双曲线为什么有渐近线？——关于数学概念教学的几点体会，本文主要内容关键词为：渐近线论文,双曲线论文,几点论文,概念论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《普通高中数学课程标准（实验）》在介绍课程的基本理念时强调：倡导积极主动、勇于探索的学习方式。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。强调本质，注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。而概念作为数学的基础，其教与学的过程正是体现这些理念的最重要的课题之一。那么在教学过程中如何去体现这些理念，本文就结合教学中的实例谈谈自己的体会。
在学习双曲线的几何性质之前，我安排学生预习，并要求类比椭圆的研究方法，尽量先独立探索，再和小组的其他同学讨论，关键是能够提出自己的问题、疑惑并尝试解决。以下就是课堂上师生的部分发言。
教师：今天在上课之前请同学们将自己预习的成果共享一下。
学生1：当x=0时，方程
学生2：我想这是为了和椭圆的短轴对立。
学生3：我觉得更多地是为了引进双曲线的渐近线这个概念。
在一阵短暂的讨论之后，多数同学基本认可了学生3的观点，又一个同学站了起来，面带着一点不好意思的笑容：可是我不明白，为什么双曲线就有渐近线，而椭圆就没有？
在同学们的一阵笑声中，我却愣住了：这个问题以前没有学生问过，自己也没做过深入的思考，不过我马上肯定了这个同学的问题提得好并反问，将它还给了所有的同学，这一下，轮到同学们愣住了，随即传出一阵乱七八糟的说法：
书上没说啊……
我也是看书才知道有的，昨天为了弄清书上的证明还费了老大的劲儿……
讨论是进行不下去了。我也只好临场发挥了；看来我们只好从头开始了。以下就是根据我和学生共同讨论的结果。
1.对称性：和椭圆的完全一样。
2.范围：由方程
，这也和椭圆相似。不过和椭圆不一样的是这里没有y的取值范围。是不是就没有研究的价值了呢？
学生5：由
可以取遍所有的非负实数，也就是说y∈R。
学生6：还可以得到
，不过我还没想出这意味着什么？
学生7：平面区域！说明点(x,y)位于某个区域内。
通过回忆、讨论，大家形成了一致意见：双曲
正当我和同学们想来一起解决这个问题的时候，下课铃响了，看着同学们既相信又疑惑的眼睛，我布置了这节课的作业；系统研究双曲线
的几何性质。
启示一：概念的教学要提供相应的问题情境，要让学生清楚概念的来源及形成过程。
很多数学概念从形成的成熟也是经历了漫长的过程的。现在看来美不胜收的一些重要的数学理论和方法，在一开始往往是混乱粗糙、难以理解甚至不可思议的，但由于蕴涵着创造性的思想，却又最富有生命力和发展前途，经过许多乃至几代数学家的努力，有时甚至经过长期的激烈论争，才逐步去粗取精、去伪存真，使局势趋于明朗，最终出现了现在为大家所公认、甚至写进教科书里的系统的理论。我个人认为，双曲线的渐近线对同学们来说是难点，其难在大家对这个概念的来源没有深切的体验，而多数时候我们认为：渐近线方程为
的双曲线方程可设为
的形式。也只是从结果到结果的一个证明，并没有给学生提供一个产生过程的体验，正所谓知其然而不知其所以然。
启示二：概念的教学在可能的情况下要放手让学生自己去提出问题、解决问题。
本节课正是从一个看似简单亦很可笑的问题：为什么会由一个虚轴出发，一步一步地深入，整个过程呈现一种螺旋式的前进趋势。学生从
开始逐步获得无限接近的直观感觉，进而形成渐近线的印象，从理论证明中获得常数1即使换成A也无法改变这种无限接近的事实后，就慢慢认识到了渐近线这一概念的本质，从而从特殊升华到一般并将其推广。学生在这个过程中不但体验了数学概念的本质，也体会了学习数学的乐趣，更体会了学习数学的方法。这对学生将是受益无穷的。
启示三：概念的学习要有足够的时间保证。
本节课看起来没有完成应该完成的教学任务，而且布置的作业
的几何性质，在第二天又整整用了一节课才得以完成。但在这个过程中，学生通过这一个例子结合教材上的
进行比较，有效地领会了双曲线的各个概念的本质，对各种易错问题进行了一种体会，这也是简单地做一两道题所达不到的一种效果。
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