要。本文将围绕有限性猜测仔细来讨论这两个定理，主要是详细补出了这两个定理的证明。此外本文还介绍了一个与二次系统有限性证明有关的结果—Il’yashenko两边形定理。 正文分为四部分，引言介绍了问题的提出和相关概念。第二章详细讨论和证明了修正的Dulac定理，即解析向量场的单一多边环，可选取一适当半匀断，使相应的单一变换芽或为平坦芽，或为半正则芽，或为平坦芽的逆。第叁章详细讨论和证明了Il’yashenko定理，即平面解析向量场的多边环上每一顶均为双曲奇点，则此多边环附近不能结集无限多个极限环。最后一章介绍了Il’yashenko两边形定理，即实平面上解析向量场的任一两边形均为有限多边环，这个定理的直接推论便是二次系统的有限性定理。
罗明星[3]2007年在《Hilbert数的下界估计》文中研究说明David Hilbert在1900年国际数学家大会的开幕式上提出了23个公开问题，其中第16个是关于代数曲线的分类和常微分方程定性理论的一个非常重要但又非常困难的问题。可以说在上个世纪有很大一部分定性理论方面的工作直接或间接与此问题相关，例如在综述性文献[Bull．Amer．Math．Soc．(New Series)，2002，39(3)：301-354]中罗列了160多篇相关参考文献；在专着[叶彦谦，多项式微分系统定性理论，上海科学技术出版社，上海，1993]中罗列了600多篇文献。在1995年该问题又作为Stephen Smale关于21世纪18个数学问题[Math．Intelli．，1998，20(2)：7-15]的第13问题而提出。在绪论中，我们讨论了多项式系统的极限环以及高阶细焦点系统的研究进展。事实上研究这些问题的方法很多，本章中我们主要介绍了向量场的分岔和后继函数方法以及这些方法的研究进展。为了全面了解Hilbert第16问题工作的进展，本文第二章将作一个综述，内容涉及到人们对Hilbert第16问题细分的叁个层面：单个有限性问题、存在性Hilbcrt问题和构造性Hilbert问题。在第叁章我们研究了Hilbert第16问题的第叁个层面，具体地说是对任意奇数次系统构造性地给出Hilbert数H(n)地更好的下界，其中H(n)代表n次多项式系统最大的极限环个数。白敬新、刘一戎对偶数n证明了H(n)≥n~2-n，对奇数n尚无结果。从白敬新、刘一戎的方法可以知道，Hilbert数的下界与所构造系统的小参数个数直接相关。在本文第四章我们构造了含有更多小参数的特殊系统使得各个焦点量之间具有更好的隐含递推关系，在转化焦点量计算的基础上充分利用这些递推关系得到更高阶数的细焦点系统，从而对偶数n得到更高的下界H(n)≥n~2-1。这个结果不仅改进了前人的结果，而且当n=2时还表明系统有3个极限环，这正是Bautin在1954年对二次系统得到的、至今仍是围绕单个奇点极限环的最高个数估计。
盛立人[4]1993年在《多项式微分系统极限环的有限性(续)》文中研究指明3 Il′yashenko定理 3.1证明步骤 本节旨在给出上节末陈述的Il′yashenko定理的详细证明(定理4),在有限性猜测的研究过程中,这是一个十分重要的结果。第一,正是用了这个定理,Bamon得以证明二次场的有限性猜测。其次,此定理的证明首次揭示,单一变换的渐近性属于复域拟解析理论,即涉及无限远处的解析性,这使人们认识到有限性猜测的本质所在。 我们介绍的证明,已经Martinet及Ramis等人修改过,致使复域技巧得以充分发挥。设Γ是解析场x的多边环,
盛立人[5]1992年在《多项式微分系统极限环的有限性》文中研究指明1 有限性猜测 1.1 前言下面这个猜测,早在Hilbert第十六问题出现不久,即由H.Poincare’提出(1900)~([18]). 有限性猜测:R~2上任一多项式向量场,仅有有限个极限环。
江娇[6]2007年在《平面系统极限环的局部分支》文中进行了进一步梳理本文主要研究几类平面系统的焦点或中心在多项式扰动下极限环分支问题。利用幂级数及定性分析的方法，确定两类高次对称Liénard系统在奇点附近的小振幅极限环的最大个数，并讨论低次系统在全平面上的极限环个数；研究叁次系统存在幂零中心的充要条件，以及一般的具有幂零中心的平面哈密顿系统在小扰动下的极限环分支，考察中心附近的一阶Melnikov函数的光滑性，及其展开式的前几项系数的具体表达式；利用开折及同宿轨改变稳定性方法讨论一类五次对称近哈密顿系统的极限环分支。全文的主要内容可概括如下：第一章概述了与本文相关的一些背景和预备知识。在§1．1中，介绍了Hilbert第16问题(后半部分)及弱Hilbert第16问题的研究进展；在§1．2中，介绍了平面系统的分支理论及研究方法；在§1．3中，介绍了我们的工作。第二章完整地解决了两类高次对称Liénard系统的在指标为+1的奇点的Hopf环性数。我们通过系统的等价变换，构造特殊函数，再借助于幂级数方法来确定Liénard系统在原点的Hopf环性数。我们避开了以改变焦点稳定性来获取极限环的传统方法，灵活地利用已知的定理，通过构造及论证定理的条件来达到我们的目的。另一方面，我们充分利用文献中已有的成果，讨论低次系统在全平面中的极限环最大个数。第叁章讨论了具有幂零中心的平面哈密顿系统的极限环分支问题。首先给出叁次系统存在退化的幂零中心的充要条件，其次对于一般的具有幂零中心的哈密顿系统，我们利用巧妙的变换和详细的分析研究了中心附近的一阶Melnikov函数的光滑性，并给出其展开式的前几项系数，最后给出了这类系统新的极限环分支定理及其应用。第四章讨论了五次扰动近哈密顿系统的极限环个数问题，是第叁章幂零中心的其中一种情况。我们利用开折的方法将具有幂零中心的哈密顿系统转化为具有初等中心的哈密顿系统，再通过定性分析和分支理论的技巧，利用改变奇点及奇闭轨线的稳定性产生极限环的方法给出可以出现的极限环个数。通过改变扰动项的系数可以获得更多的极限环，所得结果大大改进了现有的结果。
臧红[7]2007年在《多项式系统的极限环分支》文中认为本文讨论了几类多项式系统在多项式扰动下的极限环分支问题。对于一类具有尖点环的哈密顿系统给出了其在尖点环附近的一阶Melnikov函数的展开式。利用一阶Melnikov函数的展开式的系数研究了尖点环分支、同宿分支、双同宿分支和Hopf分支，并给出了产生极限环的充分条件。借助于焦点量的计算讨论了系统中心存在的条件并用其来判定焦点的最高阶数。该问题的研究发展了利用奇闭轨线(例如同宿，异宿，双同宿环)稳定性的改变产生极限环的办法。全文主要内容分为七章。 第一章首次给出了一类具有尖点环的Hamilton系统其一阶Melnikov函数在尖点环附近的展开式。同时首次给出了关于x轴对称的哈密顿系统存在尖点环的充分必要条件。并且针对于给出的条件，作为定理的应用讨论了尖点环附近的极限环分支。 第二、叁章首先给出了一阶Melnikov函数的展开式中的系数与Lia-punov常数之间的关系，然后利用Hopf与同宿或双同宿分支中的Melnikov函数的展开式的系数研究了近哈密顿系统Hopf、同宿或双同宿分支产生的极限环的个数与分布，得到了全局分支产生极限环的一个新的充分条件。 第四章研究了一类Kukles系统的极限环的个数与分布，这里我们把所研究系统看作是叁次扰动下的退化的Kukles系统。用分支理论和定性分析的方法，得到该系统可以有5个极限环且有叁种不同的分布。不同于以前的工作，其中的两种分布的5个极限环都不是小振幅的。 第五章给出了只关于一个轴对称的叁次哈密顿系统的分类，研究了叁次哈密顿系统在叁次扰动下的极限环的个数与分布。通过研究奇闭轨分支可以证明该系统有9-11个极限环并且给出了其不同的分布，其中关于11个极限环的两种分布是新的。 第六章研究了一五次哈密顿系统扰动下的极限环分支，利用定性分
王继华[8]2012年在《几类具有退化奇点的平面可积系统的扰动》文中研究表明本文研究了四类具有退化奇点的平面可积系统的多项式扰动问题,属于Li′enard-(m,n)型x = y, y = P(x)+εyQ(x)(deg(P) = m,deg(Q) = n)微分系统.当ε= 0时,未扰动系统是Hamilton系统.当m = 3时,它具有四次椭圆Hamilton函数,关于其多项式扰动问题已有深入研究,如[75–78].当m = 4时,未扰动系统是具有五次超椭圆Hamilton函数的Hamilton系统.五次超椭圆Hamilton函数的规范形最早由I.D.Iliev和L.Gavrilov[58]为回答V.I.Arnold[18]的一个问题而提出,而对一类余维五幂零尖点的五参数开折的极限环问题,研究可化归为具有五次超椭圆Hamilton函数的Hamilton系统在多项式扰动下的极限环判定[53].本文考虑了叁类具有幂零奇点的四次Hamilton系统的多项式扰动,以及另外一类二次可逆非Hamilton系统的四次扰动问题,讨论了它们Abel积分孤立零点的个数估计,以及各类分支产生的极限环个数问题,给出了系统的(伪)Abel积分孤立零点个数的上(确)界估计和系统全局环性数的下界估计.这是与高阶退化奇点多参数开折和弱化Hilbert第十六问题密切相关的研究课题.具体地,本文做了以下工作,一、第一章是一个简要介绍,介绍了本文的主要工作背景,研究进展情况,相关基础理论与方法和本文主要工作内容.二、在第二章,我们研究了一类具有幂零鞍点的同宿环的四次Hamil-ton系统的四次多项式扰动问题,扰动系统是Li′enard-(4,3)型.通过Hopf分支分析,得到初等细焦点阶数最多为3,证明了扰动系统存在极限环的(3,0)分布.考虑连接幂零鞍点和分界线的同宿环的扰动,得到系统可分支出3个极限环的参数域.对紧致周期环域的环性数讨论,采用了M.Grau等人考虑Abel积分的一个Chebyshev判据,将Abel积分零点个数的判定问题转化为一个代数判定问题,证明系统Abel积分孤立零点个数最多为4(即Abel积分向量空间是Chebyshev精度1的).叁、在第叁章,我们研究了一类具有双曲鞍点,尖点的退化多角环的四次Hamilton系统的叁次多项式扰动问题,扰动系统属于Li′enard-(4,2)型.通过对一阶Melnikov函数在初等中心附近的渐近展开,得到细焦点阶数最多为2.通过证明其一阶Melnikov函数具有Chebyshev性质,得到周期环域的环性数为2.并且一般性地我们对于一类具有双曲鞍点与k阶尖点的退化多角环的Hamilton系统的扰动系统给出一阶Melnikov函数的渐近展开式,并利用其得到该Li′enard-(4,2)型系统退化多角环环性数的下界为2.四、在第四章,我们研究了一类具有幂零中心的四次Hamilton系统的叁次多项式扰动问题,扰动系统属于Li′enard-(4,2)型.通过计算一阶Mel-nikov函数在幂零中心和双曲鞍点同宿环附近的渐近展开式,得到系统可以产生至少二个极限环;借助M.Grau等人提出的Abel积分的Chebyshev判据及求解半代数系统,证明了其一阶Meilkov函数在紧致周期环域最多具有2个零点.五、在第五章,我们研究了一类具有无界同宿环的二次可逆非Hamil-ton系统的四次多项式扰动问题,扰动系统属于Li′enard-(1,3)型.未扰动系统具有指数形式的积分因子,我们利用一些分析技巧结合微分方程定义的积分曲线思想,从几何角度证明(伪)Abel积分具有Chebyshev性质,从而证明了在有限平面系统环性数为1,结果符合Lins-de Melo-Pugh猜想.
杜佳[9]2013年在《几类微分系统的周期解或概周期的研究》文中研究说明众所周知,1881年至1886年,亨利.庞加莱开创了常微分方程定性理论.研究积分曲线的形状和奇点性质的定性理论,其核心思想在于避开求解微分方程的通解,而从方程本身出发,直接地研究方程所定义的积分曲线的性质,间接地获得解的性质.周期解理论或概周期解理论作为定性理论的一个重要组成部分,在天文学、通信、服务系统、自动控制和电子学等实际问题中有着广泛的应用.例如,天文学和物理学中的叁体问题,生态学中的Kolmogorov系统问题,化学中的叁分子模型,生物学中的人口合作与竞争系统等等.因此,研究微分方程的周期解或概周期解具有理论和实际的双重价值.毋庸置疑,非平凡周期解能够用来刻画各种经典非线性微分方程.孤立的周期解的存在性、不存在性、唯一性、稳定性以及其它性质,以发生在一个真空电子线路中的一种自持振动的一条闭轨是极限环的事实为基础,自Van der Pol, Lienard及Andronov的努力开始,已被渗透到微分方程定性理论的研究中.在自然科学和社会科学中,概周期现象比周期现象更容易见到.一些诸如天体运转,生态环境以及市场供需规律等等日常生活中的问题所蕴涵的微分方程的解就具有强烈的概周期规律.综上所述,常微分方程周期解或概周期解的讨论不但有助于丰富定性理论体系,而且将在处理应用问题上起到至关重要的作用.本文主要研究了几类常微分方程的周期解或概周期解,详细篇章结构如下.在第一章中,引述常微分方程周期解或概周期解问题的历史背景和已有的研究成果,重点综述了本文的研究工作.在第二章中,研究了一类广义Lienard系统非平凡周期解的存在性.首先讨论初值问题解的存在唯一性问题,其次优化了一些已有论文的条件,利用微分方程几何理论给出此系统存在非平凡周期解的简洁条件,推广和改进了这些论文的结果.在第叁章中,讨论了一类(Ⅱ)方程的极限环与分支.引入无穷远点,比较定理和Poincare-Bendixson环域定理,利用微分方程几何理论,给出此类方程的极限环存在性与大范围分支.推广和改进了存在的结果.在第四章中,分析了一类非多项式平面微分系统的极限环.应用形式级数法理论,获得了判定原点为焦点或者中心的一些充分条件.给出两个实例以说明新理论成果的有效性.在第五章中,探究了一类(n+1)次多项式系统极限环的存在性及无穷远点的类型.利用计算焦点量,分析了中心焦点问题.基于旋转向量场理论和广义Lienard系统,研究了极限环的存在性,并证明了至多存在一个极限环的事实.通过Poincare变换,讨论了无穷远奇点的类型.在第六章中,诠释了一类二次微分系统的周期解及概周期解,分析了附有周期系数系统的周期解的存在性,证明了附有概周期系数系统的概周期解的存在性、唯一性及全局吸引性.
谭远顺[10]2005年在《Ⅲ类二次系统极限环问题和一类离散捕食系统的研究》文中研究指明本文的研究分为两个部分,第一部分讨论了一般Ⅲ类二次系统原点外围极限环的惟一性,第二部分分析了一类具年龄结构的离散型捕食系统。 在第一部分,我们首先利用Ⅰ类系统和(Ⅲ)_(a=0)类系统O外围具有惟一极限环这一已知结论,分析了b由零到非零时(Ⅲ)_(a=0)类系统O外围轨线拓扑结构的变化。指出和Ⅰ类系统的主要区别是(Ⅲ)_(a=0)系统增加了一条积分直线,其上可以有一个或两个鞍点。当d由零变为非零且dW_1<0时,O外惟一的极限环随着|d|的增加而扩大,最后可以形成过积分直线1+by=0上两鞍点的有界异宿环。由于O外的极限环不会与积分直线1+by=0相交而保持在此直线的一侧,因而在O外有极限环的区域内,两者的结构是拓扑等价的。 对于一般的Ⅲ类系统,当a≠0且|a|充分小时,利用结构稳定性理论及小摄动原理我们证明了对固定的l,m,n且m(l+n)≠0(即d=a=0时,W_1≠0)。则当d由零变为非零且dW_1<0时,O外Hopf分支产生惟——极限环,其演变过程和(Ⅲ)_(a=0)类系统相同,即证明了,存在a_0>0足够小,使|a+≤a_0时,O外极限环最多也只有一个。因而O外围轨线的结构和(Ⅲ)_(a=0)类方程等价。 当|a|不充分小时,O外极限环惟一的性质将有可能破坏,究其原因一是W_1可以等于O而使O成为高阶细焦点或中心,则由Bautin的摄动方法可知O的外围临近可出现多于一个极限环;二是当O外围形成的分界线环的稳定性和O的Hopf分支产生的极限环的稳定性相反时,可出现两(或更多)个极限环的情况,除此之外,在|d|增大的过程中,O外围跳出半稳定环分裂为两个极限环的情况.为证明此时Ⅲ类系统极限环的惟一性,必须附加条件以排除上述叁种情况出现的可能性.首先,取0<n<1,因为否则的话,N(0,1/n)将成为鞍点,不难说明,如形成通过鞍点N的同宿环时它正好与O外Hopf分支所产生的环稳定性相反因而破坏系统的惟一性;另外一方面,必须假定W_1≠0使O成为一阶细焦点,从而排除了上述极限环惟一性可能被破坏的前两种情形。然后在参数(l,m)平面上分别讨论了下列四组条件所界定的区域1)l>1/2,m<0;2)l<1/2,m>0;3)l<1/2,m<0;4)m>0,l>1/2,在适当的附加条件下也证明了Ⅲ类二次系统极限环的惟一性。这些结果充分说明:
参考文献：
[1]. 二次系统极限环的有限性问题[D]. 胡琴. 安徽大学. 2003
[2]. 多项式微分系统极限环的有限性问题[D]. 孙艾明. 安徽大学. 2003
[3]. Hilbert数的下界估计[D]. 罗明星. 四川大学. 2007
[4]. 多项式微分系统极限环的有限性(续)[J]. 盛立人. 滨州师专学报. 1993
[5]. 多项式微分系统极限环的有限性[J]. 盛立人. 滨州师专学报. 1992
[6]. 平面系统极限环的局部分支[D]. 江娇. 上海交通大学. 2007
[7]. 多项式系统的极限环分支[D]. 臧红. 上海交通大学. 2007
[8]. 几类具有退化奇点的平面可积系统的扰动[D]. 王继华. 上海交通大学. 2012
[9]. 几类微分系统的周期解或概周期的研究[D]. 杜佳. 安徽大学. 2013
[10]. Ⅲ类二次系统极限环问题和一类离散捕食系统的研究[D]. 谭远顺. 南京师范大学. 2005