构造平行四边形解题，本文主要内容关键词为：，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
平行四边形是特殊的四边形，它具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等诸多性质。在证（解）一些几何问题时，若能根据图形的特征，添加恰当的辅助线构造平行四边形，并利用其性质，可将问题化难为易，化繁为简。下面分类举例说明。
一、构造平行四边形证两线段平行
例1 在△ABC中，AC＞AB，在它的两边AB、AC上分别截取BD=CE，F、G分别是BC和DE的中点。求证：FG和∠BAC的平分线AT平行。
分析 要证FG∥AT，可通过角平分线AT和中点与FG去构造平行四边形。
图1
证明 如图1，过B、D分别作AT的垂线，垂足分别为K、N，且分别交AC于M、Q，连接GN、FK，则由AT平分∠BAC，得DN=NO，BK=KM。
又由DG=EG，得
又由AT平分∠BAC，DN⊥AN，BK⊥AK，得BD=MQ。
因为BD=CE，所以MQ=CE，
则EQ=MC，NG=FK。
又NG∥FK，所以四边形GFKN是平行四边形。故FG和∠BAC的平分线AT平行。
二、构造平行四边形证两线段相等
例2 如图2，在△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，BE=CF，EF交BC于D，求证：DE=DF。
图2
证明 过E作EG∥AC，交BC于G，连接CE、GF，
则∠EGB=∠ACB。
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠ACB。
所以∠ABC=∠EGB，
所以EG=BE。
因为BE=CF，所以EG=CF。
又EG∥CF，
所以四边形EGFC是平行四边形，
故DE=DF。
三、构造平行四边形证两线段互相平分
例3 在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于G，CE与DF相交于H，求证EF与GH互相平分。
图3
分析 欲证EF与GH互相平分，只需证四边形EGFH为平行四边形。利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都是平行四边形，可得AF∥EC，BE∥DF，从而四边形GFHE为平行四边形。证明过程略。
四、构造平行四边形证两角相等
例4 如图4，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD延长线于点S、T，求证：∠ATF=∠BSF。
图4
分析 由于∠ATF和∠BSF不在同一个三角形中，又不可能在两个全等的三角形内，那么可通过作平行线使要证明的两个角有一定的关系。由于所给中点和线段相等的条件都在四边形ABCD上，因此可以把∠ATF和∠BSF移到四边形ABCD内。
证明 如图4，作平行四边形DEGA和平行四边形ECBH，连接GF、HF。
于是AG∥DE，AG=DE，
BH∥CE，BH=CE。
所以∠GEF=∠ATF，
∠HEF=∠BSF。
因为DE=EC，
所以AG∥BH，AG=BH，
故四边形AGBH是平行四边形。
因为F是AB的中点，所以H、F、G三点共线且F是GH的中点，所以EF是△EGH的中线。
又因为EG=AD=BC=EH，
所以EF是∠GEH的平分线。
即∠GEF=∠HEF。
所以∠ATF=∠BSF。
五、构造平行四边形证线段的倍分关系
例5 如图5，已知AB=AC，B是AD的中点，E是AB的中点，
求证：CD=2CE。
图5
证明 延长CE至F，使EF=CE，连结AF、BF。
因为E是AB的中点，所以四边形CAFB是平行四边形，
于是有AC∥BF，AC=BF，
所以∠CAB=∠FBA。
因为AB=AC=BD。
所以BD=BF，∠ABC=∠ACB，
所以∠DBC=∠ACB+∠BAC=∠FBC。
又BC=BC，
所以△DBC≌△FBC(SAS)。
所以CD=CF=2CE。
六、构造平行四边形证线段的和差关系
例6 如右上图6，在梯形BCED中，DE∥BC，延长BD、CE交于A，在BD上截取BF=AD，过F作FG∥BC交EC于G。求证：DE+FG=BC。
证明 作FM∥AC交BC于点M，
则四边形FMCG是平行四边形，
∠BFM=∠A。
因为DE∥BC，
所以∠ADE=∠B。
又BF=AD，
图6
所以△BFM≌△DAE。
故BM=DE。
在平行四边形FMCG中，FG=MC，
所以DE+FG=BM+MC=BC。
七、构造平行四边形证（解）面积问题
例7 等腰梯形的中位线长为m，且对角线互相垂直，求梯形的高和面积。
分析 梯形的面积是中位线与高的乘积，可考虑添加辅助线构造平行四边形，使梯形的两条对角线和“两底”放在同一个三角形内研究。
解 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF是中位线，AC⊥BD于O。过C作CG∥BD交AB的延长线于G，则四边形BGCD是平行四边形，于是
BG=CD，BD=OG。
图7
因为BD⊥AC于O，所以CG⊥AC，
即∠ACG=90°。
又因为四边形ABCD是等腰梯形，
所以AC=BD，
所以AC=CG，△ACG是等腰直角三角形。
过C作CH⊥AG于H，
则H是AG中点，
