数学教材应该怎样编写——从标准差是除以n还是除以n - 1谈起，本文主要内容关键词为：教材论文,标准差论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
根据1995年台湾教育部颁布的《高级中学数学课程标准》编写的教科书于1999年9月开 始使用。当初大家对“统计”教材中“标准差是除以n或n - 1”的疑问，在审定主管部 门的主导之下，现行版本一律选取了除以n - 1的情形。如今，虽然教师与学生都已经 默默接受，但是否表示在教学中已经没有任何争议了呢?值得反思。我们借此机会，探 讨这一批新教材存活下来的六种教科书，为什么会找不到一本独具创意的版本?问题症 结将在文章最后做出扼要说明。在新课程标准修订已接近完成之际，新教材将要在2006 年开始实施，笔者愿以参与教学的实际经验，提出诚挚的、具体的建议，给下一轮要编 写高中数学教科书的专家学者们参考。
二、从高观点看标准差之定义
统计学是关于数据资料的收集、整理、分析和推论的一门学科，其内容可区分为叙述 统计学和推论统计学两大部分。叙述统计学探讨数据的收集、资料的整理与描述等。如 果可以得到整个总体资料X[,1]，X[,2]，…，X[,N]，那么只要具备叙述统计的知识就 已经足够，此时整个总体的平均数μ，方差σ[2]、标准差σ分别表示如下：
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但是当我们碰到了一个资料个数很大的总体，在研究上为了节省时间与经费，实际做 法往往只抽取一部分代表性样本x[,1]，x[,2]，…，x[,n]，此时定
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的时候，这类偏差的数学期望值为0。举个例子，我们每天喝标示200c.c的瓶装鲜奶时 ，今天可能多喝了2c.c，明天可能少喝了2c.c，但长期喝此种鲜奶的偏差之平均值是0 ，此乃不偏多也不偏少之意。
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至于样本平均数是总体平均数的不偏估计量，以及样本方差是总体方差的不偏估计量 ，此时是否就表示估计值与真正值恰好相等?这是统计教学上一个容易受到误解的概念 。统计上我们说样本平均数(方差)是总体平均数(方差)的估计量，在以往所学的确定性 数学中“是”就被理解成“等于”，但在随机性数学中“是”却包含有“概率的含义” ，亦即上面的“是”并非样本平均数恰好等于总体平均数。它的实际意义应解释为：如 果我们知道了样本平均数的时候，那么总体平均数有很大机会落在样本平均数的附近。
三、标准差是除以n还是除以n - 1
新教材经过了第一年的争执与讨论之后，有些现行教科书为了说明标准差除以n - 1的 理由，在第二年的教材内容中补上了下列的证明：
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从上面的讨论可知，在高中课程中采取除以n的定义，在教学中比较符合高中学生的思 维，否则学生很难将新的学习内容与其旧的知识经验取得关联，他们就会转而偏向机械 式记忆。美国当代认知心理学奥苏贝尔主张要让学生的学习成为有意义的学习，其先决 条件就是学生能将所学内容与本身已有的知识联结起来，整个学习活动才容易被引导进 入有意义的学习活动。因此，大多数学生在高中阶段的认知根本无法了解不偏估计的意 义，怎能盼望他们可以掌握
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中要除以n - 1的理由呢?课程的设计与教材的编写必须从学生认知结构的角度出发， 才能使学生取得较佳的学习效果。当然，笔者也同意要尽量站在高观点的立场来编写教 材，但是当此立场与学生的认知有所冲突时，便应该以学生的可接受性为主要依据。否 则，获得的知识若没有完备结构作联结，那是一种多半会被遗忘的知识，一串不连贯的 论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命，也难怪很多人学完统计就“统统忘记”了。如果 真的需要再进一步说明，也仅能轻描淡写指出统计理
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难，这一阶段的统计必须着重于概念的理解与掌握，教学目标应引导学生贴近生活。 要成功地实施统计内容的教与学，教材与老师不仅要重视随机性数学的预备知识，还必 须让学生了解它与确定性数学的差异，而不是把统计当成计算标准答案的工具。因为在 统计的教学中，面对一组数据可能会有不一样的解释，同一个问题也有可能产生不同的 答案，所以在教材上根本没有必要规定统一的公式作为分析数据的绝对标准。
四、思考与建议
看到摆在书房的高中数学教科书，再仔细比较各版本的内容，使我想起了《数学传播 》24卷第3期第65页一段审稿人的话：“试问：有多少教师了解或设法了解课程更改的 用意?有多少教师肯以学生的学习立场来检讨自己的教学?有多少编者肯为那些在学习上 居于弱势的学生用心写一份妥适的教材?如今有了新课程与新教材，但我一点都没有高 兴，心情只是更加的沉闷。”看了这位学者语重心长的言论，让身兼教师与编者双重身 份的笔者，内心感到无限惭愧而且百感交集。在新课程标准及教材即将诞生的时刻，任 何耳目一新的改革都是令人期待的。面对整个数学教育的改革浪潮，对学生的数学学习 寻求更好的教学方法，为学生的学习内容设计适当的课程规划，应是数学界上下共同的 责任和目标。
笔者认为任何一次课程改革，除了要求负责课程标准制定与编写课程内容的人员有所 变革之外，也在暗示基层教师在教法上必须做些改变，甚至对于教学内容要多付出一些 心力。举一个高中教师都感到困扰的例子：当老师在教“极限的应用”这个单元时，师 生都会不耐烦于一再重复“分割→求和→取极限”的题目，教学中往往有学生反映“算 式太麻烦啦!考试怎么可能考?”“利用补习班的方法，直接积分多快啊!”以致很多学 校教师也直接教积分公式或干脆简单带过，这些都是不负责的教学方法。笔者在教这一 部分的时候，课堂上我先介绍y = f(x) = x[2]在0≤
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当讲解完前面3小题的时候，大部分的学生脸上开始露出愉快的表情，甚至有学生已直 观地看出后面两小题的答案，也排除了考试不可能考或计算太麻烦的疑虑，使学生在上 课中仍然维持良好的学习态度。教学中教师应恰当的利用相对直观的东西作为抽象概念 规定的表征，让学生能逐步地学会其核心概念的数学化。荷兰数学教育学家弗赖登塔尔 认为数学化在现实世界里是了解和深化理论的过程，其目的是要把生活世界的概念引向 符号世界。因此，教师若能充分了解课程安排的用意，进而提出更符合学生认知的学习 内容和方法，往往能透过课堂教学将教科书的缺点降到最低。
总之，笔者要不厌其烦地再次强调，教科书的编写必须深入探讨学生原有的认知结构 ，如此才能选择更适合学生特点的知识，并且也让教师在课堂上顺利地进行教学。在这 种兼顾教与学的理念基础上，教师不应仅仅是教材的使用者，更应该也是教材的开发者 与修正者。毕竟一本完善的教科书是否适合教师的教学适用性，是否适合学生的学习需 求性，都必须透过实际的课堂教学活动来检验。最近在Notices of the AMS中有一篇文 章中作者提到：“若数学家愿意从事善意和有建设性的评论，而不是傲慢与反讽的批评 ，那么美国数学战争的结果才不会继续造成数学教育界的伤害”。不可否认，数学家所 拥有的数学知识，使得他们对于高中数学什么概念是重要的，具备有较宽广的洞察能力 ，但数学家并不完全了解有些想法在课堂上是不易实行的。因此，当高中教师与大学教 授有机会一起编写教材时，必须避免教授的权威凌驾在教师之上的心态，唯有透过理性 的讨论才能呈现更符合教学需求的内容。另外，也希望负责课程标准制订与审查的专家 学者，应该保持较具弹性的眼光来审查课程内容。只要合乎数学理论的规范与系统，应 该留给编写作者们更大的发挥空间，如此才能期盼写出更有特色的全新教材，否则所有 版本内容千篇一律，感觉有点浪费资源。如果当初编译馆不要硬性规定标准差的定义， 或许目前会出现其他各种更有创意的表达方式。毕竟，开放版本也正是发展多元教材的 最佳时机，我们岂能错过这一大好的改革机会。