资金时间价值的几何定性分析方法，本文主要内容关键词为：定性分析论文,几何论文,资金论文,价值论文,时间论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文旨在建立一种以时间为变量的几何分析模型，较为直观地展示资金价值随某种影响因素变动时所遵循的运动规律，帮助人们加深对资金等值运算及评估理论的认识和理解。
一、资金时间价值分析模型的建立
本模型以投资收益率作为基础。投资收益率，表示的是财务分析或项目评估中投资的确切盈利程度。在国外，人们称之为内部收益率，用IRR表示。从经济含义来解释，它是指使资金流入量现值等于资金流出量现值的折现率。也就是说，当我们假定初始投资额为P，各年实现的现金流入量是Bt(t=1,2…n)时，使式子
nBt
∑────────=P
t=1(1+i)[t]
成立的收益折现率i，就是所定义的内部收益IRR。为了建立基本分析模型，我们假定投资、收益均只发生了一笔，其间相距的时间是t，那么，上述表达式的概念可以用下面的图1来表现。
在这个图形中，我们建立了一个直角坐标系。该坐标系的纵轴表示资金，叫Y轴；横轴表示时间，称为T轴。原点O表示所论问题的现值时点。图1的经济意义是：在初始时该投资的现金流出量现值为OP，经过时间t以后，在A时刻实现收益终值AQ。将AQ折算为现金流入量现值时，使之与现金流出量现值OP数量相等的折算关系为直线PQ。显然，PQ是该坐标系中的一条直线，其斜率tgα=k可以直观地表达出使现金流出量现值等于现金流入量现值的折算关系。事实上，我们记IRR=k时，若实际折现率i[,1]大于k，则意味着Q指向初始时刻的关系直线P[,1]的斜率tgβ=i[,1]大于k，（如图2所示）：这使得AQ按i[,1]折现后只能补偿OP[,1]数量的现金流出量现值，即大于IRR的折现率使NPV＜0；反之，如图2中所示的OP[,2]，其tgγ=i[,2]＜k，从而取得OP[,2]的总现值。从这个总现值中除去初始投资现值OP后，仍有长度为PP[,2]的净收益现值，所以PP[,2]就是所谓的净现值NPV。上文所列示的几何模式完全正确地揭示出了IRR、NPV和折现率i的时间等值关系。我们把这个模式称为资金时间价值的几何定性分析模型。当然，在这个模型中，我们只考虑了一次性投资和一次性收益的特殊投资问题。并且假定在一定的时间区间内，IRR随时间变化的关系近似于线性关系。
二、资金时间价值模型的应用
下面利用所建立的几何定性分析模型对资金时间价值的若干理论问题进行解释和讨论。
1.内部收益率和资金成本的比较分析
设i=IRR，i[,低]、i[,高]分别表示比某投资项目的IRR低和高的资金成本。该问题的几何定性分析模型如图3所示。图中明确显示出不同的资金成本对项目收益终值的要求。当资金成本小于IRR时，折算关系线为PQ，因为i[,低]＜IRR，所以AQ[,1]＜AQ，经济意义为：在资金成本低于内部收益率时，收益终值将取得正收益Q[,1]Q；当资金成本大于IRR时，折算关系线为PQ[,2]，因为i[,高]＞IRR，所以AQ[,2]＞AQ，经济意义为：在资金成本高于内部收益率时，收益率终值将出现负收益QQ[,2]。
2.几何定性分析模型除了对市场折现率与内部收益率的分析有明显的直观表现效果外，对以下两种性质的问题也有直观的分析效果
(1)对一个项目，当投资不同而收益相同时，IRR的变化规律可由如下图4(a)描述。
图中，P[,1]是比P[,2]低的初始投资，在它们的收益终值相同的情况下，与P[,1]相对应的IRR[,1]必定大于与P[,2]相对应的IRR[,2]，该图表达了这样的经济意义：在收益不变的项目中，低投资对应的内部收益率大于高投资对应的内部收益率。
(2)与上述情况相反的情形可由图4(b)来描述。在初期投资不变的情况下，高收益的项目所对应的内部收益大于低收益项目所对应的内部收益率。或者说，改变收益终值能使项目对应的内部收益率发生改变，内部收益率的变化与收益终值的变化成比例，且方向相同。
3.对两个项目的决策的比较
(1)一个项目的内部收益率大于市场折现率，而另一个项目的内部收益率小于市场折现率的讨论。由基本几何定性分析模型的概念及逻辑关系，可以拓展到对两个项目的决策的讨论中来应用。设A、B为两个独立的投资项目，它们的初始投资额分别为OP[,A]和OP[,B]，内部收益率分别为i[,A]和i[,B]，两个项目在同一时刻t取得的收益终值分别为AQ[,A]和BQ[,B]，将上述经济量分别表示在几何定性分析模型中，可得图5。图5中，我们假定两个项目投资处于同样的市场环境，它们的市场折现率都是i[,市]，其中i[,A]＜i[,市]，i[,B]＞i[,市]。由图中，我们可以清楚地看到由于IRR与i[,市]的关系不同而形成的不同收益效果。对于项目A来说，由于IRR=i[,A]＜i[,市]，所以当其收益终值按i[,市]折现时，仅能取得OP[,A1]数额的现值，此值还不足弥补初始投资额OP[,A]。而对项目B来说，由于IRR=I[,B]＞i[,市]。所以当其收益终值按i[,市]折现时所能取得的现值额为O[,B1]，OP[,B1]不但能全部冲减初始投资额OP[,B]，而且能取得P[,B]P[,B1]的正净现值。
，
4.与净现值变化有关的几何定性分析模型
净现值NPV是评价项目投资净收益的一个动态指标，我们不但要善于根据内部收益率的大小计算NPV值的大小，更要善于分析净现值NPV与内部收益IRR之间存在的相互依赖关系，掌握两项指标相互影响的规律。
(1)一个项目，当其内部收益率IRR不变时，对应于不同的市场折现率，所能产生的净现值所遵循的变化可以用几何定性分析模型来描述。
如图7所示：在市场折现率i[,市]小于项目的内部收益率IRR的情况下，当i[,市]由大变小时，由收益终值AQ折现所能产生的净现值NPV则由小变大，也就是说"IRR-i[,市]"的值越大，能取得的净现值越大。在图中，与投资为OP，收益为AQ相对应的内部收益率是IRR，i[,市2]＜i[,市1]，显然在i[,市2]下取得的净现值PP[,2]大于在i[,市1]下取得的净现值PP[,1]。反之，当i[,市]＞IRR时，净现值为负。在i[,市]变大时，既定项目亏损的净现值NPV变小。
(2)与上述问题相反的提法是：可以根据已知的投资现值、收益终值及由它们决定的IRR分析预测：欲取得指定的NPV值，项目在生产经营的规划中应该达到的实际收益率。具体讨论方法如下。如图8所示：OP、AQ及由它们所确定的i[,IRR]分别表示既定项目的投资现值、收益终值和内部利益率。PR表示该项目希望取得的净现值NPV，它的大小可以用投资现值OP的一定倍数关系来表示，即可假定PR=kOP。那么在什么样的收益率i下，该项目才有可能取得数量为PR的NPV值呢？为解决这一问题，我们不妨设图中的OA=a，并作RN∥PM∥T轴，且设MN的长为b，NQ的长为c。那么：b=MN=PR=kOP；b+c=MQ=atgα=ai[,IRR]；NQ=b-c=ai[,IRR]-kOP。又由AQ=ai可知：
上述推导中，尽管Y轴方向上的线段单位名不相同，但在同一性质的问题中，各线段所表现的数值关系并未因坐标轴单位名的不同而受到影响，所以公式(1)指出了欲取得指定的NPV，计划项目应该达到的实际收益率。公式(1)可以改写成：
(2)式中的OP/OA为投资现值与时间长度的线段比。只要tgα=i[,IRR]，则OA的长度即为确定的。根据同一种推理，还可以定性地，甚至是定量地比较同时间条件方案之间存在的NPV，IRR的关系。因篇幅问题，便不在此作进一步推导了。
5.与收益终值时间变化有关的几何定性分析方法
一个项目在其投资现值和收益终值确定的情况下，讨论一下取得收益终值的时点及由此而形成的内部收益率IRR的关系，也是十分有意义的一件事情，因为对这个问题中的规律的揭示能引起人们对研究收益实现的时间受市场折现率影响的讨论的兴趣。解决该问题的几何定性模型如图9所示。图9中各条线段及文字的概念已表现得比较清楚，本处不再作解释。从图中的直线观察到的事实是，收益实现的时间越迟，对应的内部收益率IRR便越小，这与IRR的定义所蕴含的经济意义是完全一致的。但只要收益大于投资值，无论时间多么长，所决定的IRR仍然为正。此处我们还能顺便指出IRR为0的经济意义，如图10及图11：
当投资值＝收益值时，无论实现的时间在何处，IRR=tg0=0；当投
π
资值＞收益值时，由于─＜α＜π，所以IRR=tgα＜0，且收益时间延迟得
2
越久，tgα为负的程度越大。
当一笔收益的实现的时间向后推移时，一方面会使用各时点对应的内部收益率IRR按一定规律逐步缩小，同时在各时点的市场折现率相同的情况下，各时间点上所对应的NPV亦是按一定的规律减少的。图12中，i[,市]表示不变的市场折现率，IRR[,1]、IRR[,2]、IRR[,3]表示收益终值分别在T[,1]、T[,2]、T[,3]各时点实现时所对应的内部收益率，PQ[,1]、PQ[,2]、PQ[,3]分别为项目在收益终值实现的各时点之下所取得的净现值NPV。由于P[,1]Q[,1]∥P[,2]Q[,2]∥P[,3]Q[,3]，所以P[,1]P[,2]∶P[,2]P[,3]＝T[,1]T[,2]:T[,2]T[,3]，当OT[,2]=OT[,3]时,P[,1]P[,2]=P[,2]P[,3]。
6.关于NPV和IRR真实性的讨论
在使用NPV法时，已承认着这样的假设：它假定用产生的现金流入量重新投资会产生相当于企业资金成本的报酬率。而在使用IRR法时，已承认着这们的假设：它假定用产生的现金流入量重新投资会产生与该项目特定的内部收益率IRR相同的利润率。由于两项指标所假设的背景不同，NPV法以资金成本作为重新投资时的资金时间价值评价标尺，以此来衡量重新投资的效益。显然，资金成本对重投资来说是具有真实性和可靠性的评价标尺，而过时的投资报酬率对重投资来说是不具有真实性和可靠性的评价标尺。
上述讨论可以直观地再现于几何定性分析模型之中，如图13所示：A点表示初次投资的时间，AA′为初次投资金额，T[,1]表示第一次投资距第一次收益的时间长度，B点表示第一次收益的时间，BB′表示第一次收益金额。显然，按内部收益率的意义知，在B点将BB′按IRR折现至A点时，正好等于AA′的长度。由于资金成本在一般情况下必定小于IRR，所以在A点按资金成本i换算成B点的终值时，只会得到BB″＜BB′的结论。按照NPV和IRR的意义，应在B点假定将第一次的收益作再投资，图中画出了再投资的情况及再投资的第二次收益情况。（如图中C点所示）由图示可以看出，按IRR计算C点的终值(CC′)和按资金成本的计算C点的终值(CC″)有很大的差异，这种差异还会随二次投资时间的延长而加大。事实上，二次投资收益的金额应以CC″为依据，而不应以CC′为依据。
7.由社会折现率i[,社]及投资现值、收益终值及其内部收益率确定坐标轴单位的方法设想
该式表达的意义是：在tgα=i[,IRR]，tgβ=i[,市]的条件下，可由a与b的度量关系k得到横轴（时间轴）的时间线段t在坐标系中的长度。这就解决了建立几何定性分析模型中关于现值轴和时间轴的单位认定问题，事实上，用时间T的线段长度除以T的时间长度值。即为时间轴的单位长度值。设所求的T轴线段长度为m，所表达的时间长度是t时，则单位时间长度为m/t，（m是长度单位量，t是时间量。）如果这种设想能够实现，则可以在任意角和IRR之间建立一种正切的“函数”关系，编制函数表，并通过查表计算IRR的取值。
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