申智会 新疆叶城县第八中学
【摘要】求函数的值域有两种途径——直接法和间接法。其中函数值域的间接求法是把函数问题转换为方程问题的一种思维方法，即把函数的值域问题转化为方程有解的问题，通过探讨方程有解问题，间接地求出函数的值域。
【关键词】函数值域；间接法
中图分类号：G652.2文献标识码：A文章编号：ISSN1672-1128 （2020）01-187-02
函数是高中数学的核心内容，函数思想贯穿于高中数学的始终，高考的大小试题中常常涉及求函数的值域（最值）问题。函数的值域是函数概念的一个重要组成部分，它与函数的定义域和对应法则共同构成函数的三要素，同时，函数的值域（最值）也是函数中最重要的基本性质之一。函数的值域即函数值的取值集合，它虽然由函数的定义域和对应法则所确定，但是求解函数值域仍较为困难。这就使得函数的值域（最值）问题成为历年来高考的热点和难点之一。
随着新高考的全面实施，数学解题方法的多样性在高考中多角度考查学生数学综合素养方面的作用已凸现明显。求函数的值域是函数中常见的问题，在中学数学的范围内，求函数的值域通常有两种途径——直接法和间接法【1】。实践证明，如果加强了对函数的值域的研究和讨论，有利于加深对函数内涵的理解，从而深化对函数本质的认识。本文就函数值域求解的另一种途径——间接法作出探讨，从方程有解的角度结合具体的实例来进行分析归纳，以达到开阔解题思路，培养和提高灵活运用数学知识进行分析问题和解决问题的能力，从而提升学生的数学综合素养。
一.方法依据
函数值域的间接求法，实际上是把函数问题转化为方程问题的一种解题思维方法。有的教学研究者也称之为“方程有解法”，这就进一步体现出函数与方程这两个数学基本概念之间的渊源关系。
函数值域的间接求法——“方程有解法”的基本思路就是把函数看成关于变量x,y的二元方程，再把某个变量看成主元，即将函数值域问题转化为方程有解问题，通过探讨方程有解问题求出函数的值域【2】。其方法依据是：
函数y=f(x)是定义在非空数集上的两个变量x与y的关系。
函数y=f(x)，x∈R,且x?φ。
方程f(x)- y=0, x∈R,且x?φ。
关于x的方程f(x)-y=0在R或其非空子集上有解。
二.方法应用
1.可化为一次方程的分式函数
此类函数可以转化为关于x一元一次方程，则可通过一元一次方程在函数定义域内有解的条件，求出函数的值域。
例1、求函数的值域。
解答：定义域为{ x | x≠1/2}，原函数转化为(2y-1)x-y-2=0
因为x∈R,且x?φ，所以该方程有解。所以2y-1≠0即y≠
所以，函数的值域为{ y |y≠}。
方法点睛：形如y= (ad≠bc)的函数，在求此类函数的值域时可转化为关于x的一次方程有解来求。
可化为二次方程的分式函数
此类函数可以转化为关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
当定义域为R时。
例2（1）求函数y=的值域。
解答：定义域为R，原函数转化为(y-2) x2+(y+1)x+y-2=0,
⑴当y-2=0即y=2时，3x+0=0,∴x=0∈R；
⑵当y-2≠0即y≠2时
因为x∈R,且x?φ，所以该方程有解，所以Δ=(y+1)2-4(y-2)2≥0
所以1≤y≤5且y≠2
综上，原函数的值域为[1,5]
点评：例题中由于函数定义域为R，函数在转化为方程时是等价的，不会产生增根，因此不需要检验区间端点值。
当定义域为R的子集时
例2（2）求函数y=的值域。
解答：定义域，
原函数转化为(1-y)x2+(4-y)x+(6y+3)=0。
⑴当y=1时，有3x+9=0,x=-3, 不满足定义域。
⑵当y≠1时， 因为x∈R,且x?φ.所以该方程有解。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆
所以Δ=(4-y)2-4(1-y)(6y+3)≥0，(5y-2)2≥0，所以y∈R
但当时，Δ=0，与y对应的x的值为x=，不满足定义域，所以
综上，原函数值域为。
例2（3）求函数的值域。
解答：定义域为，原函数转化为(y-1) x2-y-1=0
⑴当y=1时，有-1-1=0不成立，所以y≠1
⑵当y≠1时，因为x∈R,且x?φ，所以该方程有解。
所以Δ=4(y-1)(y+1)≥0，得-1≤y≤1且y≠1。
即-1≤y<1，但y=-1时x=0在定义域内，所以y=-1在值域中
综上，函数的值域为。
点评：例题中由于函数定义域为R子集，函数在转化为方程时是不等价的，可能会产生增根，因此需要检验区间端点值。
方法点睛：形如函数(a,d不全为0且分子分母
不可约)的函数，在求此类函数值域时，可转化为关于x的二次方程有解来求。此时应注意两点：一是检验二次相系数为零时方程是否有解，若无解或解不在定义域中，应从值域中去掉该值；二是所求出的值域区间的端点值也要检验是否存在。若端点值所对应的x的值不在定义域中，也应从值域中去掉该值；
可化为二次方程的无理函数
此类函数可以转化为关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解得条件，利用判别式求出函数的值域。
例3、求函数的值域.
解答：定义域为[0，1]，原函数转化为.
因为x∈R,且x?φ，所以该方程有解。
所以Δ
解得：，因为0≤x≤1，所以0≤y≤
又将代入上面方程得在定义域内。
所以，原函数的值域为。
方法点睛：形如函数 (a≠0,c,d不同时为0).在求此类函数值域时，可通过转化为关于x的二次方程有解来求，此时，应注意函数与方程的转化是否等价，若不等价，应把区间端点值带入检验。
可化为三角方程的三角函数
此类函数可以转化为关于x的三角方程，则可通过三角方程在函数定义域内有解的条件，求出函数的值域。
例4求函数的值域。
解答：原函数转化为：cos2x-y cosx+2y-1=0
因为x∈R,且x?φ，所以该方程有解。
令t=cosx,|t|≤1，则t2-yt+2y-1=0，
由Δ=(-y)2-4(2y-1)≥0得：y≤4-2√3 或y≥4+2√3.
结合|t|≤1，把t2-yt+2y-1=0转化为t2=y(t-2)+1.
这样就可以构造出直线u=y(t-2)+1与曲线u=t2相交的图形，进一步确定y的范围。
此时，直线u=y(t-2)+1过定点(2,1)，欲使t2=y(t-2)+1成立，只需即可。所以，原函数的值域为。
方法点睛：形如 (a≠0,c≠0)或 (b≠0,d≠0)的函数，在求此类函数的值域时可通过转化为关于x的三角方程或转化为二次方程有解问题来求。此时，应注意sinx 和 cosx的取值范围，进一步确定值域。
三、方法归纳
通过对以上例题的分析，对于函数求值域问题，当直接求之比较复杂（困难）时，可用间接解法，即是把函数的值域问题转化为方程有解问题。能用间接求法求函数值域的问题，一般具有两个特征：一是目标函数可以看成或换元转化为方程的一个参数；二是方程中含有两个变量：一个变量即目标函数视为参数，另一个变量视为主元。在把函数转化为方程时，应注意以下两个方面：一是注意对方程类型进行分类（是否为二次）；二是注意等价转化，函数式变形中，自变量的取值决定函数值域的变化。由于，在转化过程中，易出现不可逆的步骤，从而改变了原函数的值域，所以，在转化过程中必须等价，即必须注意原函数的定义域、判别式存在的前提条件，并检验区间端点值是否符合要求.
总之，函数值域的间接求法，是求解函数值域（最值）的非常有效和实用的方法，其特点是转化方向明确，运算量小，便于掌握。
参考文献
[1]张莲生——数理天地：高中版2003-3.
[2]孔凡代、成立瑔——中学数学：2000-1.
论文作者:申智会
论文发表刊物:《基础教育参考》2020年1月
论文发表时间:2020/4/29
标签：函数论文; 值域论文; 方程论文; 定义域论文; 转化为论文; 求出论文; 求法论文; 《基础教育参考》2020年1月论文;