新课程理念下中美两国“三角函数”教材的比较研究，本文主要内容关键词为：函数论文,中美两国论文,教材论文,新课程理念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
三角函数是中学数学教学的重要内容之一，它是学生进一步学习解析几何、向量、复数等内容的基础，也是工程测量、电磁学等领域必不可少的知识工具.
学习三角函数的所需基础主要是几何中的相似形和单位圆，主要用代数方法来研究它.因此，三角函数的学习，能使学生更好地将代数与几何联系起来，促进学生数形结合思想的形成，对学生数学应用意识的培养也有着不可替代的作用，笔者选取了由美国Holt，Rinehart and Winston公司出版的Algebra教材与上海教育出版社出版的《高级中学课本·数学（试用本）》（以下简称“上教版教材”），就两本教材中三角函数部分的知识结构、知识的呈现过程与方式、数学文化的传承、数学与现代信息技术的整合、例题与习题等方面逐一进行比较，选取这两套教材进行比较的原因如下：两套教材均具有一定的地域代表性.虽然美国至今还没有统一的国家数学课程标准，不同的州制定各自的指导准则，但Algebra教材却凭借着其广泛的适用性以及实用性被纽约、奥兰多等经济发达地区选作高中数学教材，上教版教材也是在上海这个中国的经济中心被使用.两套教材均能反映各自国家课改的最前潮.Algebra教材几经修订，其2007年的最新版本较能体现NCTM（全美数学教师协会）在《Prin-ciples and Standards for School Mathematics》（《学校数学的原则和标准》）中所倡导的数学教育理念与教育思想，上教版二期课改教材的编写，依据的是《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》，该教材是2006年开始在上海全面使用的，之后又进行了一些修订，这也是我国高中数学教科书编写的一次有益尝试.可以说，这两套教材都是中美两国数学教育界在新课程背景下的产物，并且都有一定的地域代表性，这就决定了它们的可比性较高.
二、教材的具体比较
（一）知识结构
上教版教材的“三角函数”内容集中在教材的第五章（三角比）以及第六章（三角函数），而Alge-bra教材的“三角函数”内容主要分布在第四章（The Trigonometric Functions）和第五章（Analytic Trigonometry）.虽然相关章节在名称的表达上略有差异，不过通过对比仍可发现，共同或比较接近的内容包括：弧度制和弧长的测量；三角函数的定义；三角函数的性质和图象；三角恒等变换（包括诱导公式）；三角函数的模型及其简单应用；基本三角恒等式；二倍角及半角的余弦、正弦和正切；反三角函数；解三角方程.
上教版教材对三角函数的图象和性质做了重点介绍，而美国Algebra教材在这方面就稍显逊色，然而它以大提琴家、钢琴师演奏的音乐等实际例子引出了三角函数的叠加.这反映了两国教材的编写者对本国学生知识、技能、能力要求的侧重点不同——我国教材强调知识的学术形态，力图帮助学生打下坚实的学科基础；美国教材注重知识的实际应用，重视帮助学生构建宽广的学科视野，对于三角函数的周期性、单调性、奇偶性、有界性等性质，Algebra教材往往是一笔带过，甚至一些三角恒等式仅以练习题的形式出现，对这些性质的专项训练题几乎没有；上教版教材对这些知识的要求比较高，除了课本中对这些性质所作的系统介绍外，课后练习以及与教材配套的练习册上还有不少针对这些知识点的习题，这主要是由于我国现行的评价体制，学生为了在考试中取得好成绩，必须进行大量习题的训练；而美国的学生和教师就不必考虑这些，处于相对“愉快的学习”之中.
上教版教材除了仅有的两个探究和实践环节外，很少跳出纯数学的范畴去讨论三角函数与其他学科以及生活实际的联系：相比之下，Algebra教材则比较注重三角函数知识与物理、化学、生物、经济、交通、环境、医学等学科的联系，通过月亮圆缺变化的周期性、钟表的时针与分针的转动、交流电的电流变化、海水的潮汐现象、人的情绪与体力变化规律、夏天居民用电情况、包含三角函数知识的著名摄影作品、太阳黑子的爆发、游乐场的摩天轮、飞机降落、长笛和大提琴的音节、汽车比赛、停泊海港的船的波动等与现代社会生活密切相关的事例，使学生充分感受到数学与生活是息息相关的，这样的安排融科学性、知识性、趣味性于一体，学生沉浸在丰富多彩的数学应用世界里，自然是学得有趣，记忆深刻，无形间学生的数学应用能力与应用意识得到了培养.
（二）知识的呈现过程与方式
尽管两本教材的内容相似，但其给人的感觉却不尽相同，这很大程度上是由于两本教材向学生呈现数学知识的过程与表述方式上存在差异.
Algebra教材向学生传达知识的过程是：Who/Why式提问——具体的问题情境——新知识——例题——思考与讨论——练习与应用；而上教版教材基本的学习过程是：具体的问题情境——新知识——例题——课后练习（探究与实践）.通过对比可以发现，Algebra教材比上教版教材多了Who/Why式提问以及应用这两个环节，这里的Who/Why式提问指的是每节的开头部会出现的“Who use this?”（哪些人在使用？）与“Why learn this?”（为什么学习？）.这使得学生在开始学习之前就能对学习知识的原因以及知识的应用范围有大致的了解，拉近了数学与学生之间的距离，同时激发起学生浓厚的学习兴趣，促进良好学习动机的生成，至于“练习与应用”，与一般的课后练习相比则是强调了应用性，如Physics vibrations（物理学上的震动），Blood pressure（血压），Satellite location（卫星位置），Height of a Ferris wheel（摩天转轮的高度），Water wave（水波），Electrical current（电流），Predator-prey model（捕食者与被捕食者的追逐模型）等内容，均取材于现实中的实际问题，这样的处理不仅使学生充分认识到“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”，而且反过来又能用其解决实际生活中存在的问题，使数学知识具体化，易于学生理解，无形中增强了学生从生活中学习数学的能力与兴趣.
另外，两套教材在知识的呈现方式上也有较大差异.Algebra教材中使用图表的数量达到上教版教材的三倍之多，图表是教材的直观组成部分，它既是对教材形象化的解释和直观化的概括，又是对教材内容的补充和延伸.现代脑科学的研究表明：“人的左脑是通过语言、概念进行逻辑思维，而人的右脑是通过感觉、表象进行直接思维.”通过图表，能使理性问题感性化、抽象问题具体化、深奥问题通俗化，一定数量的图表还能给学生的数学学习带来调节作用，摆脱数学学习的枯燥感，提高学生的学习兴趣，激发学生的学习动机，促进形象记忆.
（三）数学文化的传承
注重数学文化在教材中的渗透，这是Algebra教材的显著特色之一，其教材编写者总是不失时机、尽可能地在三角函数内容中加上一些相关的摄影、绘画作品以及科学、历史知识，以此来体现数学与现实世界、数学与其他学科之间的密切联系，从而说明数学的科学价值和文化价值，尽管上海二期课改的课程标准也强调了要“体现数学的文化价值”，但由于升学考试的影响以及课堂教学时间的限制，上教版教材的编写依旧以知识的掌握为主要目标，在整个三角函数部分，除了弧度制思想提出者的介绍、数学家欧拉的简介以及“离离原上草，一岁一枯荣”这一反映周期现象的诗句外，很难再找出与数学文化有关的内容，下面是Algebra教材中三角函数部分所涉及的数学文化内容：
例如在有关三角函数周期性部分，介绍了摄影师Eadweard J.Muybridge发明的投影动物运动的旋转盘；在角的度量部分介绍了美国艺术家Penny Cerling的作品《黑洞与大爆炸》、日本横滨宇宙乐园中的摩天轮、角度制的起源；在正弦函数部分介绍了荷兰数学家Andreas Cellarius著作《宇宙和谐》中的月相图、多普勒效应、伽利略与单摆的等时性；在有关三角恒等式部分介绍了倒数函数的历史；在反三角函数部分介绍了偏光镜；在和角三角函数部分介绍了著名旅美华裔大提琴家马友友和调音问题.
（四）数学与现代信息技术的整合
《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》虽然强调要“加强现代信息技术的应用，促进信息技术与数学课程的整合”，并首次明确提出了基于现代信息技术的数字化数学活动（简称DIMA平台）的概念，但对于三角函数的教学内容，上教版教材并未提及与信息技术相整合的指导意见，也缺乏现代信息技术辅助教学的案例；Algebra教材在不少章节中都设置了New Technology（新技术）这一板块，从具体的操作层面上指导教师和学生在课内或课后利用图形计算机（器）等现代信息技术进行三角函数知识的探究与验证，这使得数学与现代信息技术得到了有机整合，对学生探究能力的培养作用巨大.
（五）例题与习题
Algebra教材每节设置的例题不多，很少会多于五道，题目的难度也不大，类型以计算与证明为主.在例题的讲解中，穿插介绍一些知识点，如在教材的5.5The Graphs of Sine and Cosine（正弦函数与余弦函数的图象）中，通过画两个函数的图象，介绍了振幅、相位移、频率等概念，接着又介绍了一组诱导公式：
为了及时巩固介绍的新概念与新公式，书本紧接着配置了下面的题：找出与下面每一个函数有相同图象的函数，并且证明这些是正确的：
对于例题与习题的设置，Algebra教材让人感到其知识点分散、零乱，与上教版教材中知识介绍的系统性以及概括性反差很大，中国的教师和学生可能会对其感到不太适应；上教版教材的例题与习题数量设置得较多，难度也比Algebra教材要大得多.上教版教材设置的题目类型偏重于演绎推理、运算、证明，探究型的题目比较少，仅有的几道探究题难度又比较大，让学生有“丈二和尚摸不着头脑”的感觉.如果把中美两国教材的内容看作一篇文章的话，那么中国的教材像是一篇构思严谨、环环相扣、论证周密的议论文，而美国的教材更像是一篇洋洋洒洒、轻盈明快、形散而神不散的散文.
三、启示与思考
通过Algebra教材与上教版教材关于以上各点的比较，不难得到一些启示.
（一）数学教材应将科学性、严谨性、知识性与趣味性相结合
上教版教材应适当汲取Algebra教材中对知识趣味性高度重视的优点，加大增设数学文化与数学史内容的力度.当然，在让学生感受数学趣味性的同时，我们也需坚持“勤勉拼搏”的优良传统，即让学生体会一定的数学学习的艰苦性，并让学生认识到，在学习过程中常常会遇到严峻的挑战，他们应该具有足够的信心与勇气去克服困难，经过自己的拼搏，就更能体会数学的美学价值，获得成功的喜悦感受.
（二）数学教材要注重数学内部与外部之间的相互联系
数学教材既要保证数学知识体系间的完整性、系统性、逻辑性，也要注重与其他学科以及社会生活各方面的密切联系，使学生体会到数学与自然界以及人类社会的关联，增进学生对数学的理解和应用数学的信心.学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神，获得适应未来社会生活和进一步发展所需要的重要数学事实、基本的思想方法和必要的技能.Algebra教材在数学知识与外部联系方面的设置值得我们借鉴.
（三）数学教材的逻辑体系要归纳、演绎相配合
上教版教材在编写上主要以知识的系统性和学生的认知规律为基础，先学习知识，再结合实际生活解决一些问题，教材编写以演绎的逻辑体系为主，学生使用的是下位学习方式；而Algebra教材则以实际问题的求解为中心，通过问题的求解来获得知识，再反过来解决更多的实际问题，教材编写以归纳的逻辑体系为主，学生使用的是上位学习方式.上教版教材的体系应在保证数学知识严密性的基础上适当地融入归纳方法，避免过多的灌输.
（四）数学教材应有效整合新技术
总体来说，上教版教材正渐渐重视数学与新技术的整合，例如，在函数这一章中，设置了“借助计算器观察函数递增的快慢”一节内容，《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》也明确指出要“以现代信息技术的适当介入为手段处理课程内容”.然而，目前许多一线教师对新技术的掌握力度不够，无法较好地实施数学教学与新技术的有效整合，为此，相关教育部门要组织教师进行必要的技术培训，或者为教师提供技术支持，否则，教材中的一些好想法只能是空中楼阁.
四、结束语
对待国外教材中所体现的数学教育思想，我们应当采取“洋为中用”的态度，在继承和发扬我国数学教材编写的优良传统的同时，也应该予以适当更新，笔者相信，加强我国与其他各国之间相互的学习与交流，对于提高我国数学教材的编写水平以及继续推进教育改革都具有非常重要的意义.