改编，构造，发现——例谈创新试题的编制方法，本文主要内容关键词为：试题论文,发现论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
德国数学家亚瑟·恩格尔（Arthur Engel）曾说：“创造一个问题比解决一个问题更为困难，创造问题几乎没有什么一般的准则.”命题就是创造问题的过程，因为它充满了不可预知的魅力，所以它向无数喜爱数学的人们提出了挑战.笔者也因为对数学的喜爱和工作的关系，常常琢磨怎样命题，慢慢地在实践中积累了一些经验.现整理自己近年来编制的受到较高评价的部分试题，和各位同行交流编制试题的过程，也借此文抛砖引玉，希望得到命题研究者及一线教师的批评指正.
一、根据教材素材改编试题
教材中有很多体现核心知识、基本方法的学习内容，也有很多典型模式的例题、习题.我们可以根据需要，通过变更问题的情境、改变题设的数据、更改设问的方向等来改编试题.现举例加以说明.
案例1 （2010年江东区数学教师解题比赛试题）如图1（1）的平面图案是由正方形和正八边形镶嵌而成的，但在实际生活中是用相同的画有图案的正方形地砖铺设而成的效果图（地砖与地砖拼接线忽略不计）.试在图1（2）、图1（3）中画出两种铺成这种效果图的正方形图案.（图见下页）
解析：由图1（1），可得正方形地砖图案可以是图2（1）、2（2）、2（3）.
编题过程及意图：本题根据浙教版教材八年级下册第100页例2的镶嵌图案，更改了设问的方向，提出了一个现实的问题：由正方形和正八边形镶嵌而成的平面效果图，在实际生活中因为生产和铺设的需要，并不是由正方形地砖和正八边形地砖铺成的，而是由相同图案的正方形地砖铺成的.引导教师关注生活应用，重视研究教材.
案例2 （2010年江东区初三试题）如图3，是由24个边长为1的正方形组成的4×6网格.若△A＇B＇C＇∽△ABC（相似比不为1），而且△ABC、△A＇B＇C＇的顶点都是网格内正方形的顶点，则△A＇B＇C＇的面积是____.
编拟过程及意图：浙教版九年级上册“三角形相似”一章中多处出现判断网格中的两个三角形是否相似的问题，图3就来自教材第103页.平时听课时发现学生画出了许多与△ABC相似的三角形，但大部分教师都没有及时归纳出相似的种类，这从学生考试的结果中可以印证.为引导教师重视教材、研究教材，设计了探索相似三角形的类别，有效地考查了相似三角形的判定和性质，以及分类讨论思想.本题考后统计难度系数为0.4，具有较好的效度和区分度.
根据教材中提供的素材编制试题，不仅依纲靠本，符合学生实际，还能抵制“资料泛滥”、“题海战术”的歪风，引导教师“重视教材，踏踏实实地钻研教材”，因而备受中考命题者的青睐.在历年的全国各地中考试题中，我们都可以见到教材素材在中考中的影子.
二、根据原有试题类比联想编制试题
研究历年的全国各地中考试题和学生的一些练习，我们会发现有些图形蕴含着丰富的位置关系和数量关系，有些习题考查数学思想方法很有典型性.我们可以充分利用这些基本图形蕴含的关系，通过图形的变换和叠加构造新颖的图形再进行设问，也可以通过改换试题呈现的形式，改变设问的视角等进行编题.现举例加以说明.
案例3 原题：如图5，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2BC=2CD=2DA，∠A=60°，试用两种不同的方法将该梯形分割为4个全等的小梯形.
新题（2007年江东区初三试题）：如图6，正六边形可以分成八个全等的直角梯形，也可以分成8个全等的等腰梯形，则直角梯形的最短边与等腰梯形的最短边的比值是____.
解析：设正六边形的边长为a，直角梯形的最短边长为x，等腰梯形的最短边长为y，则根据正六边形的对角线长是边长的2倍，可得3（a-3x）+x=2a.
编拟过程及意图：根据对原题的探索，发现符合条件的梯形既可以分割成4个等腰梯形，又可以分割成4个直角梯形.把2个这样的梯形按轴对称平放就构成了一个正六边形，得到了一个新的图形.通过探究，发现2个梯形的边之间存在着比例关系，于是进行如上设问.本题把原题需要说明的60°角巧妙地隐含在正六边形的内角中，把原题中边之间的众多数量关系隐含在镶嵌图案中，整合了正六边形、梯形、图形的镶嵌、方程等知识点，考查了学生综合运用知识解决问题的能力.
编拟过程及意图：原题中方程的个数少于未知数的个数，是常见的可以通过配方法解决的问题.仔细观察原题给出的两个方程，若把a、b看作两个变量，则前一个方程表示两个变量的积，联想到反比例函数，后一个方程的两个变量呈线性关系，联想到一次函数，于是设计了如上问题，把配方法巧妙地隐含在其中，考查学生的化归思想.本题考试结果难度系数为0.3，具有较好的区分度.
案例5 （2010年江东区初一试题）在六位数“113355”的中间画一条竖线得到“113|355”，这个数就被分成了2个数，即113，355，把这条竖线横过来，就得到了祖冲之计算的密率π≈
.现在试在数“4 950 625”的适当位置也画一条竖线，也把它分成2个数，使这2个数都是完全平方数.这种分法是____.
解析：“4950625”是一个有趣的数，它有4，49，25，625这4个非常明显的完全平方数.
经验证，只能分成4|950625，49|50625.
编拟过程及意图：笔者在阅读趣味数学书时获知密率的记法，在某报的问题征解中认识了有趣的数“4950625”，根据它们类似的结构编成本题.本题不仅让学生领略了密率的记法，也让学生感受到“数学好玩”.真正让考试成为传播数学文化、陶冶数学素养的过程.
根据现有的试题改编成新题，已成为命题的常用方法，正像数学家波利亚在《怎样解题》一书中说的：“我们几乎不能想象有一个问题是绝对的新颖，和我们以前所解决过的问题都不相似，都无关系.”作为数学教师，我们应多研究试题，更好地把握考试的方向.
三、围绕知识和方法构造试题
根据考查的需要，我们常常要围绕考查的目标编制试题.一般地，我们可以先确定所需要考查的知识或方法，知识和方法可以是单一的，也可以是多个知识点或方法的组合，然后选择合适的载体编制试题，根据知识和方法的内在联系重组整合编制试题，达到考查的目的.现举例加以说明.
案例6 （2010年江东区初三试题）现有4个整式2，x+2，x-2，2x+1.试从上面的4个整式中选择3个整式进行运算，使运算结果为二次三项式.（列出1个算式，并写出运算过程）.
解析：本题属于策略开放题，学生有多种选择和列式方案.举例略.
编拟过程及意图：围绕整式的运算和二次三项式的概念编制试题，形式开放，较好地考查了学生的运算能力和概念的掌握情况.
解析：抛物线与坐标轴有2个交点，应包含以下2种情况.
（1）如图7（1），抛物线与x、y轴各有1个交点；
（2）如图7（2），抛物线经过原点.
故本题正确答案为D.
编拟过程及意图：二次函数内容在教材中的学习顺序是y=
→y=
→y=+k→y=+bx+c（其中a≠0）.复习的过程是学生知识重组建构的过程.因此，希望编一道题，以考查学生知识运用的情况，学生在解本题时需要对二次函数按抛物线与坐标轴的交点个数重新建构分类，为了避免学生将问题看成“抛物线与x轴的交点”，本题以选择题的形式出现，起暗示作用，有效地达到考查目的.
案例8 （2009年江东区初三试题）如图8（1），把边长为4的正三角形各边四等分，连接各分点得到16个小正三角形.依次连接6个顶点得到一个正六边形ABCDEF.
（1）求这个正六边的每个内角的度数.
（2）试在图8（2）中画一个六边形，说明“内角相等的六边形是正六边形”是假命题.
解析：（1）正六边形每个内角的度数都为120°.
（2）如图9所示.
编拟过程及意图：举反例是准确理解数学知识的重要途径，但教材叙述概念往往采用正面阐述的形式，学生常常对一些概念的关键词语缺乏深刻的认识，对概念所要求的范围理解不全面，所以根据命题需要，想要考查“举反例和多边形”的知识点，于是想到了考查六边形的概念，考虑到作为解答题，学生在举反例时，有的会采取文字叙述法，有的会画一些不标准的图形，给阅卷和评分带来很大的麻烦.所以想到了借助网格在规定的位置画图.本题以“正六边形”概念为考点，设计了一个以正三角形网格为背景的试题，令人眼前一亮.
根据考查的知识点编拟试题，是最常用的编制试题的方法.通常我们会把相关或相近的知识点联系起来进行考查.但有时我们在形成一份试卷的初稿时，却发现初稿中遗漏了某些知识点，这时需要把未考查的、有时是相去甚远的知识点联系起来进行编题，往往会有意想不到的效果.以下两例就是在这种情况下编拟的试题.
编拟过程及意图：笔者曾参与2008年浙江省宁波市中考命题工作，初稿形成后，发现“旋转、菱形、面积问题”等知识点未曾涉及，于是将菱形进行旋转，提出了求阴影部分的面积问题.本题把不规则的面积计算中要涉及的众多量，通过菱形的一个内角和旋转角及边长很简洁地表示出来，动静结合、小中见大，而且构图具有数学的对称美，综合考查了菱形的性质、图形的旋转变换、不规则图形的面积等知识点，也是一道被浙江省中考命题评价组赞赏的试题.
案例10 （2010年江东区初三试题）三个全等的直角梯形①、②、③在平面直角坐标系中的位置如图12所示，抛物线y=+bx+c经过这三个梯形中的4个顶点A、B、C、D已知梯形的两条底边长分别为4，6.
（1）求抛物线的解析式.
（2）试设计一种平移方案，使平移后的抛物线经过梯形③的另一个直角顶点.
解析：（1）由②、③两个梯形可知，该组直角梯形有一个内角为45°.
因此，根据梯形的两底长可以求出两腰长分别为2，
.
从而可得顶点A、B、C、D的坐标.
由B、C两点可知抛物线的对称轴.
由对称轴和点D的坐标可确定抛物线与x轴的另一个交点的坐标.
因此，本题用一般式、顶点式、交点式3种方法求解都很方便.计算过程略.
（2）略.
编拟过程及意图：整卷命题初稿形成后，发现还有图形的镶嵌、梯形等知识未曾涉及，原二次函数题过于平淡，于是就在平面直角坐标系中涂画了一些梯形构图，然后画上抛物线，调整数据，再进行设问.本题把直角梯形的一个内角的度数和一条腰长等数量关系隐含在拼图中，学生可以灵活运用3种解析式求解，有效地考查了学生运用知识解决问题的能力.
围绕知识、技能、思想方法及数学能力编制试题，使知识和方法融于一体，也使试题具有较好的考查功能.围绕三维目标，潜移默化地考查学生理性思维的水平，能引导初中教学成为数学思维的教学，引导教师注重培养学生的数学精神.
四、从生活或媒体信息中提炼数学模型编制试题
生活中存在着很多数学问题，从学生身边熟悉的生活情境以及社会关注的热点问题中，提炼数学模型编制试题，既能使学生认识到数学在现实生活中无处不在，又能体现数学在现实生活中的广泛应用.平时，我们应养成关注报刊、网络等媒体信息的习惯，用数学的眼光感知周围的事物，以数学的视角审视现实中的问题，把数学知识嵌入良好的有教育意义的教学或现实背景中，调控试卷厚重的命题思想，扩大试卷的考查功能.现举例加以说明.
案例11 （2008年浙江省宁波市中考试题）2008年宁波市初中毕业生学业考试各科的满分值如下表所示.
若把表中各科满分值按比例绘成扇形统计图，则表示数学学科的扇形的圆心角应是____（结果保留3个有效数字）.
解析：略.
编拟过程及意图：以学生熟悉的试题背景进行命题，公平合理，考查学生运用统计工具处理数据的能力，也突出了统计图在现实情境下的实际意义，让学生感受到生活中处处有数学.
案例12 （2009年江东区初二试题）如图13，工人师傅要做一张由3块完全相同的平行四边形木板和1块三角形木板拼成的六边形桌面ABCDEF，量得AB=90cm，BC=30cm.试帮工人师傅确定平行四边形木板的内角度数和三角形木板的内角度数及其边长.
解析：由平行四边形对边平行，可得∠QPR=∠BAP，∠PQR=∠QCD，∠PRQ=∠FER.
又由
ABCP≌CDEQ≌EFAR，可得∠BAP=∠QCD=∠FER.
从而可得△PQR是等边三角形.
可得平行四边形的内角为60°、120°、60°、120°，△PQR的边长为60cm，各内角都为60°.
编拟过程及意图：某次外出旅游，在风景点看到一张六边形的木板桌，它是用3块全等的平行四边形木板和1块三角形木板拼成的，于是就在想：工人师傅是怎样裁得这些平行四边形木板的呢？在探索的基础上发现虽给出的平行四边形没有内角度数，但拼成的六边形和三角形的内角和边长都是可以确定的，于是编成本题.本题巧妙地考查了平行四边形的性质，并让学生在解决问题的过程中体会数学在生活中的广泛应用.
这些试题重视学生的社会经验，重视数学与现实生活的联系，常从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事情出发，考查学生对数学的理解，让学生体会数学就在我们身边，感受数学的趣味性和生活的价值，对学生的思想、道德、情感、态度、价值观都有较好的引导和促进作用，同时也体现了“PISA”测试的理念，广泛地运用于中考命题.
五、动手操作编制探究类试题
本着试题应引导学生数学学习方式的转变和形成的理念，可以编制一些操作探索类型的试题，考查学生的动手操作能力和自主探索能力，关注知识发生、发展过程的考查.命题教师也应体验问题的创造和解决过程.在命题过程中，运用具体的实物（如，三角板、纸、量角器、直尺等学生熟悉的学习或生活用品）进行操作探究，提出适合于学生解决的问题，是操作类试题常用的命题策略.
案例13 （2007年江东区初三试题）如图14（1），小明在玩一副三角板时，发现含45°角的直角三角板的斜边正好与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合，即△BAC的顶点A、C分别与△C＇DA＇的顶点A＇、C＇重合.现在小明发现：若△C＇DA＇固定不动，将△BAC通过变换可使△BAC的斜边BC经过△C＇DA＇的直角顶点D.
（1）如图14（2），将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），使BC边经过点D，则α的值是____.
（2）如图14（3），将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D.求证：BC//A＇C＇.
（3）如图14（4），若AB=
，将△BAC沿射线A＇C＇方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，求m的值.
解析：（1）易得α=∠A＇C＇A=45°-30°=15°.
如图15（1），过点A作AH⊥BD于点H，
把△ABD转化为两个直角三角形，
可计算得∠BAD为75°.
从而∠ADB为45°.
故BC//A＇C＇.
编拟过程及意图：三角板是学生熟悉的学习用品，笔者在尝试开发三角板的课题学习资源时，发现一副三角板有一对边正好重合，玩三角板时发现如果将1块三角板固定，另1块三角板经过旋转、平移、轴对称变换（较难，不采用）都会让斜边经过顶点D.于是进行设问：第（1）小题简单，帮助学生理解题意；第（2）小题虽要求证明“BC//A＇C′”，但还是紧扣“旋转后斜边过直角顶点”这一核心问题，让学生尝试用数量关系（旋转角）来确定位置关系（平行）；第（3）小题为核心问题的解决展示了新视角，学生需要运用相似、直角三角形边角关系等才能解决问题.本题让学生经历操作、想象、判断、推理、探究等数学活动过程，关注了学生由操作到数学思考的活动经验，引导学生用数学的眼光看待周围的事物.
这类试题鼓励学生通过动手操作来寻求解答问题的方法，在考查学生思维能力的同时，关注对思维方式和思维过程的考查.肯定了学生数学学习方式的多样化，体现了“以学定考”的考试理念，各地的中考命题者正在不断地尝试和实践.
六、运用《几何画板》编制动态型试题
动态型试题反映了事物在运动变化过程中的一些普遍规律，或事物运动到某种状态时所具有的某种特性.我们可以运用《几何画板》等软件帮助我们探索事物运动变化的规律.如，图形在运动变换后保持不变的位置关系或数量关系，或图形在运动过程中，某个变量随另一个变量变化的函数关系等内容进行探究，尝试编题.现举例加以说明.
案例14 （2009年江东区初三试题）如图16（1），矩形ABCD内接于圆0，将矩形ABCD绕圆心O按顺时针方向旋转角α（0°＜α≤90°），得到的矩形A＇B＇C＇D＇仍然内接于圆O.设旋转后的矩形落在弓形AD内的图形周长为L已知AB=6，AD=8.
（1）如图16（2），当α=90°时，旋转后的矩形落在弓形AD内的图形是四边形A＇B＇EF，则四边形A＇B＇EF的周长是____.
（2）如图16（3），当旋转后的矩形落在弓形AD内的图形是四边形时，求sinα的范围，并比较四边形A＇B＇EF的周长和圆O的直径的大小关系.
（3）当旋转角α为何值时，旋转后的矩形落在弓形AD内的图形是等腰三角形？此时等腰三角形的周长是多少？
解析：（1）易知四边形A＇B＇EF的周长是14.
（2）如图17（1），当旋转到点B＇与点A重合时，旋转角即为∠AOB.
在△AOB中，可求得它的正弦值为
.
当点B＇过了点A后，旋转后的矩形落在弓形AD内的图形开始变为四边形.
所以sinα的取值范围是＜sinα≤1.
如图17（2），四边形A＇B＇EF的周长为线段AB和线段AD的长度之和，思路很多，如证△A＇FD和△AEB＇是等腰三角形；证△A＇FA≌△DFD＇等.
在△ABC中，由三角形两边之和大于第三边可知，四边形A＇B＇EF的周长大于圆O的直径.
（3）如图17（3），设A＇B＇与AD、AB分别相交于点M、P，A＇D＇与AD相交于点N，并设A＇M=α，AM=b，
当旋转45°时，△NA＇M是等腰三角形.
由∠A＇=90°，得△NA'M和△MAP都是等腰直角三角形.
同（2），易证A＇N=DN，AP=B＇P.
编拟过程及意图：
（1）立意.
作为初三模拟考试的压轴题，希望关注核心知识的考查，并且在思维能力上有较高的要求.图形变换既是初中几何的核心知识，又是研究几何的基本思想方法.《数学课程标准》要求能探索图形变换的性质，感悟图形研究中的运动变换思想，以动态、相互联系的观点理解图形的性质及相互关系.因此，确定旋转变换作为考查的对象.常见的图形旋转问题常把三角形或四边形进行旋转，命题时希望能有所创新，所以别出心裁地将矩形放在圆中进行旋转，开辟了旋转变换问题的新视角.
（2）创设情境.
变换问题本质是以数量关系来刻画位置关系.因此，变换问题必会涉及两个变量，运用《几何画板》探索发现，旋转后的矩形落在弓形内的图形的周长和旋转角度的变化有密切关系，从而确定问题的主线是“探究旋转后的矩形落在弓形内的图形的周长和旋转角度之间的关系”，即问题的两个变量是周长、旋转角.
（3）设问.
为了让学生探究“旋转后的矩形落在弓形内的图形的周长和旋转角度之间的关系”这一问题，遵循学生认识事物的顺序展开设问：第（1）小题先从最简单的情况入手，让学生观察图形并获得直观感知，轻松地进入解题状态；第（2）小题通过图形特殊位置的数量关系的探索，让学生加深对问题的认识，而且第（2）小题解法多样，给了学生广阔的展示自身学习水平的空间；第（3）小题反过来，由确定的旋转角探索周长，整个问题的解决还需要运用整体思想，对学生提出了很大的挑战.3个问题覆盖初中阶段众多知识点：圆、三角形全等、等腰三角形性质、三角形三边关系、勾股定理、方程，以及旋转变换、整体思想、化归思想等，设问由特殊到一般，层层递进.能够诱发学生开展积极的、深层次的思考，进而反映出学生的数学思维水平.
【说明】本题第（2）小题原来是设问求α的取值范围，考虑到对初中学生来说，只能求得α的近似值，因而改为求sinα的取值范围.四边形A＇B＇EF的周长虽然是一个定值，但学生在没有证明之前，不能以定值的形式出现，所以设问比较图形周长和圆的直径大小，仍然紧扣核心问题.
动态型试题因其特有的考查功能，在中考压轴题中的比例越来越重，从点在函数图象上运动到函数图象本身的图形变换；从坐标系内点的存在性到多个点的规律运动；从图形的变换到图形沿某路径的运动，处处彰显着动态问题的魅力！
一道试题命制的过程，犹如一尊艺术品的加工，一般要经历“立意—情境—设问—修饰”这样的过程.命题成型时，既要关注试题整体呈现的形式，又要关注细节是否有瑕疵，所以要反复斟酌、修改才能定稿.命题要求教师平时学会在解题中欣赏试题，学会用数学的眼光感知生活中的事物，学会用研究的习惯对待日常教学中的问题，学会用精湛的艺术去呈现数学的美妙.
标签：数学论文; 旋转变换论文; 图形推理论文; 数学素养论文; 顶点坐标论文; 教师编制论文; 旋转图形论文; 几何画板论文; 梯形论文;