对微积分中辩证法的认识，本文主要内容关键词为：微积分论文,辩证法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号 N031
文献标识码：A
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甲：长期以来，我俩对微积分中的辩证法都有浓厚的兴趣，你看是否借这次机会，专门地讨论一下这个问题？
乙：好的。我在自然辩证法教研室工作快20年了，教了好多遍“文科高等数学”，对微积分的辩证法确实有些心得。特别在最近，龚昇教授的论文《对微积分中主要矛盾的认识》(1999)[1]重新唤起了我在这方面的学术兴趣。
甲：我也认真阅读了这篇论文，并深有同感。实际上，早在1966年，龚昇先生在《对高等数学课程改革的一些尝试》[2]一文所透露的辩证法思想就对我触动很大。当时我是物理教师，还没有转移到科学哲学的专业队伍中来。我发现，微积分的辩证法对理解大学普通物理中的许多问题都有重要启示作用。此后，在1979年的江苏物理年会上，我发表了《试用恩格斯的微积分辩证法讲解普通物理》；在1982年的江苏哲学年会上我又提交论文，就物理问题分析了建构与求解微分方程过程的否定之否定（《否定之否定：它的表现、实质及形式化》）。
乙：现在就让我们先来讨论“微积分的主要矛盾”一文吧。
2
甲：不知你是怎样来把握龚昇先生的思路的？
乙：龚先生对微积分辩证法的把握，脉络非常清晰。若用我自己的语言来转述，这就是：微分与积分以及导函数与原函数之间的辩证矛盾规定了微积分这门学科的特殊性质。微分学的基本问题，是从给定函数（后来称作原函数）求其微商（称作导函数）或微分。积分学的（第一）基本问题则是一个反问题，就是从给定的微商（即导函数）或微分倒过来求原函数[3]。微积分基本定理（即牛顿与莱布尼兹公式）则集中体现微分与积分以及导函数与原函数之间的既对立又统一的关系。每一条微分学原理或公式在原则上都有一条与之相应的积分学原理或公式。因此，基本微分表与基本积分表一一对应。对微分运算而言，具有根本的重要性的是关于函数的和、积以及复合函数的微分公式。与之相应地，对积分运算而言，具有根本的重要性的则是将被积函数分拆成几个易求积分函数之和再求积分，分部积分法与换元法这样三种积分法。
甲：到目前为止，你所说的只是一元微积分。
乙：假若推广到涉及高维空间的多元微积分，道理还是一样。按照对立统一观点这条主线，微积分的主要内容仍然是微分、积分以及建立两者间联系的微积分基本定理。不过情况显得更为复杂些。多元的微分学将导数及微分推广成偏导数、方向导数与全微分；多元的积分学将积分推广成重积分、线积分和面积分等。尽管多元微积分的基本定理（对三维空间），需通过格林公式、斯托克斯公式和高斯公式这样三种形式来体现，不过万变不离其宗，目标仍旧是揭示微分与积分的对立统一关系。对于三维欧氏空间，这对矛盾的一方为外微分形式，另一方为线、面、体积分。概括地说，三个公式一致地表明，高次外微分形式dω在区域上的积分，等于低一次的外微分形式ω在区域的低一维空间的边界上的积分。在这里，外微分运算与积分运算起到了互为逆运算的作用。
甲：看来，你把微积分的基本关系网梳理得非常清楚。
乙：我倒是想问问你，你在学习和研究微积分辩证法时，得到第一个深刻印象的案例是什么？得到第一个深刻印象的经典名言是什么？
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甲：对我来说，印象最深的案例是关于弧的微分的“微分勾股定理”(ds)[2]=(dx)[2]+(dy)[2]。印象最深的经典名言是恩格斯的下面两句话：一是“高等数学的主要基础之一就是这样一个矛盾：在一定条件下直线与曲线应当是一回事”[4]（《反杜林论》）。二是“直线和曲线在微分中终于等同起来了”[5]（《自然辩证法》）。勾股定理是众所周知的常识，可是ds是弧而不是弦，弧是曲线而弦却是直线，曲直不能简单地等同也是无可非议的常识。问题在于，假若dx、dy与ds可以任意地、无限地缩小，那末整个微分三角形最终会收缩到一个点上，一切差别都将化为乌有。在这种情况下，弦与弧或者说直线与曲线当然等同起来了。正如列宁在《哲学笔记》中所断言：“辩证法是一种学说，它研究对立面怎样才能够同一，是怎样（怎样成为）同一的……”[6]。现在你看，在无限小的微分三角形中，弦与弧、直线与曲线这样的对立面不仅是统一起来了，而且真的“能够同一”，真的“成为同一”了（列宁认为，“对立面同一”的提法比“对立面统一”更准确）。可见，在微积分中包含有本来意义上的、不折不扣的辩证法。
微分三角形
乙：当弦与弧、直线与曲线统统收缩到一点时，曲直等同自然就容易理解了。可是，一般人仍感到困惑的是，当微分dx、dy本身在数量上消逝掉的时刻，哪能有什么数量关系，哪能有什么“微分的勾股定理”呢？
甲：这里在实质上已经触及到微积分奥秘之核心。列宁非常重视黑格尔关于“那在消失过程中的无限小的量……是存在和无之间的中间状态”[7]的思想，并把无限小看作“存在和非存在的中间物”[8]。列宁深刻地指出：“消逝着的环节＝存在和非存在。这是辩证法的极好的规定！！”，[9]“扬弃＝结束＝保持（同时保存）”[10]。对于我们的微分三角形来说，微分的“勾股弦”是处在消逝中的存在物，既有非存在的性质又保留存在的某些特性。正因为如此，马克思在《数学手稿》中才把微分看作“扬弃了的差值”[11]，恩格斯才把微分与微分之间的关系称作“没有任何数量的数量关系”[12]。
乙：可是，从常识观点看，这里边似乎包含着某种矛盾。
甲：诚然，连恩格斯也承认这一点。他说过：“两个已经消失的数的这种关系，它们消失的确定时刻，本身就是一种矛盾；但是这种矛盾并不能妨碍我们。”[13]换句话说，这里只有辩证矛盾，却没有违反逻辑的“逻辑矛盾”。
乙：话虽不错，不过仅仅抽象地断定微分之间包含着存在与非存在的辩证矛盾，也就只能停留在纯粹思辨层次上。如果不用严格的科学语言作出精确的定义，那末不仅科学家和数学家不会满意，而且逻辑学家也不会满意。实际上这在数学史上就曾经是一个伤脑筋的问题。牛顿与莱布尼兹虽然发明了微积分的新演算法，但是对于微分的确切语义（涉及到零与非零的关系）却从来没有真正说清楚过，反而陷入了自相矛盾之中，因此哲学家贝克莱才对微积分的合理基础提出了根本性的质疑，这就是著名的第二次数学危机。
甲：你对科学史是非常熟悉的。请你说说微积分的逻辑基础究竟是怎样建立起来的？
乙：在19世纪由法国数学家柯西(B.A.L.Cauchy,1789-1857)和德国数学家魏尔斯特拉斯(K.W.T.Weierstrass,1815-1897)所创建的极限理论为微积分学奠定了严密的逻辑基础。柯西在总结前人经验基础上，第一次给极限这样的具有根本重要意义的概念下了严格定义，这就是：“当一个变量相继地所取的数值趋近于某个确定的值，以致它们的差终于比任意给定的量还要小的时候，那个确定的值就叫做该变量的极限”。魏尔斯特拉斯则发明了所谓δ－ε语言，使柯西的极限理论进一步系统化并符号化，变得更有可操作性。现在，我们随便打开一本微积分教程的有关函数极限的章节就不难找到这一类的话：
当任意给定一个正数ε时，就有这样的数δ存在，使得
当│c-x│〈δ而x≠c时，│A-f(x)│〈ε[,。][14]
这套语言结构已经成为标准数学分析的范例。
甲：我想柯西和魏尔斯特拉斯的观念中暗含着可以无限地变动和趋近的“潜无穷”概念。形象地说，“潜在的无穷小”像泥鳅，两头滑，想抓也抓不住。然而，魏尔斯特拉斯所发明的“δ－ε语言”机制却是一种微妙的形式语义学构架，它像是一张能逮住两头滑的“潜无穷泥鳅”的鱼网。从辩证的观点看，δ－ε语言的奥妙在于，“ε是任意给定的”这一出发点本身就包含辩证矛盾。因为当我们一旦“给定一个正数”时，就把ε看作确定的常数（随之而来ε也是一个确定的数），另一方面当我们想到ε在将要给定而尚未给定之时却有任意性，这样ε又可以看作一个变数，而δ与ε之间的相互依赖性则可以理解成某种函数关系。由此看来，δ－ε语言的优点就在于借助于卓越的数学技巧，十分机智地把握了微积分学中包含着无限性、流动性、不确定性的过程的逻辑确定性。
乙：我猜想，它正好符合你的辩证逻辑理想。许多人都有一种错觉，以为辩证逻辑既然使用流动范畴就只追求流动性，与此同时必定会忽视确定性，似乎只有使用固定范畴的形式逻辑才去追求逻辑的确定性。而你却强调凡逻辑都要追求确定性，辩证逻辑则以追求流动性、不确定性之中的逻辑确定性为特色。是不是这样？
甲：正是这样，我认为，通过δ－ε语言所表明的微积分的辩证法既符合形式逻辑又符合辩证逻辑，而且整个微积分的辩证法都符合辩证逻辑同时又不违背形式逻辑。
乙：说起辩证逻辑，我想起了恩格斯有一个著名的比喻，这就是说，辩证逻辑相当于思维的高等数学，而形式逻辑则相当于思维的初等数学。对此你有何评论？
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甲：从特定的角度看，应当说它可算是相当确切的一种比喻，当然它只是个比喻而已。可是不少形式逻辑教员对这一比喻至今仍耿耿于怀，好像自己的专业连同自己因此“低人一等”似的，其实大可不必。让我讲个笑话让诸位消消气：大概是在1978年时，我的堂妹、堂弟（当时是少先队员？）来到上海我家住几天，问及“大妈妈”和“大哥哥”的职业，我母亲的回答是“小学教师”，我的回答则是“大学教师”。他俩居然吃惊地反问：“这怎么可能呢？！”我相信，他们在稍稍长大之后终究会明白过来，原来职业、专业只是分工不同，并无贵贱之分。
乙：你为什么说恩格斯的比喻是相当确切的呢？
甲：请回顾前面的讨论，关于微分与积分的对立统一关系，关于在无限小条件下的弦弧同一、曲直等同、关于δ－ε语言中流动性与确定性的统一等等，你就不难看出在高等数学（微积分）领域中，正如恩格斯所指出的：“固定的范畴在这里消解了，……在那里即使如此简单的关系……都采取了完全辩证的形式，迫使数学家既不自愿又不自觉地变成辩证的数学家”[15]。相比之下，在初等数学中，弦与弧、直线与曲线、常数与变数等等，通常是作为固定范畴来使用的。在这种特定的意义上说，把微积分比作辩证逻辑，而把初等数学比作形式逻辑是恰当的。然而，比喻毕竟不同于原型，恰当性只能是相对的。上述比喻绝不意味着初等数学与辩证法无缘。
乙：哦，我想起来了。恩格斯确实认真讨论过初等代数的各级运算中的矛盾转化。第一级运算：加法与减法，由于负数的引进，减法转化为代数加法，a-b=a+(-b)。第二级运算：乘法与除法，由于倒数的引进，除法转化为有关倒数的乘法a÷b=a×1／b。第三级运算：乘方与开方，由于分数指数的引进，开方转化为含分数指数的乘方
。还可以进一步引伸，由于对数的引进，乘除变加减，乘方开方变乘除等等。这就说明，即使初等代数仍然充满着“对立面的转化”和辩证法。
甲：接过你的话题，我可以作出另一个比喻。这就是把代数与算术的关系比作辩证逻辑与形式逻辑的关系。
乙：这怎么可能呢？
甲：在算术中＋－×÷四则运算属于固定范畴，加法不是减法，乘法不是除法如此等等。但是，在代数中正如你所表明的（看来你是恰当地转述了恩格斯的思想），＋－×÷已经变成流动范畴，不仅同一级运算内部正逆运算可以有条件地相互转化，而且不同级运算之间也可以有条件地相互转化。在上述特定意义上说，代数使用了流动范畴，因而相当于辩证逻辑，算术使用了固定范畴，因而相当于形式逻辑。
乙：这样的比喻应当说是可以允许的，没有什么不恰当。
甲：这一比喻，还可以进一步引向深处。在代数中使用了流动范畴，使减法有条件地变成加法，使除法有条件地变成了乘法，使乘除有条件地变成了加减，但决不意味着可以将加减乘除无条件地混同起来，可以在代数中随心所欲地犯算术错误（无论算术或代数老师都决不允许这样做！）。同样道理，辩证逻辑使用了流动范畴，使对立概念可以打破僵硬的固定不变的界限，有条件地相互转化，但决不意味着可以将对立概念无条件地混同起来，决不意味着在辩证逻辑中可以随心所欲地犯逻辑错误，可以肆无忌惮地进行诡辩（任何严肃的逻辑学者都决不允许这样做！）。总之我认为，辩证逻辑与形式逻辑相容，它超越形式逻辑并在一定意义上包容形式逻辑。正像代数与算术相容，它超越算术并在一定程度上包容算术一样。
乙：关于超越与包容的关系，我认为还可以加上一句话。这就是：微积分也是既超越又包容初等数学的，特别是它总在极限情况下包容初等数学。
5
甲：提起极限，我想如果从分析“和的极限”方法着手，也许会对理解微积分方法与初等数学方法的辩证联系有帮助，同时也将为微积分辩证法带来新认识。
乙：让我结合历史来做分析吧。现代微积分教程中众所周知的定积分，作为求曲边梯形的面积、求“和的极限”的方法，就其历史渊源讲，可以一直追溯到古希腊最早的数学物理学家，公元前3世纪的阿基米德。因为正是阿基米德首先用所谓“穷竭法”来求解曲边三角形的面积的，这种方法可以看作定积分的萌芽。其中每一局部的计算都可以还原为初等代数与几何。
试考察由x轴、y=x[2]、x=b所围成的曲边三角形。首先将区间[o,b]等分成n份，过等分点作y轴的平行线，它们把曲边三角形分割成n份。为便于计算，可用内外矩形的面积来替代曲边三角形的面积。这样容易求出内阶梯形的面积为：
b[3]
T[,n]=──[1[2]+2[2]+3[2]+…+(n-1)[2]]
n[3]
b[3] 1
1
=───(1-── + ────)
3
2n 2n[2]
外阶梯形的面积为
b[,3] b[3] 3
1
S[,n]=───(1[2]+2[2]+3[2]+…+n[2])=───(1+ ── + ───)
n(,3) 32n 2n[2]
显然，所考察的曲边三角形的面积S介于以上两个阶梯形之间，而阿基米德认为当n足够大，内、外阶梯形的面积与b[3]/3之差可以小到被忽略的程度，所以此曲边三角形的面积就等于b[3]/3，差异被耗尽了，这就是“穷竭”的含义。从原则上说，阿基米德的“足够大”与“足够小”概念所达到的只是近似，而不是完全“穷竭”，因为他尚缺乏真正的极限概念。话说回来，他的穷竭法已经包含了将曲边三角形的整体细分为众多的小狭条矩形，包含了过剩近似值与不足近似值的差异，包含了不断趋近的运动态势，因而包含了朴素直观的微积分辩证法思想的萌芽，这是难能可贵的。
甲：只须对你所画的曲边三角形图作微小的修改（即在x轴的ob之间加点a点），就可以再现一般微积分学教程“定积分作为和的极限”小节中的求曲边梯形面积的图解了。在一般情况下，定积分
f(x)dx给出界于ox轴、函数f(x)的图形与纵坐标x=a，x=b之间的面积（的代数和）。微分与积分是对立面的统一，本例中作为微分量的被积表达式f(x)dx所表示是无限小的矩形元素，而作为整体的定积分所表示的则是整个曲边梯形。在这里，恩格斯关于“曲直同一”的辩证思想又需进一步推广。随着区间分割的部分数n无限增加，区间宽度相应地无限减小，每个被分割的狭条曲边梯形无限地接近它所对应的狭条外接矩形以及狭条内接矩形面积。在极限情况下，从局部上看，每一小区间都收缩为一条没有宽度的线，狭条曲边梯形与狭条矩形成为同一，外接矩形与内接矩形成为同一。从整体上看，大的曲边梯形与内外阶梯形最终“能够同一”并且事实上“成为同一”。一句话，对立面同一的辩证法在“定积分作为小曲边梯形面积之和的极限”问题上又有新的特点或具体表现。
乙：这样看来，对于回转体的体积的积分公式，道理还是一样。若考虑的立体是由一条给定曲线y=f(x)绕ox轴回转得到的，它的横断面就是以y为半径的圆，所以S(x)=πy[2]，而回转体的体积则可以用公式
来表达[16]。微分与积分是对立面的统一，本例中，作为微分量的微积表达式πy[2]dx所表示的是无限小的圆柱元素（以面积等于πy[2]的圆为底，以dx为高），作为整体的定积分则表示整个回转体体积。随着无限细分的升级，从局部上看，每个圆柱元素无限变薄并无限接近于相应的曲面侧面的小圆台，从整体上看，最终由不同半径的圆柱砌成的“宝塔形结构”与“回转体”两者契合无间，这两个对立面不仅“能够同一”，而且真的“成为同一”如此等等。其它种种微积分公式所显示的辩证法，虽然各有特殊性，但只要掌握原则并善于举一反三，就无不按同理可释。
回转体的体积
甲：你讲得很有道理。
乙：不过我还是有一个疑问。这就是按照辩证法的一般原则来说，对立双方无不在一定条件相互转化。我就没有想通微分与积分之间是否也能转化？
甲：起先我没有想通这个问题，不过有一次我在写普通物理教案时，却受到一个静电学习题的启发。我注意到，在计算均匀带电圆环轴线上任一点p的电势的案例中，先得在圆环上任取一弧元dl的电荷元，此时弧元的电荷为微分量，而整个圆环的电荷则为积分量。然而，在计算均匀带电圆盘在轴线上任一点p的电势时（另一案例），就先得在圆盘上任取一圆环元素出来，那时我惊奇地发现，圆环电荷就不再是积分量，而是变成微分量了。同样道理，在重积分中（二重积分化作二次积分来做），第一次积分的结果（积分量），对于第二次积分来说只是写进被积表达式的微分量而已。总之，在数学中，无论＋与－，或是微分与积分，都是有条件地可转化的。
乙：说到这里，我还想起来，由亥维赛(O.Heaviside,1850-1925)所发明的运算微积方法，通过引进拉普拉斯变换，甚至使微分方程转化为代数方程，使微积分运算降格为乘除法。对立面的这种转化应当看作微积分辩证法的又一表现形式。
甲：你的这一想法，很有意思。
乙：说起微分方程，我还有一个问题。记得恩格斯在《反杜林论》中曾经提到，建立微分关系式并加以积分的过程，是否定之否定的辩证过程。许多人对此感到困惑不解。你对此有何看法？
甲：微分关系式（更确切地说为微分方程）是人类智慧的杰作之一，因而它属于人类精神产物的世界（波普的说法是“世界3”）。对此有必要作独立的讨论。微分关系式应当看作现实的物理世界（波普的“世界1”）量与量的关系的一种反映。玻尔茨曼认为，通常微分方程是以世界的原子论图象为背景的，各类偏微分方程的“惊人的类似性”植根于世界的统一性。[17]物理世界是运动、变化和发展着的，运动、变化、发展在数学上可以通过变量来描述。变量与变量的相互依赖关系，在宏观层次上往往可以通过代数关系式来描述，在微观层次上则可以通过微分关系式来描述。任意小过程变化的基元在数学上是用微分来刻画的；任意小过程的变化率则用微商（导数）来刻画，而微分方程所表达的正是任意小变化过程的内在规律性。有关微分关系式与否定之否定的联系，如能考虑它在科学中的实际应用，这应当是不能理解的。我认为，这里涉及的是代数关系——微分关系——回复到代数关系的否定之否定过程。其中建立微分方程就是用微分关系去替代、否定代数关系，而解微分方程就是通过积分用代数关系再次替代、否定微分关系。
乙：借用林赛、马根脑在《物理学的基础》一书中的说法，建立微分方程是从大规模过程转向小规模过程基元的分析，而求解微分方程则是从小规模过程重新回到大规模过程。如果转换成我们的语言，这就是否定之否定。
甲：以喷气火箭的反冲运动为例，作为代数关系的动量守恒原理已经不能直接使用，因为这里动量每时每刻都在变（变得不确定），但对无限小的变动过程，动量守恒原理依然有效。为此必须建立描述无限小过程中微分量之间关系的微分方程，这是第一步。喷气火箭运动的微分方程很简单，Mdυ=-udM（M为火箭质量，u为喷气速度，dM及dυ为火箭质量及速度在无限小时间dt内的变化量），它是对诸如大炮反冲时的代数关系m[,1]υ[,1]=-m[,2]υ[,2]的一次辩证否定。之所以称“否定”是因为在微分形式中具体的数量消失为无，变为“非存在”，但这是“扬弃”，否定之中有保留，这里动量守恒的实质性关系，仍以微分形式保留下来。换句话说，微分的动量守恒原理依然成立。
乙：由此可见，恩格斯称微分关系式为“没有任何数量的数量关系”是多么微妙而深刻！
甲：第二步是求解微分方程，是借助于积分从无限小过程量与量之间的微分关系回复到实在变量之间的代数关系，这是第二次否定。通过积分解出
M
V[,s]=uln───。
M[,s]
乙：这个结果我很熟悉。它表明火箭的末速度与喷气速度成正比，与质量比的自然对数成正比，这就是火箭运行的具体规律。
甲：于是，经过否定之否定，又重新得到了代数关系。然而，前后两个代数关系是大不一样的：前一个只是动量守恒的一般原理（Σm[,i]υ[,i]＝常量），后一个是火箭运行的具体规律，那才是问题的解。
乙：你在逻辑方面看的文献比我多。最后我想问问，有关微积分的逻辑基础，有什么新的说法？
甲：有的。最吸引人的是由巴西学者达科斯塔(N.C.A.da Costa)所提倡的所谓“次协调数学”，[18]它是要把数学（特别是微积分）建立在次协调逻辑(paraconsistent Logic)[19]与次协调集合论基础上。这种新逻辑的特点就在于能允许有意义的矛盾在形式系统中合法地存在，能在矛盾中求得协调。这种新数学的特色在于，能给出基本的微分与积分运算的次协调形式系统中的两条基本原理：名为德·霍斯匹特(de L'Hospital)第一原理与第二原理。第一原理说，若两个有限数量之间只差一个无穷小量，则两者是相等的。第二原理说，一条平滑曲线可以被分解成无限多条无穷小直线。
乙：听起来这很有点辩证的意味，很值得进一步深入探讨。
收稿日期：2002-03-03
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