Copula函数在风险管理中的应用研究——以上证A股与B股的相关结构分析为例，本文主要内容关键词为：为例论文,上证论文,风险管理论文,函数论文,结构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
有关Copula函数的研究最早出现于上世纪50年代，但只是在近几年，Copula函数在风险管理中的应用才得到了人们的重视。Boyer(2000)认为，在建立风险管理模型时仅仅考虑变量间的相关度(degree of dependence)是不够的，还必须考虑到变量间的相关结构(dependence structrue)。[1]Li(2000)提出了资产相关性与时间跨度同向增大的问题，并建议采用Copula函数来解决这一问题。[2]Nelson(1999)、Bouye(2000)等人对Copula函数在风险管理中的应用问题进行了较深入的探讨，并对不同Copula函数的应用特点进行了比较。[3-4]目前Copula函数已被应用于许多风险管理问题，如Malevergne(2002)利用Copula函数研究了不同金融资产市场中资产的相关性问题；[5]Arnaud等人(2002)对不同市场环境中资产的相关性进行了分析，认为当市场处于下跌期时，资产的相关性要远大于市场上升期；[6]Hamilton(2001）将Copula模型应用于信用风险管理，以克服信用风险管理中损失的不对称分布问题：[7]Hu(2003)应用Copula函数研究了世界主要股票市场间的相关结构，发现各股票市场在经济衰退时表现出更高的相关性。[8]应该说，作为一种研究资产组合风险问题的工具，Copula函数已显示出良好的应用前景。
鉴于国内相关文献较多集中于Copula函数的理论与方法引介，本文着重探讨几种常用Coupla函数在模型选择及参数估计方面的具体应用问题；并采用Copula函数分析了上海证券市场A股指数与B股指数日收益的相关结构，结果表明：与国外一般研究结果不同，上海证券市场A股与B股指数的日收益在市场上涨期与下跌期均表现出很高的尾部相关性。
二、资产的相关结构与Copula函数的选择
Copula函数是一个多变量分布函数，其边际分布
为[0,1]区间上的均匀分布。一个n维Copula函数可表示为：
因此，对于连续多变量分布函数，由于变量间的相关结构可以通过Copula函数表示出来，故可以将边际分布与联合分布分开来考虑，并可灵活地选择边际分布的形式。Copula函数的另一个重要特点是：对函数变量作非线性单调变换，由Copula函数所确定的一致性和相关性测度不会改变，因而Copula函数非常便于处理随机变量间的非线性相关问题。正是基于上述特点，我们可以利用Copula函数方便地处理具有厚尾、非对称相关、时变等特性的多变量风险管理问题。
（一）资产的相关结构与尾部相关性
金融资产具有厚尾、时变等特性。为了更加全面地反映资产间的相关信息，在建立分析模型时仅考虑变量间的相关度是不够的；对于相同的线性相关系数和边际分布，两种不同的相关结构将导致不同的结果，且两者间的差距甚至可能相当大。因此，在建立模型时必须选择正确的Copula模型，以更加准确地反映资产间的相关结构尤其是资产收益的尾部相关特征(Embrechts,2003)。
尾部相关性(tail dependence)可以较好地描述极端事件出现时资产间的相互作用。以往实证研究表明：金融资产收益通常表现出尾部相关性，而尾部相关性又往往并不对称。通常情况下，尾部相关性在市场大幅下跌期较强，而在市场上涨期较弱(Longin,2001;Ang，2002)。[10-11]对于分布函数分别为F、G的随机连续变量X、Y，分布曲线的上尾相关系数
与下尾相关系数
可分别表示为：
鉴于资产的负收益侧具有较高的相关性，因此在应用Gumbel Copula时一般需要先对样本数据取相反数，或者使用Gumbel Copula的生存函数。
（二）Copula函数的选择
在选择Copula函数类型时，我们会很自然地考虑到样本数据所显示出的尾部相关特征，并据此选择与之相适应的Copula函数。在风险管理中，资产负收益侧往往表现出更高的相关性，因此Gumbel Copula经常被采用。但除了资产的相关结构外，选择模型时还必须考虑到模型的可操作性，正如Joe(1997)所指出：“在使用Copula函数时，所建立的模型应当易于操作和理解，避免出现参数意义不明的现象。”[12]事实上，相对于Gumbel Copula,t-Copula具有更大的灵活性，有时可能是更好的选择(Embrechts,2003)。[9]对于一组样本数据，Gumbel Copula函数的尾部相关性仅由θ确定；而t-Copula的尾部相关性则随相关系数
的增大而提高，随自由度v的增大而降低，即t-Copula可以通过调节与v两个参数与样本数据更好地拟合。此外，对于多元资产组合问题，包括Gumbel在内的Archimedean Copula并不能自由地调整秩相关系数矩阵；而t-Copula无此约束。
目前使用较多的Copula函数模型是Elliptical Copula和Archimedean Copula等。Gaussian-Copula（可看作是t-Copula在v无穷大时的一个特例）简便实用，是最早应用于C风险管理中的Copula函数；著名的CreditMetrics风险模型即采用了Gaussian-Copula(Li,2000)。[2]对于大多数金融资产（如货币、股票），使用Gaussian-Copula并不会产生过大偏差，但在某些情况下（如对于金属市场），Gaussian-Copula并不适用；这时采用t-Copula是一个较好的选择(Mashal,2003)。[13]
对于不同的风险管理者，选择模型时所采取的标准也会有所不同，如保险公司的管理者可能会倾向于选择Cumbal-Copula等较为保守的模型。因为与普通的金融资产组合价值相比，保险产品的定价对市场下跌的敏感度要高得多。因此，管理者在选择模型时不仅要考虑模型的拟合度，还需要考虑资产收益（损失）的形成特点。此外，样本周期的选取、环境的变化等也是选择模型时必须考虑的重要因素。
三、模型的参数估计与拟合检验
（一）模型参数的估计
Copula函数的参数估计方法主要可分为两种：(1)严格最大似然法(EML)。采用这种方法时，将同时估计边际分布与Copula函数中的参数。(2)边际分布推导法(IFM)。这是一种更为常用的估计方法，它将估计过程分为两步，即先估计出边际分布，然后再估计Copula函数中的参数。对于具体参数的估计，一般可采用参数法(parametric approach)或非参数法(nonparametric approach)两种；参数法中较常用的是最大似然法(MLE)，而非参数法中最常用的是Genest and Rivest法。
Genest and Rivest法是一种简便实用的方法，对于一个Copula函数C(u,v)，它与Kendall秩相关系数τ存在以下关系：
上式对于一般的Copula函数很难直接求解，但对于Archimedean Copula，由于其生成函数ψ(x)是θ的函数，而ψ(x)与Kendall秩相关系数τ存在下列关系：
通过求解上式可得到θ的估计值。对于Gumbel copula，可得：θ=1/(1-τ)。
EML的不足之处在于：同时估计边际分布与Copula各自的参数，两者间会相互影响，而且在计算上也很复杂。相对而言，IFM法易于理解且操作方便，应用较广。
对于参数法与非参数法，一般认为，当边际分布尾部较厚时，由于不存在边际分布的假定误差，使用非参数法较为理想；而当样本量较大时，使用MLE更为准确。
（二）模型的拟合检验
拟合检验中最为常用的是
检验及柯哥莫洛夫检验（K-S检验），但经验表明，这两种检验方法（尤其是检验）所得P值往往过小，而且对于分布曲线中部的拟合度更为敏感(Gouri' eroux,2000)。[14]为了更好地评价两个样本（尤其是分布曲线尾部）的拟合程度，Malevergne(2002)建议采用Anderson-Darling(A-D)检验指标
、K-S检验均值统计量
及A-D检验均值统计量
。[5]对于两组样本数据X、Y，A-D检验的统计量可表示为：
可看作是对K-S统计量的修正，它对分布曲线的尾部赋予了更大的权重。相对而言，K-S检验均值统计量及A-D检验均值统计量更强调了样本的整体拟合情况，可分别表示为：
需要说明的是，与K-S检验不同，不同分布的A-D检验临界值是不同的。目前该检验仅应用于正态分布等少数几种分布。与也并非统计学中的常用统计量，本文采用这三个指标并不用于假设分布的检验，而仅用于比较分布曲线间的拟合程度，并作为对K-S检验的补充。以上三个统计量均反映了两个分布曲线间的距离。显然，上述指标值越小，则两条曲线的拟合度越好。
表1 各Copula模型的参数估计值
四、应用实例与分析
（一）样本的选取
我们假设所研究的资产组合包括两种资产，两种资产的日收益分别为上海证券市场A股指数和B股指数的日收益，两种资产在组合中具有相同的权重。两个样本的收益序列分别用上证A股和上证B股表示。资产价格
定义为上证A股和上证B股指数的收盘价，第t日的收益
。样本选取的时间段为：1999年1月4日至2003年12月31日，样本容量n=1191（数据来源：www.stockstar.com）。此外，考虑到金融市场收益数据一般不符合独立同分布的要求，因此需要使用GARCH模型或EWMA法对数据进行处理（本文采用了Riskmetrics提出的EWMA法）。
（二）参数估计
下面我们分别采用几种不同的估算方法对模型参数进行估算，并对不同估算方法的结果进行比较分析。
1.为比较各种Copula函数模型对结果的影响，我们首先采用了典范最大似然估计法(CML)。CML方法的特点是：并不确定边际分布的具体形式，而直接采用各变量的经验分布函数，以减少因边际分布假设所带来的误差。各Copula函数的参数值估计见表1（具体步骤可参阅Nelson,1999）。
2.为比较边际分布对结果的影响，我们以t-copula为例，并假设边际分布采用t分布。
样本数据经EWMA处理后，在5%显著性水平上，上证A股与B股指数收益可认为服从t分布。参数估计值见表2。
表2 边际分布参数估计（采用t分布）
均值μ(%)
自由度V K-S检验p值
上证A股
-0.013
5
0.158
上证B股 0.027
5
0.071
采用MLE法，可得t-Copula的自由度v=6，相关系数
=0.7154。
3.最后，我们采用Genest and Rivest对Gumbel Copula模型进行了估算，结果为：τ=0.531，θ=2.132。可以看到，本文中使用参数法与非参数法的结果差异较大。
（三）数据模拟与检验
在确定了各Copula函数后，即可利用蒙特卡洛法模拟两个指数的日收益及资产组合的日收益（每组50000次，边际分布仍采用经验分布以便于比较），并计算每组收益的VaR（见表3）。表3中还列出了采用著名的Riskmetrics模型（Riskmetrics模型假设资产收益服从条件正态分布）计算出的资产组合日收益VaR，以便于比较。最后，我们对各组模拟数据进行了拟合检验（见表4）。根据表3和表4中的数据，可以发现以下几个问题。
表3 不同Copula函数模拟数据的日收益VaR的比较 （单位：%）
说明：表中Gumbel-M1(M2)为样本数据采用MLE估计结果；Gumbel-G1(G2)为采用非参数法估计结果；Gumbel-M1(G1)为直接采用样本估计结果；Gumbel-M2(G2)为采用样本数据相反数进行估计结果；
为采用CML时t-Copula的估计值；
为边际分布采用t分布时的估计值。表4同。
1.从表3可以看出，使用Riskmetries模型所得到的VaR明显较历史观测值低，即正态假设低估了资产损失值。各Copula模型所得数据明显高于Riskmetrics模型，所得数据也更趋于安全。Gumbel-G2由于具有较高的尾部相关性，所得到的VaR最高；而Gaussian-Copula、Gumbel-G1和Gumbel-M2相对较低。在97.5%以下的百分位，各组模拟数据与历史数据非常接近甚至偏低。Gumbal-G2由于具有较高的尾部相关性，所得数据相对较为安全。
2.当边际分布假设采用t分布时，由t-Copula函数所得模拟数据与采用CLM法之间有相当的差距，所估计的Copula自由度及尾部相关系数均不同，即边际分布假设的影响将直接导致相关结构分析误差（即使边际分布假设通过了K-S检验）。对于相同的样本数据，使用不同的估算方法可能产生较大的差异，如本文中对Gumbel Copula函数的估算。
3.另一个值得注意的问题是，模拟数据的拟合检验中，虽然K-S检验等四个检验指标在一定程度上反映了两种数据的拟合程度，但仅通过上述检验指标以辨别拟合度的优劣是欠妥当的。如对于Gumbel Copula,采用MLE法所得模拟数据明显较历史观测值偏低；但仅从检验指标中是无法得到体现的，因此在分析模型的拟合情况时，还须将上述指标与历史观测值结合起来考虑。
本文中各组数据的K-S检验P值都相当高，结合其余三项指标，总体而言，t-Coupla（采用CML时）的拟合程度最好，即t-Coupla能够较好地反映两组数据间的相关结构。t-Copula的自由度估算值仅为5，表明上海证券市场A股与B股之间可能具有较高的尾部相关性。利用式(5)可算得尾部相关系数为0.381，即当A股指数收益（损失）出现极大值时，B股指数收益同样出现收益（损失）极大值的概率为0.381。值得注意的是，2001年2月B股市场曾独立于A股市场出现大幅度政策性上涨，否则两者间的尾部相关性将更高。
（四）上证A股与B股市场间的相关结构分析
借鉴Arnaud等人(2002)的方法，我们依据上证综指季度收益的正负将市场分为上升期与下跌期。据此可将上证A股与B股指数的历史收益数据分为上升期与下跌期两组；在此基础上我们采用t-Copula模型估算了两组数据的相关结构，结果为：市场上升期，自由度
；尾部相关系数分别为0.415和0.355。
表4 不同Copula函数的拟合检验
国外研究资料显示：资产收益的尾部相关性呈现出不对称性，在市场下跌阶段具有较高的尾部相关性；而在市场上升阶段，尾部相关性并不明显。但从上述结果可以看出，与国外市场研究结果不同，上证A股与B股指数在上升期与下跌期的尾部相关性均较高（上升期的尾部相关性甚至略高），这表明上海证券市场A股与B股之间同时出现大幅上涨或下跌的概率均较大。
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