武汉市光谷第二高级中学 湖北 武汉 430000
均值不等式在高中是很重要的基础知识，在很多的题目中作为必备的使用工具，比如很多时候求函数的最值。它自身也蕴含着很多的处理变形技巧，真正地掌握均值不等式能够训练学生的数学分析与解题能力。有的题目稍不注意的话处处是“陷阱”，但是只要按照解题步骤慢慢分析一般是错不了的。
定理1：如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ba，当且仅当a=b取等号。
定理2：如果a、b∈R，a＞0，b＞0，那么a+b≥2 ab，当且仅当a=b取等号。
注：定此式子可以用几何知识来阐明。如图所示，AB=a，BC=b，以线段AC为直径做圆，以线段AB和BC的公共点C作此直径的垂线交圆于两点D、E，可得此时的弦长DE=2 ab，而直径AC=a+b。根据圆的性质，直径是最长的弦，得证a+b≥2 ab（当且仅当点B与点O重合时取等号，此时a=b）。
定理2是在定理1的基础上进行推广的，但是使用的时候一定要注意先决条件，否则用的时候失之毫厘，最后的结果肯定是差之千里。在我们运用均值不等式解题时，定理2的运用次数远远多于定理1。
推论1：如果x、y∈R，x＞0，y＞0，当xy=P（P＞0）时，则x+y有最小值为2 P，当且仅当x=y时取等号。
推论2：如果x、y∈R，x＞0，y＞0，当x+y=S（S＞0）时，则xy有最大值为 ，当且仅当x=y时取等号。
注意在均值不等式的问题中，使用规则“三部曲”为“一正二定三相等”：
（1）两个实数是否为正数。
（2）它们的和或者它们的积是否为定值。
（3）等号能否成立。
此三步中任何一步都不能忽视，根据不同的定值从而选择不同的推论。
定理3：若a、b∈R，a＞0，b＞0，都是正实数， 为a与b的调和平均数， ab为a与b的几何平均数，为a与b的代数平均数，为a与b的平方平均数，则有下面的式子成立：
注：a与b的调和平均数、几何平均数、代数平均数、平方平均数分别记为{1}、{2}、{3}、{4}，则{1}≤{2}≤{3}≤{4}，可简单记为“调和几何，代数平方”。证明一般采取循环证明的方法：{1}≤{2}，{2}≤{3}，{3}≤{4}。用作差法即可证明此式子。
推论3：若ai（i=1，2，…，n）均为正实数，则有下面的不等式成立：
在解决均值不等式中常常用到以下几种处理方法或者变形技巧：
（1）巧用定值。均值不等式中常用x =b(b＞0)、x+(1-x)=1(0＜x＜1)。
（2）巧用“1”。
下面用高中数学中一些典型的例题来看看在解决均值不等式问题方面需要注意的地方：
例1：若x为非零实数，求y=x+ 的取值范围。
方法解析：不难看出，当x>0时，x+ ≥2 x ≥６，当且仅当x=3取等号。下面的问题是如何考虑x<0。注意到x与 的符号总是一致的，若x与 都为负数，则可以提取负号以后再使用均值不等式。
解：（1）当x>0时，∴ >0，则x+ ≥2 x ≥6，当且仅当x= 即x=3取等号。
（2）当x<0时，∴ <0，此时x+ =-（-x+ ），∵-x>0， >0，∴-x+ ≥2 -x（ ）≥6，则x+ =-（-x+ ）≥-6，当且仅当-x= 即x=-3时取等号。
综上所述：y≤-6或y≥6。
下面我们再看一个高中阶段在不等式中用得很频繁的一个函数。我们把形如y=x+ （k>0）的函数称为对号函数，也称对钩函数，由图像可以看出来它是关于坐标原点中心对称（由于自变量x不能取0，所以不能说是奇函数）。有时遇到不能取等号的时候，便可以用对号函数的单调性来完成。
例2：当x∈R，求函数y=x2+x+ 的取值范围。
解法分析：有同学一看就很容易想到形如y=a+ ≥2 a ≥2。
解：∵x2+2>0， >0，
∴x2+x+ ≥2 （x2+2） ≥2，∴y≥2。
这种做法错误的原因在于只看了“一正二定”忽视了“三相等”。当x2+2= 时，即x2+2=1，而此时x无实数解，因而在实数范围内不能取等号。此时很多同学就疑惑了，不能取等号怎么办？
解：令t=x2+2。∵x2+2≥2，∴t≥2，∴y=t+ （t≥2）。
由对号函数y=t+ （t≥2）的图像可以看出：当t≥2时，y随着t的增大而增大，∴ymin=y|x=2|= 。此时t=2，即x2+2=2，可解得x=0时取最小值为 。
类似的考题还有很多，比如sin2x的有界性：若x∈R，则0≤sin2x≤1。如果x为实数，求函数y=sin2x+2+的取值范围。
例3：已知x＞2，求函数y=x+的最小值。
解法分析：构造成形如y=a+ ，x=（x-2）+2。
解：∵x>2，∴x-2>0，∴y=x-2+2+=x-2++2≥2 （x-2）+2≥4。当且仅当x-2=时，即当x=3时，ymin=4。
例4：已知0<x< ，求函数y= x（1-2x）的最大值。
解法分析：利用推论2以及欲进先退的处理技巧就可以： x（1-2x）= ×2x（1-2x）。
解：∵0<x< ，∴1-2x>0，∴y= x（1-2x）= ×2x（1-2x）≤ [ ]2≤ × ≤ 。当且仅当２x=1-2x时，即当x= 时，ymax= 。
上例用到了配凑方法，配成适当的形式再利用均值不等式。
例5：若a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求证：
4a+1+ 4b+1+ 4c+1>2+ 5。
证明：设4a+1=x2a+2xa+1>x2a2+2xa+1（a>1，x>0），此时x2+2x=4，∴ 4a+1> x2a2+2xa+1= （xa+1)2=xa+1，解得x= 5-1。
同理可得： 4b+1＞xb+1， 4c+1>xc+1，∴ 4a+1+ 4b+1+ 4c+1>x（a+b+c）+3=x+3= 5+2。
例6：设a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求 4a+1+ 4b+1+ 4c+1的最大值。
解：S= 4a+1+ 4b+1+ 4c+1，∴Ｓ>0。
则：S2=（ 4a+1+ 4b+1+ 4c+1）2=4a+1+4b+1+4c
+1+2N。
2N=2 4a+1· 4b+1+2 4b+1· 4c+1+2 4c+1· 4a+1。
∵2 4a+1· 4b+1≤4a+1+4b+1
2 4b+1· 4c+1≤4b+1+4c+1
2 4c+1· 4a+1≤4c+1+4a+1
∴2N≤8（a+b+c）+6=14。
当 4a+1= 4b+1= 4c+1时，即a=b=c= 时，取等号。
∴S2≤7+14=21，即当a=b=c= 时，Smax= 21。
例5和例6的题目是类似的，但是最大值与最小值的求法截然不同。在平时积累典例的解法能够激发我们学习数学的兴趣。
例7：若a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求证： + + ≥9。
证明： + + = + +
=1+ + + +1+ + + +1
=3+ + + + + +
=3+ + + + + +
∵ + ≥2· =2，
同理可得 + ≥2、 + ≥２，∴ + ＋ ≥3+2+2+2=9，当 = 、 = 、 ＝ 时，即当a=b=c时，取等号。
均值不等式在高中阶段的应用很广泛，除了求解函数的最值以外，在很多的证明题中都会用到，当然要更多地了解均值不等式中一些带有技巧的处理方法。
论文作者:王锦方
论文发表刊物:《教育学》2019年2月总第168期
论文发表时间:2019/2/28
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