探索“三角形全等判定的ASS ”成立的条件
李建钢
摘 要： 在线段及角是否相等的判断方法中，全等三角形的判定十分常用。判定三角形是否全等的方法包含“SSS(边边边)”“SAS(边角边)”“AAS(角角边)”及“ASA(角边角)”等四种，而在判定直角三角形是否全等时，还包含“HL(斜边、直角边)”。众所周知，在对两个三角形是否全等进行判定时，无法将“ASS(角边边)”作为条件，但是对于为什么却不甚了解。实质上，“ASS”也可用于三角形全等的判定中，但是并非是任意三角形都能适用，有一定限制条件存在。对此，本文就三角形全等判定中的“ASS”条件展开探究。
关键词： 全等三角形；判定依据；ASS
初中数学教材中，“全等三角形”属于核心概念，而在该单元的拓展内容中，便涉及了“角边边能否判定三角形全等？”学习该内容之前，学生已对三角形关于边、高、内角、中线及角平分线等相关概念有所了解，依托“尺规作图”进行三角形的绘制，帮助学生将三角形全等的四种判定方法掌握，然而对于三角形全等判定中“ASS”为什么不能采用，却不具备深刻的理解，缘由不明了。因此，探究三角形全等判定中是否能够采用“ASS”，总结出“三角形全等判定的ASS”成立与不成立条件，能够帮助学生深刻理解“ASS”是否能够对三角形全等进行判定，拓展学生的知识储备，活跃学生的思维能力。
一、 探索“三角形全等判定的ASS”成立的必要性
众所周知，三角形三边分别对应相等的两个三角形是全等的，即为“SSS(边边边)”，而相应的也有“SAS(边角边)”“AAS(角角边)”及“ASA(角边角)”，皆可用于两个三角形是否全等的判定中。但是，当有两边及其一边对角分别对应相等的两个三角形，却并不一定就是全等的，由于没有简称的缘故，因此教材中也未出现“ASS(角边边)”。
这时候，忽然跑过来几个小孩子，都争着上前抓它，于是它双目圆睁，张着长长的嘴大叫起来，注视着大家。无意之中，我发现它的一条腿折断了，无法站立起来。见此情形，我大声地对这些孩子们说，不要伤害它，说不定这只鸟儿还是保护动物呢！
笔者经过调查后发现，关于“ASS(角边边)”的理解与应用方面，初中教师与学生都有一定偏差存在。数学这门学科具有严密逻辑思维，在学生初次接触简单严密的逻辑思维训练时，教师不能出现漏洞，以免学生严密逻辑思维能力的培养受到影响。因此，教师就必须对教材中的说法准确理解，也就是有两边及其一边对角分别对应相等的两个三角形，却并不一定就是全等的。此处的“不一定就是全等的”，表明有个别是全等，也有个别不是全等的，教师切忌一律采用“一定不全等”的说法来概括，需要深入探索“ASS(角边边)”的不同情况，同时展开具体分析，在面对“ASS(角边边)”对两个三角形是否全等进行判定时，还需融入其他方法。
本研究的政策启示在于，完善社区治理体系，发挥社会组织作用，需要政府自上而下的政策引导和社会组织自下而上的积极行动并形成合力。进入新时代，政府对社会组织的培育和扶持应当既重数量也重共治能力。政府购买服务重心应向基层下移，重点扶持社区服务类社会组织，着力提高社会组织的社区嵌入性能力和专业服务能力；引导社会组织积极参与城乡社区治理，在基层社会治理中发挥调节作用，成为政府治理和居民自治良性互动的桥梁。社会组织积极嵌入社区治理的行动，应以专业服务为立足点，以创新公共物品生产为关键，运用积极的合法化策略，获得在社区治理中的结构性位置。
二、 “三角形全等判定的ASS”成立条件的探究
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(一) 分析“ASS”不成立的原因
根据上述体验，若给定条件下，图形不能确定。即：某条边或者角在满足条件下，依然可以活动。则可以找到“ASS”不成立的原因。
图1
分析： 学生很容易作出高AD ，并且也能快速得出△ABC 不存在。所以，当AS 1S 2条件中，已知角(A )的对边(S 2)比对应高还要短时，三角形不存在。通过几何画板演示，我们也能一起得到△ABC 存在时AC 的取值范围：n ≥h 。同时也发现当h <n <m 时，点C 在射线BK 上有两个位置，边AC 以高AD 为对称轴左右摇摆，即“图形不确定”，故此种情形下的“ASS”是不能判定全等的。
【例2】 图3所示等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 边上除B 、C 之外的任意一点，判定△ABD 是否全等于△ACD 。
【例1】 如图1所示，已知∠ABC =α ，AB =m 。(1)判断A 到直线BK 的距离h (△ABC 中的高AD )是否确定？(2)当线段AC <AD (高h )时，满足条件的△ABC 是否存在？(3)当△ABC 存在时，求AC 的取值范围？
图2
(二) 探索“ASS”可能成立的原因条件
【续例1】 (4)思考：对于n 在什么范围内，点C 的位置是确定的，什么时候点C 的位置不确定(有几个)？
结合上述探究能够总结出“两个锐角三角形，若是两边及其中一边对角对应相等，即为全等”，也就是说在两个锐角三角形是否全等的判定中，可采用“ASS”。
综上所述，关于“ASS”的成立条件来看，以图1中的直角△ABD 为例：AC 边不能在AD (高h )左右两边拖摆，也就是
而若是AC <AD (高h )时，三角形不存在。
三、 探索“ASS”成立的条件的证明
数学课堂教学中，教师于备课过程中，尽管会立足于“知识与技能”“过程与方法”及“情感态度与价值观”三个维度的数学课程目标进行教学目标的设计，然而具体教学中却往往仅对“知识与技能”目标予以了重视。翻阅了大量与“ASS”相关的资料后，笔者发现多数教师皆将“ASS”能对三角形全等进行判定的特殊条件当作教学的主要目标，也就是“有两边及较大边对应角相等的两个是全等的，是三角形全等中‘ASS’判定的特殊条件。”以数学语言表述转化该结论，可通过下述四种情况进行划分：
梅毒螺旋体明胶颗粒凝集阳性检出率为94.0%，梅毒酶联免疫吸附法检测阳性率为88.0%，梅毒甲胺红不加热血清反应检测阳性率为94.0%，见表1。
(一) 满足“ASS”的三角形是否一定全等
图3
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分析： 通过“几何画板”的运用，将D 点选定并拖动，通过在BC 边上移动之后，得到△ABD 与△ACD 。△ABD 的边AB 和AD 与△ACD 的边AC 和AD 相等，且∠B =∠C ，但是一般情况下这两个三角形是一个为锐角、一个为钝角三角形的缘故，因此两个三角形并非一定是全等的。所以，两个三角形即便满足“ASS(角边边)”也并非一定全等。
(二) 满足“ASS”的直角三角形是否全等
【例3】 如上图6所示，△ABC 和△A ′B ′C ′为锐角三角形，其中AB =A ′B ′、AC =A ′C ′、∠B =∠B ′，求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′。
图4
图5
图6
(三) 满足“ASS”的锐角三角形是否全等
下图中，继续移动点D 至AD ⊥BC 时，ABD 与△ACD 成了直角三角形，由图4、图5至图6进行动态演示。此时“ASS”中的角可以是移动点D 后获得的直角，所以“ASS”就转化成了“HL”。如此不难发现，“ASS”中，“HL”是一种特殊情形。
分析： 过点A 、A ′分别作AD ⊥BC 于点D 、A ′D ′⊥B ′C ′于点D ′，结合“AAS”即可将△ABD ≌△A ′B ′D ′证实，得到AD =A ′D ′，此时再结合“HL”即可将直角△ADC ≌直角△A ′D ′C ′证实，因此∠C =∠C ′，从而可将△ABC ≌△A ′B ′C ′证实。
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分析： 通过集合画板，逐渐增加⊙A 的半径，发现当n >m 时，⊙A 与射线BK 只有一个交点，图形确定。即边AC 只能在高AD 的右侧，此时位置确定，故也能判定“ASS”成立了。
(四) 满足“ASS”的钝角三角形是否全等
【例4】 如图7所示，△ABC 和△DEF 为钝角三角形，AB =DE 、AC =DF 、∠C =∠F ，求证：△ABC ≌△DEF 。
图7
分析： 在钝角△ABC 与钝角△DEF 全等的证明中，在元素对应相等的基础上，也需要依据，可以根据“SSS”将BC =EF 证明，也可以根据“AAS”将∠B =∠E 证明。总体来说就是将另一对边或对角相等证明。
根据浙教版八上第一章1.5的三角形全等判定的学习，学生通过给定条件下画三角形。分别画出“两边长确定，夹角已知”或者“三条边长度确定”或者“两个内角确定夹边长固定”的三角形，同学们画出了唯一的形状和大小，通过互相对比发现能够叠合，从而体验了：“图形确定
就能判定全等”。因此，在同学们纷纷猜想“为什么就没有ASS定理”的时候，我们就可以，运用这种体验，帮助学生找到“ASS”不成立的原因及成立时的条件特征。
方法1：证明BC =EF
将图8中的△ABC 沿着AB 翻折并朝右平移，重合AB 与DE ，将CF 连接之后得到了下图8。为了将BC =EF 证实，就必须将∠1=∠2证实。根据已知条件AC =DF 可知∠3=∠4，加之∠DFE =∠ACB ，因此∠1+∠3=∠2+∠4，所以∠1=∠2，BC =EF 。
图8
方法2：证明∠B =∠E
2015年原农业部印发《到2020年化肥使用量零增长行动方案》和《到2020年农药使用量零增长行动方案》，化肥使用量零增长行动方案实施以来，我国单质肥料需求量连续两年减少。今年国务院发文，将化肥农药使用量由零增长转为负增长，要求到2020年京津冀及周边地区、长三角地区肥料利用率达到40%以上。顾宗勤分析说：“原农业部扩大轮作休耕试点，2018年轮作休耕面积同比翻一番，预计将减少60万吨尿素用量。可以预见，未来几年化肥农业用量将继续保持下降趋势。农业需求减少将加剧氮肥供给与需求不匹配、不协调、不平衡的矛盾。”
如下图9所示，过点A 作AG ⊥BC 、与BC 延长线相交于点G ，过点D 作DH ⊥EF 、与EF 延长线相交于点H 。为了将∠B =∠E 证实，首先需要将△ABG ≌△DEH 证实，但是目前已知条件中仅有斜边与一直角对应相等，所以需要将AG =DH 证实，随后分别将AG 、DH 置于△AGC 和△DHF 中，将这两个三角形证明全等，即可证实∠B =∠E 。
图9
四、 结论
结合上述分析得知，个别特定条件下，通过“ASS(角边边)”能够将两个三角形全等证实，因此总结出“有两边及较大边对应角分别对应相等的两个三角形是全等”。然而，需要注意的是“两个三角形两边及其一边对角对应相等，即为全等三角形”是假命题，也就是不能将“ASS”当作任意两个三角形是否全等进行判定的条件。
本文依托“几何画板”将图形的“运动”变化演示并展示给学生观看，简单化原本复杂的问题、具体化原本抽象的问题，同时在手写板的应用下将主干知识形成过程清晰地呈现给学生观看，突破重点、化解难点，激发学生兴趣及求知欲。
参考文献：
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[3]熊莹盈.全等三角形判定定理的应用——“探究‘边边角’在部分条件下证明三角形全等”教学设计[J].中国数学教育，2018(9)：3-8.
[4]刘达.管窥数学探究活动课的典型特征——点评“探究‘边边角’在部分条件下证明三角形全等”[J].中国数学教育，2018(9)：9.
[5]李瑶，张红.数学任务框架案例分析与教学启示——以一堂“‘边边角’能否判定三角形全等”公开课为例[J].中学数学研究(华南师范大学版)，2017(2)：5-7.
作者简介： 李建钢，浙江省杭州市，杭州市余杭区崇贤中学。
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