认识过程的数学模型，本文主要内容关键词为：数学模型论文,过程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
摘要 本文从分析传统西方认识论的困境入手，综合马克思主义认识论和中国古代“天人合一”的思想，运用数学概念刻划了认识主客体之间通过中介建立的同构对应，而认识结果就是客体在主体中的同构映象，并讨论了不同主体映象间的转换群，以及映象转换群下的不变性——即存在超越于个别主体的不变的或客观的知识，反之，据此不变性知识如何诱导出映象转换群，并将主客观性统一于一个方程中，最后展望了自然科学与社会科学、文学艺术达成统一的可能性。
1 引言
传统的西方认识论面临着两难的处境：追求客观知识（超越认识主体而跃升到对事物本体的认识）而又摆脱不了主体必须参与认识过程带来的“副作用”——不确定性或主观性，正如人要揪住自己的头发离开地球一般；另一方面，倘若把认识的结果仅仅视为主体观念的外向投射，势必演绎成纯粹唯心的认识论。
这正是西方文化重个体、长分析的表现，导致了认识论上主客体的二元分割。早期的一元论者，由于各自片面强调主客体一面的重要性，从各方的角度看似乎是一元论的，但作为文化整体却又是二元论的，割裂了主客体的整体相关性。马克思做了开创性的综合，将认识看做是客体通过中介作用在主体中的反映，如此将主客体“二合一”的一元论实现了认识论历史上的一次大飞跃。他的整体化思想易被东方文化认同，因为，东方人的意识里不存在这种将客观存在和主观意识对立起来的弊端，但也常因此走向极端：过分注重整体性及相互关系（而不是元素）。因而疏于做严密的局部分析，过于注重主体内省而忽略跃迁到对客观知识的探求，以致被西方人误解成“东方神秘主义”。值得欣喜的是，西方文化在长期的分析精神走向极致后，也正愈来愈多地学习东方文化的整体性思维模式，而后者也正意识到自身的局限性并加以某些改进。当然，最后两种文化的碰撞也不可能导致同一，仍会在一个新的层次上保持各自的特色。
于是，我们不回避这样的存在，认识过程是主客体通过中介而相互作用的统一体，主客体在其中都扮演着重要的角色。这种相互作用在主体内部激起的种种反映就是认识的结果，它并非客体性态本身，然而，在客体性态和正确的主体反映之间存在着良好的一致性对应关系，它们本质上是异质同构的：主体中的不同反映对应着客体的不同性态，反之亦然。所以，主体虽只拥有客体的反映映象，但通过主客体中介作用的逆过程，就可以指向或还原到客体本身。换言之，主体以自己的观念方式直接或间接地反映着客体的性态，观念或主观映象可视为客体性态的信息附加到主体的载体。
两种系统通过中介确立的同构对应，在数学尤其是现代数学中已是关键性的概念之一。
例如，初等数学中，大数的乘法计算可以经过取对数同构对应到其对数的加法：即在（R（+），×）与（R，+）之间存在一一对应ln， 使得对任何正数a、b有：ln:a→lna,且a×b→lna+lnb
近世代数中，抽象群常常可以通过群同构对应或嵌入到一个具体群中便于研究；拓扑学讨论拓扑空间在同胚变换（拓扑同构）下的不变性质；而代数、几何问题之间也往往经由同构对应相互转化。如希尔伯特将欧氏几何公理系统的相容性问题归结到算术公理系统的相容性。同构对应作为两个数学系统间的中介或桥梁使复杂问题简单化、明朗化。
不过，在引入主客体之间的同构对应后，不同的主体或中介得到的映象仍是互异的，此时客观知识又如何成为可能呢？
本文拟作一种尝试，借助数学语言的抽象性、清晰性，试图将东西方文化中两种不同的认识模式融合起来，在马克思主义认识论和“天人合一”的我国古代整体性思维观的基础上寻求建立客观知识的可能性。
2 建立认识过程的数学模型
马克思主义认识论将认识看成是客体通过中介作用在主体中的反映，也即客观事物的主观映象。将这个阐述用数学语言重新表述，这就是我们首先获得的：
2.1 认识作为主客体同构对应的主体映象。
记认识客体系统中有关的性态为原象系统（S，＊），S为元素或各种性态的集合，＊表示其间相互关系，这样，（S， ＊）就成为一个具有结构的对象系统，主体系统中有关反映的映象或观念要素及其关系视为映象系统（S’，o），它也被结构化了，二者之间经由中介系统ψ产生相互作用，使客体的相关性态在主体内部激起相应的映象，而正确的认识是通过中介系统ψ建立了（S，＊）与（S’，o） 之间的同构对应，亦即，ψ是一一对应，且使得当
ψ:a→a',b→b'时成立：
ψ:a*b→ψ(a)oψ(b)，其中a、b∈S，a'、b'∈S'。
这样，认识结果——映象或观念就是ψ（a）及其间关系， 它由客体系统、中介系统及主体能动性系统三者相互作用而得到，再经过中介ψ的逆过程ψ（－1）指向或还原到客体本身，或写成：ψ（－1）〔ψ（a）〕＝a，且ψ（a）与ψ（b）之间的关系也被还原到客体元素间的关系，即：ψ（－1）〔ψ（a）oψ（b）〕＝ψ（－1）〔ψ（a*b）〕＝a*b，这样，虽然反映的方式，即中介ψ及主体能动性是主观的，但其内容却是客观的，从而实现了认识客体的目的，达到了认识的主观性与客观性的统一。
心理学指出，人的认识作为事物在人脑中的反映，是事物经由人的感觉系统、使用的工具、第二信号系统等中介，以及人的能动的思维活动（如事物信息的收集重构等）等综合作用的结果。费希纳的心理物理学试图建立心物之间或外界刺激与心理反应之间的对应关系。他先从认识的来源——感觉着手进行实验，得出了著名的刺激—反应公式：S ＝C lnR/Ro，（其中，R 刺激强度，Ro 在阈限的刺激强度常量，S 反应强度，C 常系数），选择适当的单位可使Ro＝l，则S＝C lnR，如同引言中指出的，这个对数关系建立了刺激系统（R，×）与反应系统（S，+）之间的同构对应，它表明：一定量的刺激强度R，通过中介 ln，在反应强度S上表现或反映出来，反之亦然；且刺激强度R，倍增（减）时，反映于反应强度就是呈线性增加（减少）。这是把数学方法应用于心理学研究的可贵尝试。
电脑亦可作为简单退化的模型：事物诸信息经电脑处理变成存储映象，并经逆处理过程输出还原。《易经》的卦象系统（映象）是中国古代先哲（中介）试图摹拟阴阳刚柔等自然社会运动规律（原象）的智慧结晶，用现代的话说，便是建构了一个符号系统，去同构对应于万事万物的变化规律，这个探索的意义是深远的。
关于认识主体的能动作用，马克思主义经典作家已做了充分的阐述，这里再从同构对应的角度对于中介ψ作些说明：
2.1.1 ψ是联系主客体的纽带。莱布尼茨把心物比喻成两座互不相干的时钟，各拨在同一时间上“我行我素”，这其实是超距作用的错误观念在哲学上的反映。
2.1.2 引入中介ψ后，认识结果实质上是主体中的映象ψ（a），但主体已习惯地将还原到客体的逆向过程
同步化或一体化了，或者说，主体将客体的性态逐渐内化到与自身匹配的主观映象中而不加区别，也即马克思指出的：“观念的东西不外是移入人的头脑并在人的头脑中改造过的物质的东西而已。”[1] 这种移入人脑的过程就是中介ψ的作用。原象映象的“二合一”，在成人看来是理所当然的，但对成长着的儿童，就可明显地感觉出通向同构对应ψ的内化过程，儿童喜爱玩具、动画片即有此中原因。
2.1.3
结合中介ψ及主体的思维能动性获得的映象往往“不是简单的直接的反映，而是一系列的抽象过程，即概念，规律等的形成过程。”[2]ψ可以比喻成一个广义的“哈哈镜”， 客体的主观映象可以是复杂的转变了的，并非依样画葫芦的直接摹本或复写，但经过ψ（－1）仍可还原出“真相”。
2.1.4 主体系统（S’，o ）与客体系统二者的相关性态可以是异质同构的，这是由中介ψ来沟通的，因而只是在对应的意义下同构，可以说，映象是原象的一种表现。
例如，数学中任一无限循环群与整数加群同构，而心理学上，认识结果（映象）在主体内部表现为一些细胞生化反应、神经元的联系等心理反应，这些与客体性态是大相径庭的。从异质同构的观点可以重新评价格式塔心理学中的同型论：他们认为，不论我们的空间知觉还是时间知觉都是和大脑皮层内的同样过程对等的，如苛勒举例说，圆形外物在人脑中的映象也是一个圆状的区域。这种简单的类比被有些心理学家称为“身心平行论”的翻版，但若引入这儿的中介ψ及主体的能动心理活动，就可以改造成符合心理过程的“同构论”了。
2.1.5 中介ψ必须是双向的， 如同牛顿物理学揭示的相互作用具有作用与反作用两重对等性一样。客体通过同构对应ψ内化的主观映象必须经由逆向ψ（－1）外化到客体进行检验是否相符，这符合实践是真理之源又是检验真理的唯一标准。事实上，认识中介系统是实践中介系统的一个重要环节，实践作为主观见之于客观的活动具有沟通主客体的双向功能。ψ的双向性还表现在，主体的性态a’，通过ψ（－1）可以在客体对象中表现或反映出来，这就是马克思主义所说的实践或认识活动使人的本质力量在其对象中表现出来了，正如人从镜子中、从我们的言行中可以反观出自身的表里状态，这也就是中国古代哲学中“天人合一”思想的重新表述吧。甚至在文学艺术中也可找到大量的例证，如杜甫诗句“感时花溅泪，恨别鸟惊心”这种寓情于景的文学手法即是将主体的情感通过景物中介投射过去，而西方文学评论中的移情说也如出一辙。
以上我们运用数学概念建立了主客体之间的同构对应，把认识看成是客体性态的主体映象，但随即产生了这样的问题：对同一客体性态的认识映象可能随中介及主体而异，那么客观的知识又如何成为可能？这就是下面的2.2部分要回答的：
2.2 不同主体映象下客观知识的可能性：
2.2.1 映象转换群：
先从一些具体科学说起：
几何学中，在夹角为θ的两个坐标系中测得同一物体的两坐标映象之间存在着转换矩阵，所有θ相应的矩阵构成一个旋转群，它相当于刚体旋转运动群。而F ·克莱因把每一类几何都与相应的运动群（一种变换群）联系起来。
狭义相对论里，设在相互作匀速运动的两个坐标系中两个观察者测得两组时空坐标，它们亦可由洛仑兹变换群实现转换。即：A 测得的时空（x，t）相当于或等价于（不是等于）B测得的时空 （x’，t’）。
社会科学与日常生活中这样的转换与统一实在屡见不鲜，如不同语言之间的翻译，对他人的行为方式设身处地的理解等。
也就是说，不同的主体映象之间可经由转换群进行统一。
一般情况下，为简单起见，我们将中介ψ及主体能动性的差异都归并为中介方式的区别，即，对同一客体系统（S，＊）， 若存在两个主体系统（S’，o）与（S″，Δ）， 则把中介系统与主体能动性间的差异约化为同一主体状态下两个中介系统ψ和Ψ的不同，于是，同一客体性态a产生相异的映象或观念，可记为ψ（a）与Ψ（a）。同时， 这里假定：通过ψ、Ψ均已完成了正确的认识过程，即，ψ：（S， ＊）→（S’，o）及Ψ：（S，＊）→（S″，Δ）都达成了同构对应。那么，根据数学上同构对应的传递性，（S’，o）与（S″，Δ）也是同构的，亦称为可转换的，见图1（其中a表示客体的相关性态）：两种观念或映象ψ（a）与Ψ（a）之间可通过转换τ＝Ψψ（－1）统一，即： τ〔ψ（a）〕＝Ψψ（－1）〔ψ（a）〕＝Ψ（a）。
容易推广至含有多个主体或中介的情形，见图2。 易知所有转换构成群：（Ⅰ）.δτ仍为一同构转换，（Ⅱ）当ψ＝Ψ时，τ＝Ψψ（－1）为单位恒等转换，（Ⅲ），τ（－1）＝Ψψ（－1）是存在的。所以，T＝｛τ｜τ：ψ（a）→Ψ（a）｝成为一映象转换群，实现了不同认识方式下的统一转换。
哲学史上，洛克曾把人的感觉分为两类：一类叫做第一性的质的观念，即关于物体的体积、广延、形状、运动等等的观念；另一类叫做第二性的质的观念，即关于事物的颜色、声音、滋味、气味等的观念，它们完全根据主体的感觉不同而变化。其实，这两种观念都是外物的真正映象，只是在第二类观念中更偏重主体的参与作用，而第一类观念也不可能是脱离主体作用的，只是更漏重客体的一面（如约定在同一中介及主体状态下），例如，运动具有相对性，而长度以至时间据狭义相对论也可以收缩或膨胀。第二类观念可以通过不同主体状态导致的映象转换群向第一类观念转化。
然而，前述的映象转换群意义下的内容客观性易使我们陷入完全相对论的困惑：难道不同的主体映象之间就不存在某种不变性或客观性吗？（下面第2.2.2段中的“客观性”均为不变性， 而前面的“客观性”乃是指认识内容的客观性或映象转换群下的统一性，所以选用这个易于混淆的词汇，是沿用自然科学、社会科学中“客观性”一词的上述习惯性含义，即超越于个别认识主体的不变性）。为此我们探讨：
2.2.2 映象转换群与不变性或客观性的关系。
（1）映象转换群下的不变性或客观性。
还是先看看具体学科中的实例：
欧氏几何中，长度是旋转群（或坐标映象转换群）下的不变量，与观测主体无关。不变量问题一直是数学家们关注的，如希尔伯特证明了：对于任何一个或一组二次型或高次型，都存在有限个有理整不变量与协变量，使其它的有理整不变量与协变量都可表示成它们的线性组合。F·克莱因把几何学的任务定义成研究运动群下的不变性。
再回到狭义相对论，可证光的波动方程在洛仑兹变换群下保持不变，光速c是与观察者无关的不变量。
当然，社会科学与日常生活中不同主体认识结果之间存在不变性的例子比比皆是。
一般地，记映象ψ（a）＝X，Ψ（a）＝X’，则据图1有X’＝τX，即不同映象通过τ转换。
我们设定，在映象转换群T下存在不变量f（注意，此量是广义的，不仅是指数量），即：
f（x）＝f（τx），或简记为：
f＝fτ，τ∈T…………………①
这样，除了在映象转换群T不同主体映象的客观统一性， 还意味着存在不依赖于主体映象的不变性或客观性知识是可能的。
将①式称为映象转换群T下的不变量方程。 由于它具有主客观两重性——τ意指主观方式的转换，而f 是此转换下的不变量又有着客观的性质，故我们将①式又称为主客观性方程，而主观性与客观性、不变性与可变性、绝对性与相对性在此式中达到了统一。
用转换群下不变性存在的观点容易更好地解释心理学中的知觉恒常性现象，即：稳定的物体在运动或不同背景下给人的知觉保持恒定，为此皮亚杰曾引入“平移群”概念，但未做详细探讨。其实运动既是相对的，我们也可视为物静我动，或把不同背景想象为人的视觉环境，那就可以看成是不同的主体状态应用映象转换群下不变性的存在性予以理解。如大小恒常性：虽然从远近两种距离观察同一客体，在视网膜上远处客体留下的映象小些，但视网膜上的大小与距离成反比这个关系仍保持不变。
在结束这一段时，作者想指出，获得不依赖于个别主体或中介的不变性或客观性知识，仍未摆脱主体及中介的参与。这种不变性或客观性知识的正确性仍得用映象还原的方法回到客体本身进行校验，亦即关键仍在于实现主体与客体相关性态的同构对应。
（2）不变性或客观性诱导出映象转换群。
从几何学易知，长度不变性诱导出刚体运动群或坐标映象转换群。
狭义相对论的两个基本假设是：（Ⅰ）、物理学定律在相互作匀速运动的坐标系中保持不变；（Ⅱ）、光速不变。从这两个不变性或与观察者主体无关的客观性爱因斯坦独立地导出了洛仑兹变换群。
一般地，根据不变量或客观性的存在，可以决定出满足此要求的映象转换群T，即：T＝｛τ｜f＝fτ｝构成一个群。
由此可见，不变的或客观的知识甚至可以导出满足此不变性的主体映象方式的转换关系，进而引发出更多的知识。
爱因斯坦毕生孜孜以求关于实在的客观知识，狭义相对论的两个不变性或客观性假设正是他的这一世界观的具体表现。可以说，这两个假设是一种“绝对论”，但爱因斯坦却是以发现同时性的相对性，时间膨胀长度收缩等相对性现象而著名，其实，他更注重寻求一种绝对的不变的客观知识，因此，在运用这两个假设推出洛仑兹变换群后，他立即着手修正质量、能量、经典力学方程等的重新表述，使动力学方程及能量守恒定律在相对论变换下仍保持不变。广义相对论的广义协变性假设仍然是一种不变性质。
现代场论揭示：物理规律在时间平移变换下的不变性将直接导致能量守恒定律，而在空间平移变换下的不变性的推论就是动量守恒定律。
在日常生活中我们是依此而行的：只要遵守一些共同的准则，如原则、法律、道德等，那么不同个体也可以有选择适合自己的观念与行为方式的自由。
总之，根据以上探讨，可以认为，主体映象转换群的存在性与不变性或客观性的可能是统一的，等价的。
综上所述，在马克思主义认识论的基础上，运用数学方法讨论了认识论的一些基本问题。同时，本文也深受中国文化整体思维观的影响，重视了“天人合一”，主客观的统一性及相互作用、感应。
其实，哲学从数学中汲取营养由来已久。毕达哥拉斯将世界本体统一为“数”，笛卡尔以四条公理作为他的哲学论述的前提，这种演绎法明显地沿用了古希腊人的数学公理化方法；康德的时空观与欧氏几何及牛顿的绝对时空观有着千丝万缕的联系，后来又受到非欧几何及相对论的冲击；马克思重视数学方法是众所周知的；《易经》以数为本自不待言。
但哲学的高度抽象性及思辩性和内涵的某些糊性使传统数学在其中难显身手，因为数学研究对象曾以数和形为主。但现代数学的对象已扩展到研究诸如符号、结构、形式等，即使提到数形，其外延也比以往大大拓宽了，这使得现代科学的数学化趋势方兴未艾，如语言学、逻辑学、经济学等社会科学的数学化已取得了可喜的进展，也给哲学的部分数学化开辟了诱人的前景，当然，这个进程并非易事，一方面，刚才述及的哲学本身的特点决定了它需要强有力的数学工具；另一方面，哲学理论描述的是与意识、社会有关的问题，可谓千姿百态、错综复杂，因而一味贪求数学化也是不可能的。哲学思辩，自有它独立的价值。
3 对自然科学、社会科学及文学艺术达成统一的展望
自然科学向来被认为是研究关于客体的纯粹客观的知识，似乎认识主体的角色消失了。但自从相对论和量子力学创立之后，观察者作为认识主体的参与作用就日渐明显了。自然科学的研究者不仅是宇宙大舞台的观众，他也部分地成为演员，于是自然科学与社会科学、文学艺术之间人为设置的鸿沟也愈来愈小了，只是自然科学更侧重于客体的一面因而试图消除或减少主观因素的干扰罢了。而在哲学、心理学、法学、经济学等社会科学领域，以及文学艺术及其理论中，由于主体意识参与的比重较大，即便对问题的同一方面同一层次的认识也有着相当大的主观性与不确定性，因此往往是流派纷呈，莫衷一是。但如同前述的认识论模型指出的，不同的主体认识或体验之间仍然存在着统一的客观的尺度，某些相异尺度也可以进行转换。因此，我们要更多地抱着宽容和理解的态度，既遵循一些共同的法则，又能去除门户之见，多从他人的角度考虑，方可百花齐放。
在学科分化愈加细密的当今，多学科间的渗透、统一也正成为一种趋势，只见树木不见森林的状况已大为好转。例如认识过程的数学模型在美学中亦可找到用武之地。著名美学家李泽厚在《走我自己的路》[3]中多处论及审美客体与主体、对象与感受之间存在着同构对应的关系。在《审美与形式感》一文中，他写道：“对象（客）与感受（主），物质世界和心灵世界实际都处在不断的运动过程中……其中就有一种形式结构上巧妙的对应关系和感染作用……孔子曰，仁者乐山，智者乐水，智者动，仁者静。山、静、坚实稳定的情操；水、动、流转不息的智慧，这不正是形式感上的同构而相通一致？……”在这篇文章里，李泽厚还强调了审美中介的作用：“自然与人、对象与感情在自然素质和形式感上的映对呼应、同形同构，还是经过人类社会的历史实践这个至关重要的中间环节的。”
运用前述数学模型也可讨论美学中美是主客观两重性的统一。
对于中国传统文化崇尚的“天人合一”，李泽厚给予“天人同构”的新诠释：“孔门仁学由心理而伦理而天地万物，……由强调人的内在自然（情、感、欲）的陶冶塑造到追求人与自然、宇宙的动态同构，这就把原始儒学推到了顶峰。”[4]
“天人感应”的思想对中国哲学、文学艺术乃至社会生活诸多方面有着深刻的影响，但因有时走向简单的类比直接的对应，故不少学问家对之不屑一顾。李泽厚重新评价了董仲舒关于“天人感应”的重要扩展：“其中，包含着对主体心理情感与外界事物的同形同构关系的素朴的观察和猜测。”[4]所以， 如果从“天人同构”的角度把“天人感应”视为心物之间的复杂的或是曲折的相互作用和同构对应，就可以给它注入新的生命力。
由此可见，主客体通过中介作用达成同构对应的思想方法。在中国美学界、思想界自古及今都引起了相当的重视。但这种思想散见于诸家论述中，未能形成一个较明确的、系统的理论，加之现代数学方法的匮乏等历史原因，对这一思想方法的阐述多少有些模糊。
自然科学与社会科学、文学艺术等既都从属于文化整体这棵大树，其根本处就应当是血脉相通的。相信，随着它们相互取长补短以后，必定会相得益彰、大放异彩。
4 结束语
本文对数学方法应用于哲学领域做了一个新的尝试，主要是为马克思主义认识论建立了一个数学模型，把正确的认识看成是主客体通过中介达成同构对应的主观映象，并探讨了在主体介入认识过程后客观知识如何成为可能的问题，得到了较为肯定的结论。因为哲学所讨论的问题的广泛性、深刻性和复杂性，以及数学方法运用于哲学论述尚不深入，更由于作者学识所囿，对许多问题的讨论也只是浮光掠影，希望本文能起到抛砖引玉的作用，也希望得到学长、同仁的批评指正。