基于合作博弈的停车位分配模型论文

基于合作博弈的停车位分配模型

林小围^1,2, 周 晶¹, 卢 珂¹, 徐 媛¹

(1.南京大学 工程管理学院,南京210093;2.南京大学 金陵学院,南京210089)

【摘要 】如果完全信息下有限车辆从不同起点到同一目的地附近竞争有限车位的停车博弈为非合作策略式博弈,那么,当一辆车能够比其他车辆更快到达预想车位时,它将赢得该车位,竞争的结果为纳什均衡分配。但纳什均衡分配结果往往不是系统最优分配,因此,运用合作博弈理论研究停车博弈问题,建立联盟停车成本合理、公平的分配机制,从而可以形成车辆联盟降低系统停车成本,使得各车辆最终支出的停车成本不会超过非合作竞争时的成本。合作博弈理论为停车场管理实践引入合作机制奠定了基础,为停车场的智能停车诱导系统提供系统最优的车位分配方案和相应的成本分配方案,为停车管理提供了新的思路。

关键词 ：停车诱导系统;合作博弈;特征函数;Shapely值

随着经济的发展,机动车保有量迅猛增长,大量的车辆在城市中心区域聚集而停车位稀少,停车成为城市中日益严峻的问题。每日通勤车辆巡游搜索车位不仅耗时,而且常常带来不愉快的情绪,加剧了城市的拥堵和污染^[1-5]。

1.3疗效评定标准治愈:症状消失,颈、肢体功能恢复正常,能参加正常劳动和工作。好转:症状减轻,颈、肩疼痛减轻,颈、肢体功能改善。未愈:症状无改善[4]。

近年来,通信技术、无线感应器和智能手机应用等快速发展吸引众多国际和国内学者研究智能停车诱导系统,精确的智能停车诱导系统日趋成熟。理论上,关宏志等^[6]从诱导系统总体规划设计的角度,结合智能交通系统,提出停车诱导策略;杨庆芳等^[7]提出了基于手机的停车位预定技术的实现框架和方案;段满珍等^[8]构建了基于个性化诱导需求的停车场分配模型;Teodorovic等^[9]提供了智能停车位库存管理系统,通过综合模糊逻辑与整数规划技术在线决策是否接受一个新的停车请求;Shao等^[10]提供了一个解决不同时间窗停车位共享的预约与分配模型;Xu等^[11]引入机制设计理论研究私家车位共享机制。实践中,SFpark^[12]、停车宝^[13]以及停车通^[14]等智能停车诱导系统被越来越多的用户接受。

技术的发展一方面使停车位位置、可得性和价格等实时的信息发布和获取变成一件相对简单的事情,但同时也加剧了司机们对停车位的竞争,文献[3,15]是从非合作博弈角度研究停车位竞争均衡、定价等。由于非合作博弈是个体理性而非集体理性,往往导致纳什均衡结果而非系统最优,本文运用合作博弈理论研究停车博弈问题,由智能停车诱导系统根据请求停车的车辆信息引导各车辆到达指定车位,以期减少各车辆停车成本和系统停车成本。

1 问题提出

本文研究这类完全信息停车博弈问题:n 辆不同位置的车辆同时向智能停车诱导系统申请同一目的地附近的停车位,设有n 个停车位可供停车,车辆集合和车位集合分别记为N 和P 。记车辆i ∈N 到车位j ∈P 的行驶时间为t_ij ,设t_ij 是确定的,且假设t_ij ≠t_kj ,∀j ,k ≠i ,即不同车辆到达同一车位的时间不一致。记车辆i ∈N 停在车位j ∈P 的成本为c_ij ,含行驶成本、停车费用、从车位到目的地的步行成本和可能的早到/迟到惩罚等,称为直接成本。在系统未进行停车位精确引导的情形下,车辆需根据行驶时间和成本对停车位展开竞争,如果两辆车竞争同一车位,t_ij 小则能赢得车位。而在多辆车竞争多个车位时,非合作情形下,t_ij 小则有机会选择对其而言成本小的车位;而t_ij 大则不得不将车停在成本较高的车位,有可能是因为车停在离目的地较远地方再长时间步行至目的地导致迟到而受到迟到惩罚。记停车博弈为G [N ,P ,(t_ij ,c_ij )_{i ∈N ,j ∈P} ],如图1所示。

图1 停车博弈G [N ,P ,(t _ij ,c _ij )_{i ∈N ,j ∈P} ]

所以,一般的停车合作博弈的核心可能为空集,可能有唯一元素,也可能包含无穷多解。

2 非合作停车博弈纳什均衡

博弈的部分参与者形成联盟后,需与联盟外的参与者竞争车位,以保证该联盟成本最小。但是其余成员为了最小化成本,由于车位资源有限,故会使该联盟成本尽可能大。

合肥至淮南，两个半小时车程。妻子下午两点多钟走进家门，一屁股坐在客厅沙发上，“哇哇啦啦”，失声哭起来。我丈二和尚摸不着头脑，心想她是在合肥跟大姐发生了争吵，或是半路上遇见了不良路人？妻子一边哭一边说，我在家待一个好好的，干吗要去合肥自找不自在。我好不容易听明白缘由，心里轻松地笑起来说，不是红斑狼疮不好吗？花一点钱算什么！妻子说，这是花钱的事吗？明明就是一个坑害人的骗局！我说，或许医生怀疑红斑狼疮，自有他的道理。妻子说，你不知道我上午半天是怎么过来的，那一刻我跳楼去死的心都有了。妻子不是心疼钱，是受到了大惊吓。

定义 1 对于G [N ,P ,(t_ij ,c_ij )_{i ∈N ,j ∈P} ],一个车辆与车位的分配结果称为是均衡的当且仅当对任意车辆i ∈N 及其所分配的车位j ∈P ,不存在其他车位j' ∈P ,使得c_ij' ＜c_ij 且t_ij' ＜t_i'j' ,其中i' 为分配给车位j' 的车辆^[3,15]。

上述定义说明,在均衡状态时,对于车辆i ,没有车位对其而言成本更小且在时间方面能够竞争得过其他分配在该车位的车辆。上述所定义的均衡本质上是纳什均衡,因为没有车辆能通过单方面转换至其他车位而降低成本。

由式(12)可知，交点轴线T-Map是4维E4中两个相交曲面约束的凸体，不能直接用于3维空间坐标的控制与检测，需将4维空间域投影到2、3维空间，将交点轴线偏差波动直接转换为映射点的坐标误差。

定义 5 设X 、Y 是CG (N ,V )中两个成本分配方案,S 是一个车辆联盟。如果X 、Y 满足:

表1 行驶时间t _ij 与成本c _ij

很显然,联盟成员都偏好于优成本分配方案,因此,应剔除劣分配方案。

Franke研究了关于对新产品的创意问题，认为管理者可以从公司外部的类似市场寻找灵感或解决问题，扩大范围不需拘泥于特定目标市场。最新2015年有学者研究了组织寻找新创意是公司创新过程的中心任务之一，具有一定经济潜力。所以学界有必要对创意问题进行深入细致地探索。

可以验证分配x ₁₁= 1,x ₂₃= 1,x ₃₂= 1,其余x_ij= 0满足定义1,是均衡分配。此时,3辆车的总成本为130。

为得到系统最优分配建立如下最小化总成本的0-1整数规划模型(IP):

由(IP)模型可以求得系统最优分配:x ₁₃= 1,x ₂₁= 1,x ₃₂= 1,其余为0。此时,3辆车的总成本为110。可见,所给例子的均衡分配比系统最优分配的总成本高出20单位。

无先兆型偏头痛患者基于前脑岛的功能连接分析 … ………………………… 郁媛文，刘红星，管青山，等 81

下文考虑车辆合作博弈停车,车辆间可以通过合作形成联盟最小化联盟总成本,再进行成本分配,从而决定一部分车辆向另一部分车辆转移支付一定费用,以补偿其因参加联盟而增加的直接成本。

3 合作博弈停车的车位分配与成本分配

在n 辆车停车博弈G [N ,P ,(t_ij ,c_ij )_{i ∈N ,j ∈P} ]中,允许车辆间相互交流信息和订立各种形式的契约,保证博弈后合理分配停车成本。所以车辆之间可以寻求各自的合作伙伴,作为一个整体共同参与博弈,以期减少总成本。因此,参与车辆可以形成不同的联盟。一旦某个联盟形成后,其成员都齐心协力,以保证该联盟成本最小。一旦博弈完毕,将联盟的成本再重新分配,与各车辆的直接成本进行比较,以确定哪些车辆需向另一些车辆转移支付费用。

定义 2 在G [N ,P ,(t_ij ,c_ij )_{i ∈N ,j ∈P} ]中,车辆集用N= {1,2,…,n }表示,N 的任意子集S 称为一个车辆联盟。

空集ϕ 、全集N 和单点集{i }也可以看成联盟,所以共有2ⁿ 个联盟。如车辆集N= {1,2,3}可以形成8个车辆联盟:

以前的政策规定，小规模纳税人有需要使用到增值税专用发票的情况，可以先行预缴然后由相关部门代开。这样使得小规模纳税人为拿票耗费大量的时间和精力。所以若小规模纳税人可以自行开具增值税专用发票或者向国税机关申请代开，则可以进一步提高服务水平并且保障纳税人充分享受改革带来的红利。中央财经大学教授樊勇也曾表示，如果能开放小规模纳税人自行开具增值税专用发票将有利于纳税人的自身权益，减轻税务机关的开票负担。

3.1 车辆联盟的特征函数

前述的停车博弈问题可描述为一个策略型博弈:

其中:N 为车辆集合;P 为车位集合也即各车辆的策略空间;u_i=u_i (p ₁,p ₂,…,p_n )为车辆i 在策略组合(p ₁,p ₂,…,p_n )下的停车成本;p_i 为车辆i 所采用的策略。若p_k=p_i (k ≠i ),则车辆k 、i 竞争同一车位。记g (p_i )为所有以车位p_i 为策略的车辆集合,于是,

式中,

即如果车辆i 到达该车位的行驶时间是所有以车位p_i 为策略的车辆中最小的,则车辆i 赢得车位p_i ,其成本为c_ipi ,且基于前文假设t_ij ≠t_kj ,∀j ,k ≠i ,不会有其他车辆也赢得该车位;反之,如果车辆i 未赢得车位p_i ,则其成本为足够大的常数M 。

文献[3,15]是从非合作博弈角度研究了停车位竞争均衡、定价等,由于每辆车都尽可能最小化自己的停车成本,故车辆间的竞争将产生均衡分配的结果。

定义 3 对于任何非空车辆联盟S ,其全部策略集记为Δ(S ),其任一策略记为σ_S ,当S 实施σ_S 时,N \S 实施σ_{N \S} ,特征函数定义为中个车位的选排列。联盟S 内部不会采用冲突的策略,即联盟S 内不会有两辆车竞争同一车位。

在前述的3辆车3个车位的博弈例子中,非空车辆联盟特征函数可以如下求出:

综上所述，尽管海南省旅游经济与生态环境系统评价指数呈现相反的发展趋势，但两者协调发展水平较为稳定，且有进一步提升的潜力。我们应该意识到旅游经济并非“无烟产业”，不顾对生态环境的影响大刀阔斧地发展旅游将威胁到旅游业的长远发展和人类的长期利益。因此，我们应该将生态文明建设融入旅游经济发展过程中，同时，加大旅游业扶持力度，发挥旅游经济的带动功能和支柱功能，促进海南省旅游经济与生态环境系统协调有序发展。

(1)联盟S= {1}与N \S= {2,3}的策略式博弈如表2所示,由定义可得特征函数:

(2)联盟S= {2}与N \S= {1,3}的策略式博弈如表3所示,由定义可得特征函数:

(3)同(1)、(2),可由联盟S= {3}与N \S= {1,2}的策略式博弈求得特征函数:

(4)大联盟S=N= {1,2,3}的特征函数为

Shapely值作为联盟成本分配方案时,智能停车诱导系统需向车辆1补偿支付245/6,而向车辆2和车辆3分别额外收取费用65/3和115/6。

记G [N ,P ,(t_ij ,c_ij )_{i ∈N ,j ∈P} ]为CG (N ,V )。注意到,策略集Δ(S )含A^|S|_n 个有效纯策略:n 个车位

表2 联盟S ={1}与N \S ={2,3}的策略式博弈

表3 联盟S ={2}与N \S ={1,3}的策略式博弈

即为非合作博弈时系统最优分配总成本。

3.2 合作博弈停车的核心

联盟是否能够形成取决于联盟成本(或其他效用)实现后,如何分配成本。对于个体,如果分配到的成本比不参加联盟时分配到的成本多,其将没有动力参加联盟;对于小联盟S ,如果分配到的成本超过与小联盟N \S 非合作博弈时需支出的成本,其将没有动力参加大联盟。

不过，科学家对交叉证明所需的其他证据充满信心。因为从火星快车号独自发现的结果来看，科学家已经非常兴奋地认为：火星岩层下的东西，除了可以被认定为是湖泊之外，再也想象不到会是什么其他的东西。看来，火星上存在湖泊，已经是铁板上钉钉子的事了！

定义 4 设S 是CG (N ,V )中的一个车辆联盟,特征函数是V (S ),不妨设S= {1,2,…,m },如果向量X= (x ₁,x ₂,…,x_m )满足

则称X= (x ₁,x ₂,…,x_m )是联盟S 的一个成本分配方案。显然,如果x_i ＜V ({i }),则车辆i 不可能参加联盟。

本文通过一个3辆车3个车位的简单例子说明非合作停车博弈纳什均衡。表1给出了各车辆停到各车位所需的行驶时间和直接成本。其中每个单元格第1个数字为行驶时间,第2个数字为直接成本。

则称成本分配方案在S 上Y 优于X ,或称成本分配方案X 在S 上劣于Y 。

用x= (…,x_ij ,…)表示分配结果,其中,

定义 6 在一个n 辆车的停车合作博弈CG (N ,V )中,满足

条件的全体优成本分配方案X= (x ₁,x ₂,…,x_n )形成的集合称为博弈的核心,记为core(V )。

对于前述例子,记成本分配方案X= (x ₁,x ₂,x ₃),由下面不等式组:可以求得核心core(V )为:

另外，智慧课堂可以利用信息技术全程远程直播与录播课堂教学过程，一是可以实现课堂教学过程的再现，二是使因为特殊情况不能上课的学生，可以通过PC或移动终端随时随地进行学习，做到“人人皆学、处处能学、时时可学”。

由于CG (N ,V )车位分配为:x ₁₃= 1,x ₂₁= 1,x ₃₂= 1,其余x_ij= 0,故智能停车诱导系统引导车辆1到车位3,车辆2到车位1,车辆3到车位2,此时,车辆1的直接成本为30,车辆2为30,车辆3为50。于是,在核心中成本分配X ^*= (- 10,55,65)时,智能停车诱导系统需向车辆1补偿支付40,而向车辆2和车辆3分别额外收取费用25和15;在核心中分配X ^*= (- 5,55,60)时,智能停车诱导系统需向车辆1补偿支付35,而向车辆2和车辆3分别额外收取费用25和10。

3.3 凸博弈

上面所述的核心是联盟成本的合理分配,是博弈的集值解。特别地,如果博弈是凸博弈,则有很好的结论。

关系假设5认为，失地农民最终能否会做出“报名参与”再就业培训的选择，主要是由该选项对应的“总体前景价值”决定的。这一关系假设是根据前景理论的观点推论出来的。本研究认为，失地农民在进行“是否参与”再就业培训的决策时，会对“参与”和“不参与”这两个选项分别做出“前景价值”的判断。根据判断结果，个体最终会选择“前景价值”相对较大的选项。

定义 7 设CG (N ,V )是n 辆车的停车合作博弈。如果∀S ,T ⊂N ,均有

则称CG (N ,V )为凹博弈。

定理 1 设CG (N ,V )是凹博弈,则core(V )非空。

然而,一般情况下,停车合作博弈可能既不是凹博弈也不是凸博弈,在前述例子中,如:

本文运用合作博弈理论^[16-18]研究停车博弈问题,形成智能停车诱导系统精确引导的停车位最优分配方案,也提供了合理、公平的停车成本分摊机制。智能停车诱导系统先引导早到的车辆将车停在远处指定车位并对其进行成本补偿,再引导晚到的车辆至目的地近处的车位并向其收取额外的成本,从而实现晚到车辆转移支付给早到车辆以补偿早到车辆因让出近处车位而增加的直接停车成本,实现各车辆停车成本和系统停车成本的减少。

由图4可知，900 ℃和1 200 ℃煅烧生成的生石灰作为钙质原料时，合成的硬硅钙石纤维XRD图中出现了杂峰，说明产物中伴有杂质，纯度不高。而1 000 ℃和1 100 ℃煅烧生成的生石灰作为钙质原料时，合成的硬硅钙石纤维特征峰显著，未出现杂峰，硬硅钙石纯度较高。

核心为空集和含有无穷多个解都是核心的缺陷。无穷多的合理的成本分配无助于问题的解决,下文给出成本分配的Shapely值也是博弈的解,它不仅合理,也是联盟成本的公平分配。

4 Shapely值

Shapely值是1953年Shapely提出的以他名字命名的具有实际应用价值的“一点解”,它能够克服参与者的次序问题,把参与者每种可能排列的边际成本(盈利)向量相加之后再平均。

定理 2 对于CG (N ,V ),存在唯一的Shapely值φ (V ),且

式中,s=|S| ,即联盟S 中元素个数。

对于前述3辆车3个车位的停车博弈例子,可以求得:

式中,策略组合(p ₁,p ₂,…,p_n )对应于联盟S 、N \S ,分别实施策略σ_S 、σ_{N \S} 。特别地,定义V (ϕ )= 0。

（1）国内外学者针对冻融作用下土的物理性质和力学性质开展了大量的研究工作，取得了丰硕的成果，但是这些研究工作主要是围绕土体物理力学强度开展的，从黄土体微观结构角度、温度场角度研究还较少。

下面给出计算额外收取费用或补偿支付r_i ,i ∈N (当r_i ＞0时为对车辆i 额外收取费用,当r_i ＜0时为对车辆i 补偿支付)的算法:

(0)初始化t_ij 、c_ij ,i ∈N ,j ∈P 。

(1)求解式(1)～(4),最优车位分配方案x ^*= 对应的车辆策略组合记为,最优目标函数值记为SO ^*。

(2)根据式(5)计算车辆所有可能策略组合(p ₁,p ₂,…,p_n )时各辆车的停车成本u_i (p ₁,p ₂,…,p_n ),i ∈N 。

(3)计算各联盟S ⊂N 的特征函数:

①V (ϕ )= 0;

②V (N )=SO ^*;

③ 对于S ≠ϕ 且S ≠N ,根据式(6)

(a)对联盟N \S 的策略集Δ(N \S )中每一策略σ_{N \S} 计算联盟S 最小停车成本

(b)计算。

增强成品保护意识，及时回填管沟及设置水道标，防止管道被不知情人员挖断，或几年后维修时管道位置不清，造成不必要的麻烦。

(4)根据式(13)计算合作博弈时的Shapely值φ_i (V ),i ∈N 。

(5)计算,i ∈N 。

(6)输出最优车位分配方案和对各辆车应收取的额外费用或补偿支付r= (…,r_i ,…)。 终止。

5 结 语

本文运用合作博弈理论研究停车博弈问题,建立联盟停车成本合理、公平的分配机制,从而可以形成车辆联盟降低系统停车成本。在停车场管理实践中,智能停车诱导系统基于合作博弈的车位分配结果引导先到的车辆将车停在远处,从而空出近处的车位给后到车辆,后到车辆转移支付给先到车辆,以补偿先到车辆因让出近处车位而增加的直接停车成本,为停车管理提供了新的思路。

本文虽着重研究车辆数与车位数相同的停车博弈问题,但是即使数量不相同也可以引入虚拟车辆或车位转化为数量相同的问题。

本文所研究的问题为n 辆车的完全信息静态停车博弈,然而,现实中的停车问题为动态问题,并且各车辆停车需求的时段、不同司机的时间价值也不同,这些都是后续可以研究的问题。

另外,特征函数是合作博弈中极其重要的概念,文中所提供的特征函数的计算方法在面对规模较大问题时计算量较大,后续研究中将寻找求特征函数的快捷方法。

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Parking Slot Assignment Model Based on Cooperative Game Theory

LIN Xiaowei ^1,2,ZHOU Jing ¹,LU Ke ¹,XU Yuan ¹
(1.School of Management and Engineering,Nanjing University,Nanjing 210093,China;2.Jinling College,Nanjing University,Nanjing 210089,China)

【Abstract 】If the complete information static parking game of finite vehicles from different origins competing for slots around the same destination is a non-cooperative strategic game,the vehicle which can reach the target slot before others will win the parking slot,which leads to Nash equilibrium.However,Nash equilibrium is not always system optimal.Using the cooperative game theory,a reasonable and equitable parking cost reallocation scheme to reduce the system parking cost and every vehicle’s parking cost can be built.The cooperative game theory lays the foundation for the introduction of cooperative mechanism into parking management,providing an optimal parking space allocation scheme,a corresponding cost allocation scheme for the intelligent parking guidance system of parking lot,and a new way for parking management.

Key words :parking guidance system;cooperative game theory;characteristic function;Shapely value

中图分类号 ：F 570.6

文献标志码： A

文章编号 ：1005-2542(2019)01-0062-05

收稿日期 ：2017-02-22

修订日期： 2017-05-08

基金项目 ：国家自然科学基金资助项目(71371094)

作者简介 :林小围(1983-),男,博士生,讲师。研究方向为交通管理。E-mail:030168@jlxy.nju.edu.cn

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