龚炜[1]2002年在《无网格方法在偏微分方程数值解中的应用研究》文中研究说明本文的主要目的是研究无网格方法，并将其应用于偏微分方程的数值解过程中。与传统的网格方法不同，无网格方法的核心是用“点云”离散求解区域，并基于当地点云离散结构，引入二次极小曲面逼近空间导数。本文先以代表定常不可压位势绕流的Laplace方程为例，研究了Laplace方程的无网格离散形式，并运用GMRES高效算法对其快速求解，数值模拟了典型的圆柱绕流；并通过不同点云尺度的数值模拟，显示出点云尺度对计算精度的影响。在此基础上，将该方法推广应用到解算Euler方程组。针对守恒型Euler方程组的无网格离散形式，借鉴非结构网格方法附加耗散模型，采用五步Runge-Kutta显式时间推进格式求解。并且基于点云离散结构，引入了当地时间步长、残值光顾等加速收敛技术，数值模拟了对称和非对称翼型绕流，获得较好的计算结果。本文还对基于点云结构的无网格计算软件的面向对象设计模式进行了研究，着重于提高软件的复用性和灵活性，划分了此类软件中的基本功能类，提出了一系列常用设计模式，对无网格计算软件整体框架设计进行了有意义的探索工作。
陈风雷[2]2016年在《无网格RBF插值方法在偏微分方程计算中的应用》文中研究指明无网格方法是继有限差分法与有限元法等传统的数值方法之后兴起的一种很有前景的数值方法。相比传统的数值方法,无网格方法对网格没有较强的依赖性,自适应性较强等优点。随着近年来国内外学者的研究,无网格方法也日渐成熟、多样。基于径向基函数()无网格法是一种真正的无网格法,具有形式简单、数值精度高等优点,逐渐成为近年研究的热门课题之一。本文将基于插值应用于解决偏微分方程数值解问题。正文首先介绍了插值,分别模拟高阶导数插值与多重积分插值的数值实验,并给出了形状参数(8的取值范围,数值实验表明:多重积分插值相比高阶导数插值更加稳定、精度高,对于形状参数(8的选择更加灵活多变。文中给出了常微分方程导数插值与积分插值方法的数值格式。在全域导数插值方法中,针对系数矩阵具有较强的奇异性,学者们提出了局部插值方法,并给出了迎风格式以提高数值解的稳定性,我们分析并比较全域与局部两种导数插值方法对数值实验的影响。另外,本文结合Tikhonov正则化法给出径向基插值有限积分法的误差估计,该估计表明:函数的光滑性越高,数值精度越高。数值实验表明:结合插值的有限积分方法具有数值精度高、结构简单、形状参数(8选取灵活等特点。
苏令德[3]2014年在《基于无网格方法几类电报偏微分方程的数值解》文中研究表明本文主要的工作是,利用无网格算法来求解几类双曲型电报方程的数值解。双曲型电报方程是一种应用广泛的偏微分方程,在电学,弹性力学,流体力学,声学以及微波技术等众多领域有着重要的应用,许多的专家和学者对其进行了探索,同时电报方程在数学科学中又被认为是一种特殊的偏微分方程,除极少数情况外,大多数情况下是没有解析解的,只能通过数值方法求其数值解,因此对于电报方程数值解的研究就具有极其重要的意义。无网格方法是一种完全基于点近似的新兴的数值算法,近些年来,已被广泛地应用到流体力学,材料力学,固体力学,机械工程等方面,受到越来越多的专家学者的关注。无网格方法的最显着特点是不需要网格,与传统方法相比,摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚,保证了求解的精度,大大降低了计算的复杂度。无网格方法对于网格的依赖性较弱,从而很好的避免了有限元,边界元等基于网格的数值算法中可能出现的网格畸变和扭曲问题,在一些有限元,边界元等方法难以处理的领域内能够体现出其独特的优势。即便与一些传统方法相比其理论发展尚未成熟,但无网格方法仍是一种很有发展前景的数值模拟分析方法。本文主要利用基于径向基函数插值的无网格配置的数值算法来求解一些电报方程的数值解,其研究的基础是径向基函数及其插值理论。文中主要介绍的无网格数值算法有Kansa's方法和特解方法,并利用这两种方法求解一些双曲型电报方程,主要有一维,二维,叁维的线性电报方程,非线性电报方程,以及非齐次时间变量问题。并且通过数值比较,很好的说明了无网格数值算法对于求解这些电报方程是非常有效的。
寿媛[4]2017年在《改进的MQ拟插值及其在偏微分方程数值解中的应用》文中进行了进一步梳理由于径向基函数本身的性质,越来越多的学者对径向基函数产生了浓厚的兴趣,并将其运用至计算几何、偏微分方程数值解等方面。其中径向基函数插值是其众多应用之一,但是随着插值节点数的增加,径向基函数插值对应的系数矩阵求解非常困难,甚至有些时候这个系数矩阵是病态的,这往往会使得计算变得非常不稳定。在这种情况下,径向基函数拟插值出现了,它不需要求解线性组方程,而且一些拟插值还具有多项式再生性、保单调性、保凸(凹)性等保形性。其中,比较具有代表性的是Multiquadric(MQ)拟插值方法。本文提出了一种改进的MQ拟插值方法,并且将此方法用于求解KdV方程的数值解。全文共分为五章。第一章为绪论部分。介绍了径向基函数产生的背景,概述了MQ拟插值的研究现状,以及利用MQ拟插值用于求解偏微分方程的研究现状。第二章是预备知识部分。概述了径向基函数和径向基函数插值的相关知识,主要介绍了四种经典的MQ拟插值算子,及其具有的性质。此外,本文还介绍了两种已改进的拟插值算子,一种是Ling构造的MQ拟插值算子LRf(x);另一种是陈荣华构造的MQ拟插值算子f*(x)。第叁章提出了一种新的改进的MQ拟插值算子。此方法以陈荣华构造的MQ拟插值算子f*(x)为基础,得到改进的MQ拟插值算子Lf*Rf(x),并通过数值实验验证了新方法具有较好的逼近精度。第四章将改进得到的MQ拟插值算子用于求解KdV方程。本文将改进的拟插值算子Lf*Rf(x)用于求解KdV方程,数值解结果显示此方法具有较好的逼近精度。第五章是总结与展望部分。总结了本文的主要内容,以及下一阶段将要做的工作。
徐光鲁, 庄健[5]2015年在《复合多层RBF网络及其在偏微分方程数值解中的应用》文中指出针对多层径向基函数网络具有很高的实函数逼近能力,但每个聚类上的逼近精度不高的特点,通过引进子网络,构造复合多层径向基函数网络。模拟实验表明:这种网络可提高逼近精度,尤其对于实函数逼近精度更高;将该网络应用于偏微分方程的求解,可以克服传统径向基函数插值法因为引入导数边界条件而精度大幅下降的缺点,使得数值解的精度提高3~4个数量级。
左传伟[6]2005年在《无网格方法理论研究及其在偏微分方程中的应用》文中进行了进一步梳理无网格方法是近几年来在计算科学和近似理论中的主要热点研究课题之一。无网格方法采用基于点的近似,可以彻底或部分地消除网格,不需要网格的初始划分和重构。克服了有限元方法函数近似需要预先划分网格的缺点。在过去的几年里,无网格方法在人工智能、计算机图形学、图像处理和各种类型的(偏)微分方程数值解等领域的应用研究已经展开。 本文首先介绍了有限元方法的基本原理及其局限性,阐明了无网格方法的产生背景,进而引出了无网格方法。其次探讨了叁种无网格的函数逼近方法:径向基函数插值方法、移动最小二乘方法和近似的近似方法,并对相关理论进行了论证。在此之后介绍了求解偏微分方程数值解的两种无网格方法:无网格伽辽金方法(EFGM)和无网格局部Petrov-Galerkin(MLPG)方法。研究问题之一是对EFGM和MLPG方法的积分方案进行了深入地探讨,将背景网格积分方案和局部支集积分方案进行了细致地比较。量级分析和大量数值试验指出背景网格积分方案与局部支集积分方案相比,在相同精度的情况下节约很多的计算时间。研究问题之二是关于无网格化方法中本质边界条件的实现,文中提出了Lagrange乘子识别法实现边界条件的思路,并借助数值试验对比研究了其它两种边界条件实现方法,它们各有千秋各有弱点。最后对移动最小二乘方法中影响半径r选取的充分必要条件进行了研究,为了得到满意的近似精度,借助数值试验探索并验证出了最佳的影响半径取值。节点均匀分布时,对于线性基,影响半径r可取为1.2h;对于二次基,可以取为2.2h。
肖敏璐[7]2010年在《利用MQ拟插值求解KdV方程》文中指出Korteweg-de Vries(KdV)方程是一类非常重要的非线性偏微分方程,在很多领域中都有重要的应用,其求解方法是国内外研究的热点问题之一.最近几年来,径向基函数(RBF)在微分方程求解中发挥了重要的作用,而Multiquadric(MQ)函数是一类重要的径向基函数.本文利用MQ函数拟插值方法,讨论了带有空间变量叁阶导数的KdV方程的一种数值解法.由于这种方法不需要求解线性方程组,所以本文的算法简单且易于实现.数值实验表明本文的方法是可行的,有效的.本文内容具体安排如下：第一章：首先对偏微分方程的类型、数值解法进行简要的介绍.第二章：作为与本文有关的预备知识,对径向基函数的基础理论,以及四种Multiquadric-(MQ)拟插值算子进行了介绍.第叁章：作为本文的理论基础,对径向基函数在偏微分方程数值解中的应用进行了介绍.同时,还介绍了有由陈荣华和吴宗敏提出的一种推广的LD拟插值算子,他们将这种特殊的拟插值算子用于求解二阶偏微分方程-Burgers'方程,取得了不错的效果.第四章：这部分是本文的核心,陈荣华和吴宗敏提出了一种推广的LD拟插值算子,并将其用于求解二阶偏微分方程-Burgers'方程.在其思想的启发下,本文对叁阶偏微分方程-KdV方程,讨论了一种数值解法.在本文的方法中,空间变量的叁阶导数用其一阶导数的二阶中心差商近似,时间变量的一阶导数用其一阶向前差商近似,而对于空间变量的一阶导数,则用推广的LD拟插值算子的一阶导数来近似.最后,阐述了本文的结论与展望,本文的方法简单并且易于实现,数值实验的结果也表明方法是可行的,有效的.同时,本文的方法,还可以进行改进,这将在以后的研究中进行.
李萍[8]2008年在《抛物型偏微分方程的MWLS算法研究及应用》文中提出抛物型偏微分方程是描写热传导、扩散和渗流等过程的重要数学物理方程。传统数值方法目前仍是求解抛物型偏微分方程的主要方法,但其网格限制的缺陷也日益暴露,因此有必要探索新的算法。无网格方法是目前国内外数值分析研究的热点之一,它可以克服有限元等传统数值方法对网格的依赖性,彻底或部分地消除网格。加权最小二乘无网格法是一种新的无网格法,本文主要研究加权最小二乘无网格法在抛物型偏微分方程上的算法和应用。本文系统介绍了无网格法的基本原理,详细介绍了移动最小二乘近似的函数逼近方法,结合数值算例对移动最小二乘近似的误差影响因素进行了研究,并探讨了最小二乘法的收敛性问题。由于加权最小二乘无网格法直接应用于抛物型方程,会使时间积分变得相当复杂,难于求解。本文将有限差分法与加权最小二乘无网格法相结合,主要针对热传导方程和对流扩散方程,构造了差分-加权最小二乘无网格算法来解决问题。算例表明该方法计算量较小,并达到了较高的精度。与有限元比较,该方法在空间上摆脱网格的束缚,并且具有计算精度高、前后处理方便等优点,程序也易于实现,是求解抛物方程的一种新的有效的数值方法。文中结合算例从构造近似函数和离散微分方程两个方面对影响加权最小二乘无网格法的主要因素进行探讨,给出了取得最佳效果的相应条件建议。用移动最小二乘法构造近似函数时对误差影响较大的是影响半径。无网格法所产生的误差与时间步长及其离散方式紧密相关,最小二乘法兼有直接配点法和伽辽金法在计算精度和效率上的综合优势。
褚洪学[9]2014年在《一类反应扩散偏微分方程的特解方法》文中进行了进一步梳理反应扩散偏微分方程是一类重要的抛物型方程,由反应项和扩散项组成,来源于自然界中广泛存在的扩散现象。在数学物理、化学、生物学等许多领域都有广泛的应用,如在空间领域用以描述人口的传播,在物理化学领域用以描述浓度和温度的分布等。在后者中,反应项描述热和物质的变换,而扩散项描述热和物质产生的速率。非线性项常常描述物质行为的规则。本文的目的是应用新近提出的一种无网格方法—特解方法(MPS),通过选取多二次函数(MQ),逆多二次函数(IMQ)与薄板样条函数(TPS)作为径向基函数,然后进行插值近似,主要通过有限差分和配置点方法,最后求解一类反应扩散偏微分方程的数值解。我们给出了一类线性反应扩散偏微分方程与一类非线性反应扩散偏微分方程的数值例子,取得了比较好的数值结果,通过比较与分析,说明这种方法的有效性。本文的结构如下：第一章,我们首先笼统的比较了求解偏微分方程的两类方法一网格类方法与无网格方法。接着,详述无网格方法的发展历史。然后,介绍了我们所要求解的反应扩散偏微分方程的研究背景。最后总结了本文的主要研究工作。第二章,先给出了径向基函数的相关概念,然后详细讲述径向基函数插值理论。第叁章,我们介绍了叁种基于径向基函数插值的无网格方法；Kansa方法、基本解法和特解方法。第四章,我们给出一类线性反应扩散偏微分方程的特解方法的基本原理,然后应用于二维和叁维的数值试验中,经过比较,试验结果与解析解取得了较好的一致性,说明此方法的稳定性和精确性。第五章,我们先介绍了一类非线性反应扩散偏微分方程的特解方法的基本原理,然后应用于二维的数值试验中。实验证明模拟结果比较理想。第六章,先对本文的主要研究工作进行了总结,然后对后续工作做了一下展望。
任佰荟[10]2016年在《非齐次电报方程的无网格数值解法》文中认为非齐次电报方程作为一类特殊的非线性发展型偏微分方程,在电学、光学、声学以及微波技术等领域中得到了广泛应用.除极少数情况外,该方程的解析解是难以求得的,只能通过数值方法求其近似解,因此对于非齐次电报方程的数值方法研究具有极其重要的理论意义和应用价值.本文的创新之处是本文主要研究非齐次电报方程定解问题的无网格特解方法.首先,通过有限差分方法离散方程中的时间导数；其次,适当选取径向基函数对未知函数及其空间导数进行逼近；最后通过逐层求解配置矩阵得到方程的数值解.本文结构安排如下：绪论中主要介绍本文的研究背景、研究方法、所考虑问题的研究现状及本文的主要研究工作；第二章,在给出径向基函数的相关概念后详细论述径向基函数的插值理论；第叁章,介绍无网格方法中,基于径向基函数的叁种基本数值方法；第四章,利用无网格特解方法数值求解非齐次电报方程并通过数值算例说明该方法对其方程的有效率和稳定性.第五章,本文工作总结及后续研究展望.
参考文献：
[1]. 无网格方法在偏微分方程数值解中的应用研究[D]. 龚炜. 南京航空航天大学. 2002
[2]. 无网格RBF插值方法在偏微分方程计算中的应用[D]. 陈风雷. 浙江理工大学. 2016
[3]. 基于无网格方法几类电报偏微分方程的数值解[D]. 苏令德. 山东师范大学. 2014
[4]. 改进的MQ拟插值及其在偏微分方程数值解中的应用[D]. 寿媛. 西华师范大学. 2017
[5]. 复合多层RBF网络及其在偏微分方程数值解中的应用[J]. 徐光鲁, 庄健. 安徽工业大学学报(自然科学版). 2015
[6]. 无网格方法理论研究及其在偏微分方程中的应用[D]. 左传伟. 西北工业大学. 2005
[7]. 利用MQ拟插值求解KdV方程[D]. 肖敏璐. 大连理工大学. 2010
[8]. 抛物型偏微分方程的MWLS算法研究及应用[D]. 李萍. 西安理工大学. 2008
[9]. 一类反应扩散偏微分方程的特解方法[D]. 褚洪学. 山东师范大学. 2014
[10]. 非齐次电报方程的无网格数值解法[D]. 任佰荟. 山东师范大学. 2016
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