重视思想生成体验，构建知识发展脉络——平面向量基本定理的教学设计，本文主要内容关键词为：向量论文,定理论文,脉络论文,教学设计论文,平面论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
平面向量基本定理是平面向量这一章最基本的内容之一.它是在学生掌握了向量的基本概念、向量的线性运算的基础上学习的，是向量坐标表示的逻辑前提，是用向量法求解几何问题的重要理论基础.很多中学教师认为平面向量基本定理是一个比较抽象的内容，不容易理解.
平面向量基本定理成为教学难点，固然有很多方面的原因.但追根溯源恐怕与教材给基底下的定义有些关系.我们认为，这节课与其说在学习平面向量基本定理，不如说在学习基底的概念.什么样的东西是基底？平面向量为什么会有基底？这是学生通过这节课的学习要弄懂的至关重要的问题.而对于基底，教材上说，“我们把不共线的向量
，
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底”.这样表述固然没错，但蕴含概念当中的数学思想却看不见了.比如，我们如果问学生：一对共线向量是否可以作为平面向量的基底或者三个不共线向量是否可以作为平面向量的基底，学生往往回答：不行.因为基底定义里说，基底就是两个不共线的向量.学生把基底的概念与平面向量基本定理割裂了，不知道平面向量基本定理正是基底概念提出的基础.当然，为了表达清楚.我们似乎也只好这样定义基底，但学生的理解却不应该仅此而已.我们的教学要着力去揭示定义中未能表达出来的东西，帮助学生理解基底概念的数学本质和提出的意义.
正是在这样的意义上，我们说当前一个普遍存在的最主要问题是教学没有很好地提供理解基底概念的机会.由于没有经历基底概念逐步酝酿、成型、明朗的过程，学生理解上出现了困难.这里给出的这个课例很好地解决了这个问题，深刻地揭示了基底概念与平面向量基本定理之间的内在关系.
一、教学实录
1.探究发现
师：同学们，前面我们学习了平面向量的线性运算：加法、减法和数乘.有了这三种运算.我们就可以从某些已知的向量出发，通过运算得到一些新的向量.那么到底平面向量的线性运算的表达力有多强呢，这就是我们今天将要讨论的内容.
由于减去向量a相当于加上向量（-1）a，也就是说，加法和数乘可以完全代替减法要表达的向量.因此，下面我们讨论线性运算只限于加法和数乘就可以了.
我们从最简单的情形开始讨论：给定一个向量e，通过有限次地使用加法和数乘两种运算可以得到哪些向量？
生1：如果向量e是零向量，则只能得到零向量；如果向量e是非零向量，则可以得到所有与向量e共线的向量.
师：为什么？
生1：一个向量数乘后得到的向量与它共线，两共线向量相加还是得到共线向量，所以不管经过多少次运算，最后得到的向量一定与向量e共线.
师：很好！不过你还需要补充说明：任何与向量e共线的向量都可以用向量e表示.当然，这是显然的，因为与向量e共线的向量总可以写成向量e的数乘形式.我们加大难度，给定两个向量和，通过有限次地使用加法和数乘两种运算又可以得到哪些向量？
生2：如果向量和向量中有零向量，那么就回到了前面的情形.
师：是的.下面我们假定向量和向量都不是零向量.
生3：如果向量和向量是共线向量，那么还是只能够得到所有与它们共线的向量.理由和生1是一样的.
生4：其实，这个时候给了两个向量只相当于给了一个向量.因为=
，所以任何用向量和向量及线性运算组成的表达式都可以将其中所有的全部换成，从而就只是得到一个由向量组成的表达式.
师：两个同学的说理都很清楚.也就是说，如果向量，共线，则通过有限次使用加法、数乘两种运算也是可以得到所有与它们共线的向量.好，下面谁说一下向量，不共线时的情形.
师：似乎不太容易说清楚.我想问题之所以复杂，恐怕是因为加法和数乘运算可以使用很多次带来的，这个条件可不可以简化？
师：现在谁能说一下？
生6：我感觉可以得到平面内的任何一个向量，我是画图猜到的.
师：能猜到也不错.谁能进一步给出理由？
师：很精彩！这样，我们又得到了一个新的结论：如果向量，不共线，则通过有限次地使用加法和数乘两种运算可以得到平面内任何一个向量.向量，还有其他情形吗？
众生：没有了！
师：我们还需要继续讨论三个以上向量的情形吗？
生9：不需要.两个不共线向量就已经可以运算得到任何向量，因此三个以上的向量只要其中包含两个不共线向量，自然也就可以得到任何向量；而如果其中都是共线向量，就只能得到所有与它们共线的向量.
师：说得太好了！好，讨论到此为止.下面我们把前面得到的结论作一下小结.
[师生共同完成]
（1）一个非零向量通过有限次地使用加法和数乘两种运算，可以得到任何与之共线的向量.
师：这也是向量表示的唯一性.其实通过生8的作图过程，唯一性是很容易看出来的.大家证证看.
[教师引导同学采用作图法、反证法证明唯一性]
师：平面向量基本定理告诉我们，两个不共线的非零向量通过线性组合可以得到平面内任何向量.在这里，两个不共线的非零向量事实上起到了“母体”的作用，它是构造所有其他平面向量的“基石”，数学上形象地称之为基底.
显然，任何不共线的非零向量都可以起到这样的作用，因此都是基底.同一平面内事实上有无穷多组基底.
例1 判断下列说法是否正确
A.平面内存在着一对共线向量可以作为该平面内所有向量的基底；
B.平面内存在着一对不共线向量可以作为该平面内所有向量的基底；
C.平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
D.平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；
E.只要是平面内的一对不共线向量，就可以成为该平面内所有向量的基底；
F.零向量不可作为平面向量基底中的向量；
G.平面向量的任何一组基底都是一对不共线的向量.
[指出：基底直觉上理解就是构建其他向量的“单元”，平面向量的基底必须包含一对不共线向量，而且也只需要包含一对不共线向量.]
3.巩固拓展
例4 如图4，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P.求AP：PM的值.
4.归纳小结
师：通过本节课的学习，你有哪些收获、体会和问题？
学生积极参与讨论，主要观点摘录如下：
（1）我认识到平面向量里有一个重要概念——基底，它的逻辑基础是平面向量基本定理.
（2）我理解基底就是构造其他平面向量的基本单元，知道不共线的两个非零向量就可作为基底，但我不知道相关的定理为何称为基本定理.
（3）我知道用一组基底表示一个向量，其表示形式还是唯一的.
（4）我知道如何用一组基底表示一个向量，其主要思路是由已知向未知不断扩展，主要工具是平行四边形法则、三角形法则和向量共线的充要条件，归根结底是要回到向量线性运算的定义.
（5）我知道平面向量的基底可以任意选择，只要是两个不共线的非零向量就可以了.但我不知道在具体问题中，选取不同的基底会不会影响问题的解决，就像解析几何中选择不同坐标系会产生不同的效果那样.
（6）我还掌握了三点共线的一个充要条件，它是用向量形式表述的.
师：大家总结得很好.这节课要掌握的主要内容有两个：一是平面向量基本定理和基底的概念，二是如何用一组基底表示一个向量.同学们的困惑概括起来说，就是不知道基底在平面向量中有什么作用或者说作用有多大.要解决这个问题，只能留待我们在应用向量的过程中去慢慢体会.我的认识是基底之于向量有些类似于质数之于整数，想想质数对整数理论的意义，你也许会对基底的作用有点模糊的认识.
5.布置作业
作业分两个层次：
（1）书面作业：略；
（2）思考题：略.
二、课例解析
与教材的做法和一般教学设计不同，课例创设的问题情境，不是按平面向量基本定理的表述方式直接讨论任意一个平面向量能否以及如何分解为两个不共线向量的线性组合，而是分析线性运算的表达能力到底有多强.前一问题其实并不在学生的“最近发展区”，或者说不符合学生当前的认识心理，说得简单一些，学生当前不太可能提出这样的问题（有人认为，物理学中有这样的问题背景，诸如力的分解，这弄反了两者之间的逻辑先后顺序，正确的逻辑是它们只是平面向量基本定理发现后的应用）.而后一问题则是前节内容的自然延伸，它既与本节内容本质相关，对学生来讲也有很宽广的探索空间.正是在这一问题的引领下，通过师生从简单到复杂的逐步探究、层层深入，学生渐渐认识到：一个非零向量可以构造与之共线的所有向量，而要构造所有平面向量其实只需要两个不共线的非零向量就可以了.有了这些认识基础，基底的直觉意义已经是呼之欲出.至于线性组合表示的唯一性，其实已经蕴含在前面的讨论之中.因为如果有一个向量可以表示为两种不同形式，就说明两个基底向量可以相互取代（线性表示），从而构造所有平面向量需要两个向量就变成只需要一个向量了.
教师用规范的语言总结出平面向量基本定理和基底的概念后，为了使基底概念进一步明朗，还特意安排了正误辨析.这一辨析很好地弥补了课本定义可能给学生带来的理解上的偏差：两个不共线的非零向量之所以称为基底不是因为它们不共线，而是因为它们可以表示所有的平面向量.在这个过程中，对基底概念的认识还得到了进一步深化：作为基底的向量组要求刚刚好能表示所有平面向量，它不应含有多余的向量（如零向量、共线向量等）.这样要求当然有深刻的背景（唯有如此，线性表示才能唯一），但其实对学生而言，单单从美学上考虑就可以欣然接受了.总之，课例一以贯之所强调的是对基底概念的理解而非记忆.
例2～例4的选择也匠心独具、别开生面.前两例要求学生会把一个向量表示为一组基底的线性组合，这是对平面向量基本定理的自然延伸，现在不仅要知道平面向量可以表示为基底的线性组合，而且要具体表示出来.这也是向量法求解几何问题的基础，因此本节课应着力解决.例2虽说简单，但具有一般意义，其图形很容易出现在任何复杂图形之中，由此得到的（5），（6）中结论的应用也相当广泛.例3复杂一些，但强调的还是要正确理解和运用向量线性运算的法则和意义，当然解题时也可适时利用例2的结论.例4是用向量法求解几何问题，设计意图是要让学生初步感受到向量法的优势，体会平面向量基本定理在其中的作用，同时求解它也是对例2结论的巩固和熟练掌握.
最后的师生总结也很有意思，大家讨论的焦点不是本节的课题——平面向量基本定理，而是主要集中到了基底的概念上，这其实恰好说明了教学设计的成功，因为不正是基底一词浓缩了平面向量基本定理的本质意义吗？一个应该坚守的基本观念是：不管学生用的是这个词还是那个词，我们总希望他们关注的是其中的数学本质.总的说来，学生的思考不仅是本质的，也是深层次的，因为基底提出的意义也进一步得到了关注.教师的总结也是既提纲挈领又富有启发，课题这样结束其实也为未来更深入的学习明确了方向.
总而言之，数学教学不仅是知识的教学，要掌握知识的逻辑意义，而且还要了解知识产生的背景与多元联系，并理解其中所蕴含的思想方法和价值观念.正是在这样的意义上，数学教学设计应注意做到“高立意，低起点”.上述课例可以说较好地体现了这样的思想，它自始至终都把理解数学当作数学教学的第一基石，强调学生知识生成的思想体验.
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