探求空间中的角与距离的技巧与策略，本文主要内容关键词为：距离论文,策略论文,技巧论文,空间论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、有关空间角的问题
空间中三种角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）的大小都是通过平面的角来度量的，正确地作出表示空间角的平面角是解决空间角的计算和证明问题的关键.
探求有关异面直线所成的角的问题，多数情况下将两条异面直线所成角的顶点选在其中一条直线上的某个特殊的位置上比较有利.
例2 M为正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]棱AA[，1]上的中点，求截面MB[，1]D与底面ABCD所成的二面角.
解法1 （采用补棱法）如图2，在正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]的左边补一个全等的正方体，延长B[，1]M必交于正方体顶点N，连DN，即为所求二面角的棱.
例3 已知正四棱锥P—ABED的侧面与底面的夹角为α，相邻两个侧面的夹角为β，求证：cosβ=-cos[2]α.
证明 如图4所示，O为底面中心，F为BC之中点，则OF⊥BC，从而PF⊥BC.
所以∠PFO为侧面PBC与底面所成二面角的平面角.即∠PFO=α.
在平面PBC内，过F作FG⊥PB，取AB中点E，则EF∥AC，连EG，因PB⊥AC，且EF∥AC，故PB⊥EF.∴PB⊥平面EFC，从而PB⊥EG.
故∠EGF为二侧面PAB与PCB所成二面角的平面角，即∠EGF=β.设AB=2a，OP=h，则
探求有关直线与平面所成的角的问题的关键是作出直线在平面内的射影.
例4 如图5，空间中有两个相交平面α和β，在它的交线上有一个定点A，证明：在所有位于平面α内的经过A点的直线当中，以垂直于平面α和β的交线的直线同平面β的夹角为最大.
证明 在位于平面α内过点A的直线l'上取点B，使BA=1，作BC⊥平面β，C∈平面β，连AC，则∠CAB为直线l'与平面β所成的角.
设α∩β=l，α与β所成的两组对顶二面角中较小的一个为θ，作CD⊥l，D∈l，连BD，则BD⊥l，故∠BDC为平面α与β所成的角，即∠BDC=θ.
设l'与l的夹角为δ，则BD=sinδ.
在Rt△BDC中，BC=BDsinθ=sinδ·sinθ，
在Rt△BAC中，sin∠CAB=BC/BA=sinδ·sinθ，
因sinx在（0，π/2）上是增函数，故当且仅当sin∠CAB值最大时∠CAB最大，所以，当sinδ=1时，
∠CAB最大，这时有l'⊥l.
例5 如图6，在120°的二面角α-a-β中，A∈α，B∈β.已知A点、B点到棱a的距离分别为2和4，且AB=10，求：
（1）直线AB与棱a所成的角；（2）直线AB与平面β所成的角；（3）若BD⊥a，AC⊥a，C、D是垂足，求平面ACB与平面ABD所成的角.
二、有关异面直线距离问题
异面直线的距离问题是立体几何中的难点，一般要通过作出公垂线的方法来探求.但有时作出公垂线比较困难时，常将其转化为点到直线的距离或点到平面，直线到平面的距离来求解.
例6 如图7所示，在正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，试求：（1）直线GD与EF所成的角；（2）求异面直线GD、EF的距离.
例7 在单位正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，如图8，M、N分别是A[，1]D[，1]，D[，1]C[，1]的中点，P是MN的中点，求PB和AC[，1]的距离.
解 （利用补形法）补一个单位正方体，则AG[，1]∥BG[，2]（见图8）.
例8 异面直线a⊥b，PQ为其公垂线，且长为h，又长为m的线段（m＞h）AB的两端点分别在a、b上滑动，求证：AB的中点的轨迹是一个圆.
证明 如图9，过b作面α∥a，则PQ⊥α，设R为PQ的中点，设过R点与面a平行的平面β交AB于M，则M为AB的中点，即AB的中点必在PQ的垂直平分面上.作AO⊥a于O，MN⊥a于N，则MN∥AO，∴N为OB的中点.
由题设a∥α易知PA∥OQ，又有a⊥b，
为半径并位于PQ的垂直平分面上的圆.
例9 一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度
，那么木梁升高多少？
解 如图10，设M、N为悬挂点，AB为木梁初始位置，则AB=a，MA∥NB，且MA=NB=b，∠A=∠B=90°.
设S为木梁的中点，l为过S的铅垂轴，那么l
平面MABN.木梁绕l转动角度后位于CD位置，T为CD的中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.
在平面MABN中，作，TK∥AB交MA于K，则AK=ST，设ST=x那么
①当b≤a时，木梁转动的角不能超过2arcsin（b/a），特别地，当b=a，=180°时，两绳重迭.
②当b＞a时，木梁转动角的最大值等于180°，当=180°时，悬挂木梁的绳索十字交叉.
三、其他与距离有关的问题
还有些问题与距离有关，它需要分割或补形来实现，这是一种十分有趣的尝试与探索.
例10 正四棱锥S-ABCD底面边长为a，侧棱与底面成60°，求底面内任一点M到各侧面的距离之和.
解 （运用体积法）如图11，
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