高中数学教材核心数学内容的国际比较，本文主要内容关键词为：高中数学论文,核心论文,教材论文,数学论文,内容论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教育国际比较研究（如IAEP，TIMSS，PISA等）表明，课程和教材对学生的学习和成就有重大影响.研究显示，“学习机会”[1]是影响学生数学成就的一个主要因素，而课程设计与教材编写又是影响“学习机会”的重要因素.经过20世纪90年代的酝酿和论证，许多国家都在20世纪之初修订了数学课程和教材，经过十余年的实验和修订，这些课程和教材已趋稳定.本文从国际比较角度考察高中数学核心内容的定位、选择与编排，希望为我国高中数学课程标准及其教材的修订提供参考. 一、研究的内容和意义 数学内容的定位、选择与编排是数学课程和教材研究的重点.一方面，20世纪以来，数学学科的发展异常迅速，一些新的数学内容已成为公民的必要素养，一些传统的内容在现代数学观点下也有了新的理解和处理；另一方面，中学阶段已无法给数学课程留下过去那样多的学习时间.因此，数学课程必须聚焦一些核心的数学内容和思想方法. 作为课题研究的一部分，本文重点考察三个层面：（1）理论层面，探讨各国高中数学教材核心内容的定位；（2）宏观层面，比较各国高中数学教材核心内容的取舍；（3）微观层面，分析各国高中数学教材核心内容的编排. 二、研究的设计与工具 （一）样本国家和样本教材 我们选定了美国、英国、德国、法国、俄罗斯和日本六国作为比较的对象.选择这些国家的原因主要有： 1.美国在数学教育理论研究上处于国际领先地位，其普通高中学生的数学成就虽不尽如人意，但教材编制很有创意.[2][3] 2.英国教材比较稳定，例如，一些国家在“新数”运动时期炙手可热的教材目前大都已销声匿迹，而英国的SMP数学教材至今仍在使用.[4] 3.德国数学教材的特色是从实际问题出发，注重数学探究和建模活动.德国在两次大战后经济的快速恢复与重新崛起，与其基础教育特别重视对学生创新能力的培养不无关系.[5] 4.法国是极少数对中小学数学要求很高的西方国家之一，高中数学教材包括像球面三角这样的内容，范围超过了我国.近年来法国又开始对高中统计课程进行改革，将引进大量的高等统计内容.[6] 5.俄罗斯是传统的数学强国，且有一流数学家直接参与中学数学教材编写的好传统，教材在反映数学本质方面有独到之处.[7] 6.日本数学课程在传统上与我国比较接近，如，比较强调欧氏几何的教学，把数学公理化思想和理性精神作为重要的教学目标.近年来受西方的影响，课程风格已有所改变.[8] 对样本教材的选取，我们在考虑使用面、所在国课程改革的主流思想、教材出版和选用的国家政策等因素的基础上，再根据教材的出版时间及购买的便利性而确定（如下页表1）. （二）核心内容的确定 考察世界各国高中数学教材，内容都涵盖代数、几何、概率统计和微积分.为了确定其中的核心内容，我们在文献分析的基础上提出了三条标准： 1.基础性——在所在领域具有基础地位，并能形成联系通畅的结构. 2.发展性——具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法. 3.可行性——与学生的思维发展水平和数学学习方式保持一致，是可学、能学的. 其中，基础性、发展性是针对数学内容的，可行性是针对学生的，相互之间有交叉.如果仅从内容角度看，可以认为核心内容位居数学知识体系的中心点，自我生长能力强，可以生成一个“知识群”.
（三）分析框架 我们采用定量研究与定性研究相结合的方法.因为不同板块数学内容各有特征和侧重点，所以我们建立了用于所有内容的宏观分析框架和用于不同内容的微观分析框架（见图1）. 通过上述分析框架对课程内容的深度与广度，以及课程所涵盖的数学概念、原理、范例和问题的选择与编排特点、教学要求等作系统比较. 三、初步的研究结果 本节先从整体上考察各国高中数学教材核心知识的选择、发展主线的建构，再从代数、几何、概率统计和微积分四个板块分别呈现部分比较结果.
（一）各国高中数学教材中的核心知识集 我们先通过概念图分析法得出各国核心知识的框架，然后对各国核心知识集做“并集”，列表（见下页表2）.由此可以清晰地看到各国在核心知识选择上的差异. （二）各国高中数学课程的发展主线 代数领域以“函数”为核心建构代数领域的知识体系，将整个领域的知识组织成以“函数”为核心的辐射状网络体系，并以“函数”的某些子概念与其他领域知识的联系为载体，发展不同领域间的联系；同时，运算贯穿整个代数领域，用由算术的运算法则和运算性质发展而来的代数性质统辖符号运算、多项式理论、方程和不等式以及函数的运算.这样的知识体系，充分发挥了核心知识的强大组织功能，借助于核心知识的自我生长能力和有力的纽带作用，把高中数学组织成纵向综合贯通、横向紧密联系的网络结构，知识之间的逻辑关系比较清晰，不同领域知识的联系也比较明确，有利于学生了解知识的发展脉络，有利于学生自主学习. 几何课程以“变换”为核心概念，贯穿图形的性质和关系的学习，在推理能力的培养中建构了由归纳推理到演绎推理再到公理化体系的发展主线，注重用现代化的数学方法（特别是变换的思想和方法）处理传统内容，在推理能力、公理化思想这样的问题上，并没有放松、降低要求的倾向. 概率统计课程已有多年的历史，在该领域的课程设置和教育教学研究上都处于世界领先水平.从概率统计内容的编排上可以看出，概率的概念作为数据分析的理论依据，贯穿数据分析的整个过程，是数据分析各阶段的思想基础，这就突出了这一内容的“数学味”.
代数领域体现了很强的函数与方程的思想，同时注重借助于函数图象分析和解决问题.指数函数、对数函数通过指数运算、对数运算引出，同时还介绍了双曲函数和反双曲函数，从而为微积分领域利用三角变换、双曲变换求积分打下基础.对函数图象的研究，借助极限和不等式研究二次分式函数的图象，注重从基本初等函数出发，通过图象变换作函数图象.特别注重矩阵，包括矩阵运算、矩阵与方程组、矩阵与变换的关系、逆矩阵，以及通过矩阵特征多项式研究特殊矩阵、对称矩阵化为对角型.复数内容也很丰富，在三角表示、指数表示的基础上研究复数运算，把复数与三角联系起来，并介绍了实系数多项式根的情况以及根与系数关系的有关理论. 几何领域以“坐标几何”为中心，包含点的坐标、一次曲线和二次曲线方程，并将“向量”和“坐标几何”联系起来，以向量的外积运算为基础，给出空间直线和平面的方程，对空间中的点、线、面的关系进行研究.值得说明的是，除英国外，德国和俄罗斯的课程中也有向量的外积运算.度量几何强调面积和体积的算法，一是通过三角比求圆面积、扇形弧长和面积，二是通过积分求面积和体积.这也是英国课程强调微积分应用的体现.英国高中有圆的性质，如半圆上的圆周角是直角、垂径定理和切线定理.这些是我国初中的内容. 统计与概率领域以“数据分析、统计评估和概率”为三个基本点.计数不作为求概率的工具，而与后面的二项分布紧密相连；数据分析以收集、整理和变量间关系为核心子概念，具有很强的实用指向.注重信息技术工具的使用，数据的分组、位置测度、数据的期望和方差以及求回归系数等都通过编程完成.以“事件的概率和概率分布”为主线，事件的概率具体介绍了概率和频率的关系、概率公式、古典概型、条件概率以及离散型和连续型随机变量的概率分布，还通过正规逼近，用连续型随机变量中的正态分布来逼近离散型概率分布，这是一个从简单到复杂、从有限到无限的内容编排顺序.英国课程中的统计评估是各国中介绍最完整的，不仅介绍了点估计、无偏估计、假设检验和独立检验、t分布和F分布，还对检验和估计的质量作了介绍. 微积分领域分微分、积分和微分方程三个专题.突出微分和积分互为逆运算，用微分求切线的斜率，用积分求面积，二者都满足四则运算的相同规律；安排了含参数函数的微分和积分、隐函数的微分和积分；微分方程作为微积分的运用主要涉及求解一阶、二阶微分方程问题，具体解法有用积分求解微分方程、用泰勒级数求微分方程级数形式的解等. 代数领域以“函数”为主线.函数模型包括指数函数、对数函数、三角函数和多项式函数；用函数和集合的观点研究三角；方程与不等式涉及指数方程、对数方程、三角方程、线性方程，主要借助于函数来求解；在多项式函数中介绍多项式的除法；通过图象的平移、伸缩和对称变换等，用函数的观点研究几何变换. 几何领域，对圆和球有专门的研究，包括圆周率、扇形以及球面知识的应用，圆的方程，球的方程；坐标几何更多借助于空间中直线的方程、平面的方程，用向量表示、研究空间点、直线、平面三者之间关系，利用方程和向量解决距离问题（但德国和法国都少了圆锥曲线方程的研究）；除了向量的加、减、数乘和内积运算之外，还有外积运算的相关定义和性质，向量组的线性相关和线性无关. 概率统计领域，组合与求事件的概率紧密相连，这与我国以往的做法类似；统计部分不抽象地讲数据分析，安排了统计评估中的假设性检验、弃真和去伪检验等；概率部分对随机试验和概率分布进行了详细介绍，明确给出“有顺序取出k次、一次取出k个、不放回有顺序地取出k次以及伯努利试验”的相关概念；概率分布侧重介绍二项分布，并应用于电子图表、置信区间等. 微积分领域，不专门介绍极限的概念，但在导数定义，如差商、变化率、函数不连续点以及渐近线等内容中渗透了无限逼近的思想；微积分领域以导数为主线，介绍了初等函数的导数、导数运算和性质以及二阶导数，系统介绍了导数在研究函数性质中的应用，如一阶导数与单调性、二阶导数与凹凸性、用牛顿迭代法求方程近似根、渐近线以及条件极值等；不定积分由初等函数的导数引出，并进一步介绍了定积分、广义无穷积分以及微积分基本定理，其中微积分基本定理是英国、德国、法国、日本、俄罗斯和我国都介绍的内容，广义无穷积分是只有德国数学课程涉及的内容；微分方程主要用于解决现实问题，如函数的拟合、极值问题等. 代数领域以函数为核心.其中，指数函数、对数函数按F.克莱因的观点处理，基于微分方程引出，即由微分方程导出指数函数，并进而研究以e为底的指数函数、对数函数.函数的表示，不仅给出了列表法、图象法和解析法，而且探讨了线性分式函数
和二次三项式函数
的不同表达方法，体现了函数表达式与代数式密切相关.方程、不等式的求解注重借助于函数，体现了函数与方程、不等式的紧密联系.函数的运算及其图象特征，如和函数、积函数的图象特征，将运算和函数图象联系起来.通过分解因式和求根公式求解特殊的二次方程，并由二次方程的根引出复数，给出了一般n次方程根的情况.数论知识较丰富，如代数基本定理只有法国和美国涉及.集合概念侧重于数集，强调更方便地表示数的集合，如实数区间和N、Z、Q、R，并涉及数的性质和顺序. 几何领域，由坐标几何（轨迹方程）、空间图形、图形变换、向量以及平面几何图形等组成.坐标几何先讲笛卡儿直角坐标系和极坐标系；用代数方法研究平面中直线方程以及两直线位置关系，空间直线方程、平面方程，以原点为中心的圆锥、圆柱、球的方程；利用方程讨论空间中线线、线面、面面关系，其中点、线、面的关系按照图象直观、定义和判定的顺序系统安排.空间几何体包括棱柱、棱锥，圆柱、圆锥，安排了几何体的截面和长度、面积、体积等度量问题.图形变换包括位似变换，与函数图象有关的平移变换、伸缩变换；不特别讲解向量分解定理，采用“正交基”，并包括与向量有关的加权点重心.另外，还要求平面几何中的全等三角形、中位线定理、相似三角形. 概率统计领域，由数据分析、事件的概率、概率分布以及计数等组成.数据分析包括数据的收集、数据的表示、数据的描述（包括离散程度和中心趋势以及数据频率及频率分布）.由频率引出概率，如用大数定律将“频率和概率”与“频率分布和概率分布”联系起来；“随机事件”也将“期望和方差”与“平均数和方差”联系起来，明确指出数据的平均数收敛于期望，数据的方差收敛于随机变量的方差.在“事件的概率”中特别介绍了典型随机事件，包括掷硬币、随机抽数字和投票箱，独立试验以及随机模拟；还介绍了随机变量的独立性和概率密度函数，由此给出了连续型概率分布如指数分布和[0，1]均匀分布，离散型概率分布如伯努利分布和二项分布.计数中包括组合数和二项式定理. 微积分领域，由极限、导数、积分和微分方程等组成.在内容的组织上，以导数为核心，极限作为导数的基础，而积分作为导数的逆，又由导数推出微分方程；把数列作为特殊的函数，在极限中进行研究，如无穷递缩等比数列的极限.法国高中数学课程对微积分的要求较高，不仅要求学生会求初等函数的导数、简单函数的积分以及两个特殊的微分方程，还介绍了众多的定理、公式，如夹逼定理、闭区间上的连续函数性质、中值定理、单调有界收敛定理以及微积分基本定理等.不仅是公式的应用和计算，还涉及公式的推导.以微分方程f'（x）=f（x）且f（0）=1的解引出以e为底的指数函数和对数函数，并借助于微积分相关知识研究它们的性质，这是与其他国家不同的. 5.俄罗斯 代数领域，以“函数”为主线，包括分式线性函数、幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数.三角函数从任意角的三角比出发，到三角恒等式、三角变形，还有三角方程、三角不等式、反三角函数，内容非常齐全.方程、不等式的内容包括，方程组的求解方法（函数图象法、积分法、换元法、消元法等），不等式组的同解变形，参数方程和参数不等式以及二元方程和二元不等式所表示的平面区域，等等. 几何领域，有坐标几何、空间中的点线面关系、空间几何体以及向量等.平面几何图形及其度量，主要研究圆和三角形，其中有塞瓦定理和梅内劳斯定理.坐标几何中介绍了直角坐标系和极坐标系，并在此基础上给出了球面方程、平面方程，以及点与点、点与平面的距离公式.空间中的直线、平面的位置关系则完全采用公理化演绎论证的方式，按“定义—判定—性质”的模式组织，还包括空间的角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角），空间中的距离（点到平面、直线到平面的距离）以及投影的相关知识.这里的角和距离也是度量的内容.空间几何体分别从多面体和旋转体出发介绍柱、锥、台以及球体.另外，还有空间的对称，如中心对称、镜面对称、轴对称，棱柱与棱锥中的对称等等.向量除了概念、加减数乘和内积运算外，还包括平面（空间）向量分解定理. 概率统计领域要求较低.统计部分仅限于数据的收集、整理和表示以及数据的数字特征，与其他国家相比内容较少.计数中包括排列、组合的相关内容以及组合公式、组合问题以及二项式定理.概率部分仅限于对基本事件、互斥事件以及事件概率的介绍，没有深入展开. 微积分领域，极限涉及函数极限和数列极限，由函数极限引出函数连续性的概念.从物理意义和几何意义引出导数概念，并利用导数研究函数性质、图象.导数包括四则运算、复合函数和反函数求导、初等函数的导数以及导数的应用（如生活中的最优解问题、函数变化率问题以及求解析式）.由初等函数的导数引出原函数的概念，并介绍了求曲边梯形面积的定积分和微积分基本定理. 代数领域，由复数、多项式理论、数列、方程与不等式、函数、三角等组成.以“函数”为核心组织代数领域的知识体系，包括二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、分式函数以及有理函数.在研究各类函数的图象和性质的基础上，从函数观点出发，借助于相应的函数求解方程、不等式.包括：复合函数、反函数的概念；集合概念，算法概念，具体内容与我国很相近；通过二次方程的根引入复数；“数论”中包括约数与倍数、欧几里得除法与辗转相除法、二进制、根据整数性质求解不定方程. 几何领域，以“坐标几何”为核心：无论平面向量还是空间向量都通过建立坐标系，用坐标来表示并进行坐标意义下的运算；三角中三角比的定义也依赖于坐标系；复数的复平面基于复数的几何表示产生，也通过坐标来实现；平面区域的代数表示，把方程、不等式与坐标几何联系起来.在“空间几何”中培养“几何演绎推理”能力，这一点与我国基本一致.与英国课程中圆的性质内容相似，日本也在高中阶段进行介绍. 概率统计领域，由计数、数据分析、事件的概率、统计评估等组成.同时又体现出两条主线：（1）计数—事件—概率—概率分布；（2）总体和样本—抽样—数据分析—统计评估—用样本估计总体.概率部分与我国差别不大，但把计数作为求概率的基础.“数据分析”和“统计评估”同属统计的核心概念，注重用这些概念解决实际中的统计问题. 微积分领域，有极限、导数和积分等内容，按照“极限—导数—积分”的顺序展开.教材中不仅强调学生会用公式计算求解相关问题，而且介绍了求导公式（如正弦函数、余弦函数，复合函数以及反函数等）的推导.用微积分的工具更深入系统地研究函数.数列作为特殊的函数，在“极限”中也有研究，还包括反函数以及复合函数的极限、函数的和差积商的导数以及复合函数的导数等.由函数极限引出函数连续性的概念，并介绍了闭区间上连续函数的性质.不仅给出了“导数”的极限定义，从代数角度阐述导数含义，还通过“微分系数、函数图象切线”阐述导数的几何意义，从数和形两方面阐述“导数”.与“导数”互为逆运算的“积分”在日本高中数学的要求比较高，不仅要求掌握定积分与不定积分，要求掌握基本初等函数的积分，还介绍了分部积分法和换元积分法.另外，日本高中数学还强调“导数与积分”的应用. （三）高中数学核心内容的课程要求比较 从表2看，在知识的广度上，除日本外，中国不比其他国家少.但在具体知识点的分布上存在实际差距.例如，我们用Hough等人的分析方法[9]，绘制出各国教材的核心内容概念图，再计算节点个数，发现：“指数函数”的直接节点，美国教材14个，中国教材最少（8个）.这说明：中国教材广度最窄；在知识的深度上，法国教材第一；“对数函数”复杂度上法国遥遥领先，而中国教材相对简单.中国教材对知识的挖掘程度更深，内部的联系也更加紧密，而其他国家教材的知识广度更宽些.各国教材中的定义与原理的数量不尽相同：定义的数量中国最多，其次是美国和德国；原理的数量法国最多，其次是中国. 在内容处理方面，在概念建立方式上各国教材略有差异，中国和德国教材从问题情境出发建立概念，美国、英国和法国教材则从实际需求出发，虽缺少背景但胜在实用，日本教材则没有理由地直接给出概念.在原理呈现上，中国和日本教材不仅给出了原理的证明，还要求学生进行类似的证明来巩固知识，法国和德国教材仅仅给出了证明，美国和英国教材在证明方面要求较低.各国教材均设置相关例题和问题来加深原理的理解和使用.此外，中国和美国教材试图通过大量范例教学来与学生进行交流，帮助学生学习，且美国教材提供一题多解，以扩展学生思路.德国教材中的范例大部分涉及背景信息，突出了知识的实用性；美国和中国教材也有部分范例涉及背景信息；英国教材中有相当部分的范例涉及三个及以上知识点，注重知识间的联系和综合使用，与其范例数量少的特点相结合，反映了英国教材范例“少而精”的特点.各国教材的许多范例除解答过程外还配有文字解说，用以帮助学生理解其中体现的思想，掌握重点步骤的推理.在与生活联系方面，美国教材中涉及大量的和现实生活相关的知识点、范例和习题，丰富有趣的实际例子会引起学生的好奇心. 在例题、习题的配置方面，中国教材主要考查学生的程序性技能，比如在巩固“弧度制”概念时，习题以弧度和角度间的换算为主.在德国和美国教材中，无论正文还是习题里都设置有多个探究性活动.法国的“实际操作”问题较多，比较注重学生的动手操作能力，以及运用数形结合和信息技术解决数学问题. 几何是数学中最早建立演绎公理化体系的分支，历次改革中几何课程都成为焦点.初步的比较结果如下. 在知识的深广度上，中国人教版教材内容精练、直观，更注重知识的应用性.美国教材内容最详细、涉及面宽，编写过程中更注重学生的迁移能力和自学能力.俄国教材具有较强的逻辑性与系统性，但相对比较简洁、抽象.德国教材中的几何内容趋向代数化，内容涉及面窄，但较有深度，注重培养学生的解析思维.法国教材中无论是平面几何还是立体几何，一概不用公理体系观点，对图形做实验在几何学习中处于中心位置. 在内容的编排上，人教版教材中每个知识点划分都很有逻辑性，以知识块出现，并且前后知识点环环相扣，便于学生对知识整体性的认识.美国教材条理清晰，每个知识点都是点到为止，给学生足够的空间去发挥.德国教材注重知识的前后联系、实际应用，详细讲解知识，但语言简练.法国教材以向量为主线，将几何内容连成整体，在思维严密性方面不如中国人教版教材，但注重沟通几何、代数及分析之间的联系，有利于拓展学生的思维空间.法国教材特别注重数学与其他学科（尤其是物理）的联系，体现了数学的广泛应用.俄国教材注重数学知识的科学背景（如几何中的天文）.日本教材以讲解知识内容为主，有较简单的应用.人教版教材注意与生活、科学相联系. 在例题、习题的配置上，人教版教材中编排了“观察”“思考”“探究”栏目，在很多章节后设置了阅读材料，以培养学生学习数学的兴趣.除例题、课内练习，还有习题和复习题，但总量相对较少.日本教材编排得比较简洁，以加粗或加框的形式标明知识点，再安排少量且简单的例题或习题，基本以“知识点—例题、习题”的形式呈现.俄罗斯教材在若干小节或练习后，会设置探究发现、信息技术应用或阅读思考等，用以扩充相关知识.美国教材的习题量大，每个知识点都有大量对应的例题与习题，题目难度由小到大并用“知识点拨—例、习题”的方式呈现，使学生在自主练习中体会知识的应用，并逐渐拓展应用范围，以达到知识的熟练掌握.德国教材也有大量对应于知识点的例题与习题，呈现方式与美国教材类似. 3.概率统计 我国虽然在新世纪高中数学课程中增加了较多的概率统计内容，但与先进国家相比，差距仍然较大.初步的比较结果如下： 我们将高中概率统计常见内容划分为28个专题，其中统计17个，概率11个，以调查各教材内容覆盖的情况.结果表明：英国SMP教材以覆盖25个专题名列榜首，美国UCSMP覆盖了23个专题，日本数研是18个专题，中国人教社和美国Prentice Hall都涵盖了17个，德国EDM与俄罗斯莫斯科教育最少，依次为13个和7个. 英国、日本、俄罗斯和我国的教材在内容编排上集中、紧凑，美国教材内容都安排得比较散，篇幅也大，但它们在沟通知识联系上也有独到之处.比如，UCSMP将散点图与函数模型和图象一起讲，实验概率放在有理数中讲，几何概率放在几何中求面积的章节中，更强调了研究确定性现象的数学知识与研究不确定现象的概率统计知识之间的区别与联系，强调了统计知识的应用性，也是一种可行的课程内容安排方式.从同一专题内容的深广度来看，美国UCSMP包含的知识点较多，知识结构图上知识点间的联系也较丰富. 在例题、习题的配置上，我国与俄罗斯、日本都比较传统，偏重抽象思考，缺少数据处理活动的经验积累，很少使用直观的图与表，虽有介绍信息技术的使用，但不像美国和德国教材那样频繁使用.从活动数量和类型看，我国人教版的学习任务总数和活动类型在所有教材中都是最少的，尤其是正文后的习题数量还不及正文中的任务数，显得很不合理；美国教材安排的习题和活动数目最多，都十分注重数学知识与实际的联系；法国教材提供了丰富的问题情境与彩色图片，特别注重从概率统计的发展史中获取教学资源，强调推理示范也注重探究和实践活动，在正文与习题中也比较重视给出推理示范，教材中的活动以及习题大多采用一个情境下多个小问题的形式出现，层层铺垫，将学生的思维逐渐引向纵深.除我国人教版教材外，其余教材都有较丰富的附录，如提供习题参考答案帮助学生自我检测、给出图形计算器的操作指导方便学生完成操作等. 4.微积分 微积分进入高中课程已经成为趋势，经济和教育较发达国家的高中课程中都有微积分.我国从1978年《全日制十年制中学数学教学大纲（试行草案）》至以后各版数学教学大纲和2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》都有微积分内容.但是三十多年来，围绕着高中微积分“为什么学”“学什么”“怎样学”这些重要问题，各方面有不同声音和尖锐分歧、不同的改革诉求以及在实施过程中的迷茫和反复.初步的比较结果如下. 在内容的深广度上，各国家的微积分内容在中学数学中的权重有很大差异.美国的微积分主要包含在大学先修课程（AP课程）中，内容较齐全，但不追求理论的严密性，注重应用；而面向大部分学生的课程中，极限和导数的概念只是点缀式的提及.法国、德国的微积分权重最大，特别是法国，微积分权重达到高中数学的50%.其次是日本，近30%.俄罗斯不到20%.我国的微积分权重最轻，不到10%，比其他国家少得多.各套教材的微积分部分所选择的内容都属于一元微积分，以导数、积分及其应用为主.我们将中学微积分的内容范围粗略地划成“极限和连续”“导数”和“积分”三个大知识块，六个小知识块，各国微积分教材中所覆盖到的知识块大同小异，似乎仅在“极限和连续”部分有少许差异，这说明各国对高中微积分内容范围的确定是一致的. 在内容的编排上，尽管各国高中微积分教材覆盖的知识块相同，但是具体内容的处理却有很大差异.例如，关于极限和连续的概念，虽然六个国家的教材正文中都没有使用严格的“ε-N”或“ε-δ”语言，降低了微积分课程的难度，但有的教材采取比较严格的做法：借助于逐步逼近的数值表或函数图象来呈现极限的过程，直观地阐述极限的概念，教材中存在较多与极限有关的知识点；有的教材对极限的内容尽量采用回避或含糊的策略，因此相应的知识点较少.其中，德国教材的强度比日本、法国和俄罗斯的教材弱，但比中国教材强得多.此外，从知识体系的逻辑顺序和严谨程度上来看，各国教材也是有差异的，其中日本教材给出了完整严谨的推导，而我国的教材则通过举例、归纳和验证. 四、几点结论 1.高中数学核心内容仍然以传统基础数学内容为主，但各国都注意用现代数学思想方法来处理.这是因为“个体认识结构的发展要重演人类认识过程”，只有这些内容才与高中生的思维发展水平相适应.而用现代数学观点进行处理，例如用变换的观点处理几何内容，用向量联系三角、复数和几何等，这样又可以使数学教材满足数学发展和社会发展的需要. 2.代数内容，以函数为核心是主流.具体函数的类型都包括指数函数、对数函数、三角函数，而多项式函数、分式函数等也是多国教材所包含的.与这些函数相对应的方程、不等式的内容，各国教材的重视程度不一.把算法、推理与证明、常用逻辑用语等单独设章，只有中国等个别国家的教材采用. 3.几何核心内容，各国在内容选择和处理方式上都存在较大差异.重视用代数的方法处理几何问题，是一个趋势.比较而言，中国立体几何教材的内容和处理方式比较“中性”，既用综合几何方法处理直线、平面的平行、垂直等位置关系，又有用向量解决立体几何问题（包括度量、位置关系）.各国把向量作为核心内容，具体内容基本一致，少数国家教材有向量的外积. 4.统计与概率得到各国的重视，但各国教材的核心内容选择存在较大差异.比较而言，中国教材包含的内容已经比较齐全，主要差异在素材选择方面，与现实紧密联系的材料尚待加强. 5.微积分部分，各国差异较大.关于极限，各国教材均有所涉及，大多是直观引入，但法国、俄罗斯和日本的教材有些理论阐述；在导数方面，各国教材中内容多少和理论严格程度均不一样，有的非常简略，但有的国家甚至有二阶导数及其应用；积分部分，有的国家的教材讲了积分性质、分部积分法和换元积分法等积分方法、不定积分等，有些国家教材还有微分方程概念，这些内容我国教材基本不涉及.
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