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摘 要：运用气泡形成的两阶段模型，分析在一定气体流量下，静止钢液中通过孔口连续溢出气泡的形成过程。通过MATLAB编程计算得到气泡的脱离直径。对影响气泡脱离尺寸的气体流量、孔口直径和表面张力因素进行分析，并将气泡直径的理论计算值与数值模拟结果进行比较。从理论计算结果以及与数值模拟对比得出：随着气体流量的逐渐增大，气泡的脱离直径总体变化趋势为由缓慢增大到迅速增大；在较小的气体流量下，气泡脱离直径受孔口直径和表面张力影响显著，随着流量的增加其影响越来越小；孔口边缘的润湿性对气泡脱离尺寸的大小起决定性作用。
关键词：气泡；二阶段模型；钢液；孔口直径；润湿性
本文在气体流量恒定条件下，应用气泡形成的两阶段模型，通过力平衡方程和牛顿运动第二定律，分析静止钢液中底部孔口处气泡的形成过程。利用MALAB编程计算得到气泡的脱离直径，对影响气泡直径大小的操作条件、物性参数条件和孔径进行分析，为气泡浮选去除夹杂物的理论研究提供参考。
1 静止钢液中气泡的形成
假设在钢包底部中心位置有一个直径为dh的圆形水平孔口，孔口边缘被钢液完全润湿，在恒定流量下氩气通过孔口形成连续的气泡。在气孔直径较小（<5~6mm）时，根据气体流量不同，气泡形成方式有三种状态：
当气体流量很小，Re≤500时，形成离散的单个气泡，气泡仅受浮力和表面张力的作用，假设气泡为球形，有
式中：db为气泡直径，dh为孔口直径，σ为表面张力，μ为钢液的黏度，u0为孔口气速，ρl、ρg分别为液相、气相密度，Re为雷诺数，g为重力加速度。由式（1）可以求出气泡的脱离直径。
当气体流量增大，500<Re<2100时，粘性力和惯性力将显著影响气泡的尺寸。
当气体流量增加至Re≥2100时，气体呈射流状喷吹到钢液中，随后分裂为尺寸各异的的气泡。
在钢包底吹氩过程中，其Re远远大于500。因此，浮力、表面张力、粘性阻力和惯性力对气泡的形成都有作用。两阶段模型表现为气泡的形成先后经历膨胀和脱离两个阶段。在膨胀阶段，气泡底部粘附在孔口边缘，顶部沿径向膨胀长大，当浮力大于向下的合力时，气泡最低点与孔口平面分离，进入到脱离阶段；随着气体流量的持续增加，气泡底部上移，在孔口上部形成一个近乎圆柱台体的“缩颈”，颈缩不断生长长大，气泡向远离孔口的方向移去。当颈缩逐渐变细直至断裂时，气泡与孔口分离。气泡在两个阶段的形成过程如图1所示。膨胀阶段和脱离阶段的体积之和为气泡脱离的最终体积：
式中：VE和VF分别是气泡膨胀段体积和最终体积，τf是脱离过程所持续的时间，Q为单位时间气体体积流量。
Fig.1 Schematic of bubble formation in expansion and detachment stages at the orifice of a ladle
1.1 膨胀阶段
气泡底部与孔口接触，保持静止，上部以等于气泡半径变化率的速度膨胀。作用在气泡上的各种力表达式如下：
（1）浮力，由气、液两相间的密度差所引起，
（2）粘性力，是液相对气泡的阻力。球形气泡在流体中运动所受到的阻力，可应用斯托克斯阻力公式近似计算，即
式中，uE为气泡膨胀速度，rE为气泡半径。
（3）附加表面力，由表面张力所引起，
cosθ 表示孔口处气泡表面与垂直方向之间的夹角，通常取cosθ=1。
（4）惯性力，气体持续通过孔口进入气泡，气泡以相应的速度膨胀而引起的惯性力。惯性力相当于动量的变化率，即
式中：M是气泡的虚拟质量，即气泡中气体的质量与包围气泡的液体体积（相当于气泡体积的11/16）的质量之和。若ρg<<ρl，ρg可以忽略，则
式中te是膨胀阶段持续的时间。
因为气泡底部与孔口边缘粘附，保持静止状态，所以气泡中心上升的速度即为气泡的平均速度，等于气泡半径的变化率，即
式中re为膨胀阶段气泡的半径，整理得
在第一阶段结束时有V=VE，向上与向下的力平衡时有
将气泡受到的各种力的数学表达式带入方程（11），整理后得到膨胀结束时气泡体积表达式
膨胀结束时的气泡脱离体积VE可由迭代方法求得。
1.2 脱离上升阶段
在脱离上升阶段，由于气泡受到向上的浮力大于向下的合力时，气泡底部逐渐向远离孔口方向外移而形成细颈，并通过细颈与孔口接触。最终气泡脱离半径rE推导公式见文献[1]，VE计算式
由式（12）求得VE和rE；然后由式（13）求VF，进而求得rF，最终得到膨胀、脱离阶段的气泡直径DE和DF。
理论计算采用的氩气和钢液的物性参数如表1所示。孔口气体流量Q = 0.125~1.325 L/min；取五个孔口直径，dh = 0.5、1、1.5、2和2.5mm；表面张力分别为σ = 1.4、1.6和1.8 N/m。
2 计算结果与分析
2.1 气体流量的影响
将表1的物性参数代入式（12）和（13），通过迭代和MATLAB编程计算，得到气泡的脱离直径随气体流量的变化规律如图2所示。
从图2中可以看出，在孔口直径和表面张力恒定的条件下，气泡体积主要受气体流量的影响。气泡的膨胀直径和脱离直径随氩气流量的增大而增大。当气体流量极小时（Q≤0.025L/min），气泡的膨胀直径和脱离直径几乎不受流量的影响。由式（12）可以看出，右端前两项可以忽略不计，浮力和表面张力决定膨胀阶段的气泡体积，气泡长大产生的浮力驱动气泡从孔口脱离；此外，由式（3）得到在脱离阶段和膨胀阶段的气泡体积近似相等，即DE ≈ DF。随着氩气流量的逐渐增加（Q≤0.175L/min），处于膨胀阶段的气泡在浮力和进口气体对气泡的推动力双重作用下与孔口分离，进而气泡基部与孔口接触的时间变短，因此气泡的膨胀直径增大趋势缓慢；而气泡底部内缩最终形成细颈，延长了气泡与孔口脱离的时间，气泡的脱离直径呈增大趋势，即DF > DE。随着氩气流量进一步增加，单位时间内进入气泡的气体剧增，与气体推动气泡较早脱离孔口的作用相比，增加的气体量对气泡体积的增大作用更为明显，因此气泡的膨胀直径和脱离直径都迅速增大。由式（3）得出脱离阶段的气泡体积远大于膨胀阶段的气泡体积，即DF >> DE。
2.2 孔口直径的影响
在不同孔口直径下气泡脱离直径随气体流量的变化关系如图3所示。由图3得到，气泡尺寸明显受到孔口直径的影响。在较低气体流量Q≤0.25L/min下，气泡随着孔口直径的增大而增大，因为表面张力提供很大的约束力，孔口表面越大，约束力越大；当气体流量Q≥0.25L/min时，孔口直径对气泡直径的影响越来越小；当气体流量增加到Q≥1.3L/min后，气泡受孔径影响规律趋于一致。
2.3 表面张力的影响
在气泡形成过程中，表面张力对其体积自始至终都有影响，如图4所示。但仅在气体流量Q≤0.225L/min时才影响显著，气泡脱离直径随着表面张力的增加而增加；当气体流量增加到一定程度后，其影响可以忽略不计。从式（12）可以看出，当气体流量增加到一定值后，表达式右端最后一项与前两项相比越来越不重要，进而表明表面张力随着气体流量的增加，对气泡脱离直径的影响越小。
2.4 计算值与模拟值的比较
在孔口直径dh=2mm，表面张力σ=1.8N/m条件下，将气泡脱离直径的理论计算值与Xu等[19]非润湿条件下的数值模拟值进行比较。Xu通过三维数值模拟建立了熔融钢包中气泡形成的数学模型，考虑了气体流量、孔径和孔口边缘润湿性的影响。液体对固体表面润湿的接触角θ如图5所示。
图6为理论计算值与数值模拟值的对比图。从图中可以看出，计算值与模拟值增长趋势趋于一致，但模拟值比理论计算值平均大了5.5 mm左右，这是因为在数值模拟中假定孔口边缘为非润湿条件（θ≥110°），气泡倾向于在孔口的外缘顶端形成，进而气泡脱离尺寸增大。可见孔口固体材料的润湿性对气泡直径的影响不可忽略。
3 结论
本文应用气泡形成的两阶段模型，在较低的气体流量条件下，分析了氩气由钢包底部孔口形成引入钢液时的气泡形成、脱离过程，利用MATLAB程序计算气泡脱离直径，考察了操作条件、物性参数条件和孔径对气泡脱离尺寸的影响影响，并将气泡直径的理论计算值与数值模拟值进行比较，得到以下结论：
（1）在孔口直径恒定的情况下，气体流量对气泡尺寸起决定性作用。随着气体流量的逐渐增大，气泡直径总体呈现从缓慢增大到迅速增大的趋势。
（2）在相同气体流量下，当气体流量较小时，气泡脱离直径随孔径的增大而增大；随着气体流量的持续增大，其影响越来越小。
（3）在较低气体流量下，气泡脱离直径随流量的增大而增大；随着气体流量的增加，表面张力对气泡尺寸的影响逐渐趋于一致。
（4）气泡直径的理论计算值明显小于数值模拟值，因此孔口边缘的润湿性对气泡尺寸的作用不可忽略。下一步工作把润湿性因素考虑进去，并对气泡形成的两阶段模型加以修正。
参考文献
[1] Ramakrishnan S，Kumar R，Kuloor N R. Studies in bubble formation—I bubble formation under constant flow conditions[J]. Chemical Engineering Science，1969，24(4)：731–747.
[2] Khurana A K，Kumar R. Studies in bubble formation — III[J]. Chemical Engineering Science，1969，24(11)： 1711-1723.
[3] Kulkarni A A，Joshi J B. Bubble formation and bubble rise velocity in gas-liquid systems: a review[J]. Ind. Eng. Chem. Res.，2005，44(16)：5873–5931.
[4] J. 舍克里著，彭一川译. 冶金中的流体流动现象[M]. 北京：冶金工业出版社，1985：8.
[5] 莫鼎成. 冶金动力学[M]. 湖南：中南工业大学出版社，1987：1.
[6] 朱苗勇，萧泽强. 钢的精炼过程数学物理模拟[M]. 北京：冶金工业出版社，1998：8.
论文作者:张春辉
论文发表刊物:《科学与技术》2019年第09期
论文发表时间:2019/9/30
标签：气泡论文; 直径论文; 气体论文; 流量论文; 孔口论文; 表面张力论文; 阶段论文; 《科学与技术》2019年第09期论文;