江苏省泰兴市第一高级中学 225400
摘 要：函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=对称；函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c时，函数y=f(x)的图象关于点（， ）对称；函数y=f(x)有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期；函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=c和f(b+x)+f(b-x)=c（a≠b）时，函数y=f(x)是周期函数。
函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。中学数学中，研究函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系。下面我们就一些常见的性质进行研究。
一、函数的对称性
1.函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=对称。
证明：在函数y=f(x)上任取一点（x1，y1），则y1=f(x1)，点（x1，y1）关于直线x=的对称点（a+b-x1，y1），当x=a+b-x1时，f(a+b-x1)=f[a+(b-x1)]=f[b-(b-x1)]=f(x1)=y1，故点（a+b-x1，y1）也在函数y=f(x)图象上。由于点（x1，y1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x=对称。（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）
2.函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c时，函数y=f(x)的图象关于点（， ）对称。
证明：在函数y=f(x)上任取一点（x1，y1），则y1=f(x1)，点（x1，y1）关于点（， ）的对称点（a+b-x1，c－y1），当x=a+b-x1时，f(a+b-x1)=c-f[b-(b-x1)]=c-f(x1)=c－y1，即点（a+b-x1，c－y1）在函数y=f(x)的图象上。由于点（x1，y1）为函数y=f(x)图象上的任意一点可知，函数y=f(x)的图象关于点（， ）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）
3.函数y=f（a+x）的图象与y=f（b-x）的图象关于直线x=对称。
证明：在函数y=f(a+x)上任取一点（x1，y1），则y1=f(a+x1) ，点（x1，y1）关于直线x=对称点（b-a-x1，y1）。由于f[b-(b-a-x1)]=f[b-b+a+x1]=f(a+x1)=y1，故点（ b-a-x1，y1）在函数y=f(b-x)上。由点（x1，y1）是函数y=f(a+x)图象上任一点，因此y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x=对称。
二、周期性
1.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
2.对于非零常数A，若函数y=f(x)满足f(x+A)=-f(x)，则函数y=f(x)必有一个周期为2A。
证明：f(x+2A)=f[x+(x+A)] =-f(x+A)=-[-f(x)]=f(x),∴函数y=f(x)的一个周期为2A。
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3.对于非零常数A，函数y=f(x)满足f(x+A)=，则函数y=f(x)的一个周期为2A。
证明：∵f(x+A)=，∴f(x+A+A)＝ ＝f(x), 函数y=f(x)的一个周期为2A。同理可证对于非零常数A，函数y=f(x)满足f(x)=-，则函数y=f(x)的一个周期为2A。
三、对称性和周期性之间的联系
1.函数y=f(x)有两根对称轴x=a，x=b时，则该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。
已知：函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x)（a≠b），求证：函数y=f(x)是周期函数。
证明：∵f(a+x)=f(a-x)得f(x)=f(2a-x)，f(b+x)=f(b-x)得f(x)=f(2b-x)，∴ f(2a-x)=f(2b-x)，∴f(x)=f(2b-2a+x)，∴函数y=f(x)是周期函数，且2b-2a是一个周期。
2.函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=c和f(b+x)+f(b-x)=c（a≠b）时，函数y=f(x)是周期函数。（函数y=f(x)图象有两个对称中心（a， ）、（b， ）时，函数y=f(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）
证明：由f(a+x)+f(a-x)=cf(x)+f(2a-x)=c,f(b+x)+f(b-x)=cf(x)+f(2b-x)=c,得f(2a-x)=f(2b-x),得f(x)=f(2b-2a+x),∴函数y=f(x)是以2b－2a为周期的函数。
同理可证函数y=f(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴x=b）（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(b-a)。
四、知识运用
1.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是_____。
解：f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0，由f(x+3)=f(x)得f(3)=0， f(2)=0f(5)=0,f(2)=0f(-1)=0f(1)=0，∴f(4)=0,∴x=1，2，3，4，5时，f(x)=0;又f(-1.5)=f(-1.5+3)=f(1.5),又f(-1.5)=-f(1.5)知f(1.5)=0，而0=f(1.5)=f(1.5+3)=f(4.5)知x=1.5,x=4.5,f(x)=0也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。
2.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝_____。
解析：因为f（x）·f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝ ，则有f（x＋4）＝＝ ＝f（x），所以f(x)是以4为
周期的周期函数，所以f（99）＝f（25×4－1）＝f（－1）＝ ＝ 。
答案： 。
论文作者:孙美霞
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年8月总第273期
论文发表时间:2018/8/13
标签：函数论文; 对称论文; 图象论文; 周期函数论文; 周期论文; 对称轴论文; 对称性论文; 《教育学文摘》2018年8月总第273期论文;