一致性风险度量的概念、形式、计算和应用，本文主要内容关键词为：度量论文,形式论文,概念论文,风险论文,一致性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引言
风险管理早在20世纪50年代就已经开始，Markowitz模型开创了数量风险管理的新纪元，他提出了用方差来度量风险，在一定程度上反映了价值的波动性。但是它不但考虑了损失，还把收益也考虑进去。现实世界中，人们更关心的是损失，不过Markowitz模型对整个金融研究领域的影响还是相当大的。直到今日，还在很多场合得到应用。
其实，在学术界，学者们一直在对应该采取什么样的度量方法及如何建立有效的度量模型进行深入的探索。目前非常流行的风险管理工具应当是风险值模型(Value-at-Risk,VaR)。风险值模型起源于20世纪90年代，由J.P摩根创立，用于公司本身的内部风险衡量与管理。这些年来风险值模型发展迅速，被巴塞尔银行监理委员会所采用，也被很多欧美大型金融机构所使用，有成为风险管理标准的趋势。风险值模型反映的是在某一段时间内，当市场发生最坏情况时，投资组合可能损失的金额，其中纳入“可能发生概率”的观念，提供给机构对本身风险暴露更明确的衡量方法。与传统的风险管理方法相比，风险值模型提供了更明确的数量与概率分析。然而VaR也存在着不可忽略的缺陷，其中比较重要是：
1.缺乏次可加性，即证券组合的风险不一定小于各证券风险之和。
2.基于VaR对证券组合进行优化时，可能存在多个极值，局部最优解不一定是全局最优解，这在数学上难以处理。
在VaR的基础上，Artzner.Ph,F.Delbaen,J-M.Eber，和D.Heath在1997年的一篇论文中提出了一致性风险度量的概念，并在1999年的文章中对其进行了完善。从此在学术界上掀起了一股研究一致性风险的热潮。学者们试图在对原有的VaR方法进行改进的同时得到一种更完善，更能体现市场风险性质的度量模型。到目前为止，学者们提出过很多有关的风险度量方法，其中包括：
1.尾部条件期望(tail conditional expectation)；
2.最差条件期望(worst conditional expectation)；
3.后悔值期望(expected regret)；
4.条件在险价值(conditional value at risk)；
5.尾部均值(α-tail mean)和期望不足(expected shortfall)
6.条件回落风险(conditional draw-down at risk)。
一、一致性风险度量的概念
在开始介绍风险度量模型前，有必要先介绍一下分位数的概念。
附图
定义变量X为一资产的收益，如果为负值时表示损失，则它在水平α下的VaR值：
附图
从上述定义中，我们很容易发现VaR其实只计算了一个损失点，对于超过它的其它值并没有计算在内。事实上，如果收益分布不是椭圆分布将会出现以下几种不合理的情况：
1.它对超过VaR的损失值没有进行度量；
2.VaR的降低可能会导致大于VaR的尾部的延伸；
3.没有次可加性；
4.不具有凸函数的性质，对问题的最优化求解不能用VaR；
5.VaR有许多局部的极值导致了VaR的不稳定。
因此，VaR不是一个很恰当的风险度量方法。于是Artzner.Ph,F.Delbaen,J-M.Eher和D.Heath提出了一致性风险度量的概念。
定义：假设V是一个实值随机变量集，函数f:V→R称为一致性风险度量，如果它满足以下条件：
1.A∈V,A≥0则f(A)≤0；
2.
λ≥0；A∈V,λA∈V则f(λA)=λf(A)；
3.A∈V,B∈V,A≥B，则f(A)≤f(B)；
4.A∈V,B∈V,A+B∈V,则f(A+B)≤f(A)+f(B)；
5.A∈V，r∈R，则f(A+r)=f(A)-r。
对于上面的定义可以在经济学上给出解释：f(A)≤0，表明如果一项投资出现损失，则必定存在风险，f(λA)=λf(A)说明了单一的资产具有相同的性质，其风险的大小跟资产的多少成比例。A∈V,B∈V,A≥B，则f(A)≤f(B)说明一项投资的收益总好于另一投资，则其风险相对较小。f(A+B)≤f(A)+f(B)表明资产组合的风险不会大于单个资产的风险之和。这也就是通常所说的投资多样化的好处。f(A+r)=f(A)-r表明了投资收入增加r会导致风险减小r。
二、风险度量方法
附图
上式中，f(x,y)为损失函数，p(y)为影响因子y的密度函数。
附图
三、计算方法及其相互关系
上文主要介绍了一些概念，下面将着重分析他们的计算方法和彼此之间的关系。
事实上，上面的一些定义在X分布函数是严格增加的连续分布时，它们是一致的。区别在于，当X的分布函数是基于离散的变量来定义，在这种情况下，事件无法分开，导致基于分位数的定义出现偏差。
首先，对于TCE，要说明的一点是它只有在连续的情况下才是一致性的风险度量，当变量X是离散的情况下，它不是一致性风险度量。下面给出一个简单的例子。
假设随机变量X,Y的取值和相应的概率如表1。
表1
P
X
Y
0.2
-12
-10
0.6
-3
1
0.2
-1
-1
附图
上面得到的结果不符合一致性中的单调性条件。所以TCE在离散的情况下不是一致性风险度量。
附图
对于ES和CVaR它们本质上是一样的，下面将给出简要的证明。
附图
附图
五、实例
随机选择上证综合指数的10支成分股，记录从2002年7月1日开始的500个交易日的数据进行分析。将收盘价减去开盘价，除以开盘价，作为每日的收益率。作为上面计算方法的
在此不考虑μ(X)≤-R的约束，这不影响结果的可比性。在不同的置信水平下，利用上面介绍的线性规划方法，用matlab软件求解得到表2（各个资产在不同的置信水平下求得最优权重和相应的VaR,CVaR值）。
表2
附图
从表2中，我们可以看到不论置信水平的取值如何，CVaR的结果都不小于VaR，而且随着置信水平的提高，CVaR和VaR都在增加，而且随着置信水平的增加它们的比值也有一种减小的趋势。事实上已经证明在CVaR达到最小时，VaR同样也是最小的。这种线性规划方法，不但提出了求解CVaR的路径，同时也提供了最小VaR。这给投资者提供了一个参考。另外，我们为了说明CVaR的次可加性，用历史模拟法计算单个的CVaR，然后采用上面的权重系数，计算组合的CVaR得到表2中的
，将它与原来的组合的CVaR值比较，可以看得出在不同的置信水平下，10种资产CVaR的和都比它们作为一个投资组合的CVaR值来的大，这也说明了在实际的投资过程中，CVaR满足次可加性，采用多样化投资可以分散风险。
下面验证CDaR的次可加性。分别计算了两只股票的CDaR以及把它们作为一个组合来计算的CDaR，比较前两种之和与后者之间的大小关系。从表3可以看出CDaR随着置信水平的提高在增大，同时满足CDaR(x)+CDaR(y)≥CDaR(x+y)，既它满足次可加性。
表3
附图
前文已经简要的说明了CVaR跟CDaR的关系，为了说明在具体的应用中的差别，给出表4，表4第二行给出的是基于CVaR的线性规划算出来组合的累计收益率，第三行是以相同的风险，采用CDaR为约束条件，用线性规划求解得到的组合的累计收益。从表4中可以看出，数据大部分为负值，这跟前面选取的10支股票的数据有关，当时整个股市都处于熊市阶段，但是可以很明显地看出基于CDaR的算出的值优于基于CVaR算出的值，而且随着置信水平的降低，它们之间的差距有一种增大的趋势。
表4
附图
六、结论与展望
本文针对VaR的不足，介绍了一致性风险的概念，并在此基础上介绍一些相关模型及计算方法并对它们进行比较。此外证明了WCE的一致性以及CVaR的线性规划算法，并用具体的实例给以说明，同时比较了CVaR和CDaR在相同风险条件下的组合收益，得出CDaR优于CVaR的结论。
现实世界中任何经济活动都存在风险。对于风险的度量已经成为投资者关注的首要问题：从早期的期望方差理论到VaR再到一致性风险度量模型。对风险管理的研究也越来越接近现实经济活动，但不管是哪种方法，也存在一定的不足，这也说明继续这方面研究的必要性。
目前VaR不但在金融领域得到广泛的应用，而且在其他的一些领域，特别是一些对风险比较敏感的行业，已经成为一个管理者不可忽略的参考。这导致了对VaR研究的一个热潮。也就是在这种情况下，才提出上面的一些修正方法，在这些方法中，比较被学术界认可的当属CVaR/ES，不但因为它具有一致性风险的特性，还因为可以通过线性规划求得最优解。这给实际的应用带来了方便，也提示我们对其他一致性风险度量方法的最优化求解是一个很值得考虑的方向。另一个值得考虑的问题是对模型的解释，不论是哪个方向的研究，都希望理论和实际能够很好的结合。目前之所以理论研究和实际不一致，很大程度上是因为VaR的意义简单明了，而其它的风险度量方法却不容易得到解释，导致了现实中不能得到广泛的应用。
本文介绍的方法模型，多是针对短期、静态的风险进行研究。而现实世界中，风险往往是动态的，对风险的管理也需要有一种长期的考虑。因此，动态的风险管理和多期的风险管理将是未来的一个研究热点。