SVAR-GARCH模型的多元波动率估计

谢鹏飞,冶继民,王俊元

(西安电子科技大学 数学与统计学院,西安 710126)

摘要: 考虑SVAR-GARCH模型的多元波动率,提出一种估计波动率的新方法.先利用独立成分分析技术求解因果结构和统计独立的误差项,建立残差项条件协方差阵与误差项条件协方差阵的关系,然后利用单变量GARCH模型的估计结果和识别的因果结构,估计多变量GARCH模型的条件波动的脉冲响应方法,实现多元波动率的估计,该方法可有效减少估计参数.实验结果表明,新方法估计的波动率与能源期货市场的规律相符.

关键词: SVAR模型；独立成分分析；因果结构；GARCH模型；波动率

金融资产收益率序列的波动性和相关性通常具有明显的时变特征,因此,研究其动态规律对于期权定价、风险管理等具有重要作用.在实际投资决策中,需要考虑多个资产收益率,因此,建立多维资产收益率的协方差矩阵或多元波动率的动态模型尤为重要.

Engle^[1]提出的一元自回归条件异方差(ARCH)模型,虽然可以很好地刻画单变量波动性,但该方法受维数的限制,不适用于估计多维资产收益率的波动性;Engle等^[2]提出的BEKK模型虽然可以很好地描述多变量的波动性,并能保证协方差矩阵的正定性,但存在模式识别问题;Dua等^[3]通过向量自回归多元GARCH-BEKK模型研究了印度和美国股市的相关性;Baillie等^[4]提出的常值条件相关模型,即CCC-GARCH模型,假设相关矩阵是常数矩阵,虽然简化了模型的计算,且能保证协方差矩阵的正定性,但在实际应用中该假设显然不能满足^[5];Engle^[6]在考虑条件方差间的相互作用情况下,提出了动态条件相关模型,即DCC-GARCH模型,该模型在保证相关系数矩阵为正定矩阵的前提下,要求所有条件相关系数服从相同分布的动态规律,这与实际时间序列波动不吻合;Tsukuda等^[7]使用DCC-GARCH模型和动态条件方差分解方法分析了东亚债券市场与全球债券市场的融合程度;Chen等^[8]把主成分分析(PCA)应用到多元GARCH模型中,提出了正交GARCH模型,即O-GARCH模型,该模型采用PCA技术从多个序列的波动特性中提取出主成分,每个主成分的条件方差可用一维GARCH模型表示,构建条件协方差阵,有效降低了多元GARCH模型所需估计的参数,并提高了GARCH模型的实用性,但主成分之间无条件不相关并不表示条件不相关^[9];Wu等^[10]利用独立成分分析(ICA)将多元时间序列分解为统计独立的时间序列,然后用ICA-GARCH模型估计多元波动率,该方法对多元收益率波动率估计方面比用PCA方法分解残差更有效;Broda等^[11]采用ICA技术从多维金融资产收益率中提取出相互独立的成分,再对独立成分建立单变量GARCH模型.García-Ferrer等^[12]提出了GICA-GARCH模型,通过实证分析马德里证券市场,说明GICA-GARCH模型的预测性能比O-GARCH和CUC-GARCH模型对波动率的拟合效果更好;Jin等^[13]提出了使用多元随机模型对多元GARCH模型中的动态非均匀协方差分解进行建模;Francq等^[14]提出了多元Log-GARCH-X模型;Karanasos等^[15]使用向量AR-DCC-FIAPAPARCH模型研究股票市场日收益的长期波动相关性和非对称波动响应的关系;Almeida等^[16]分析了MGARCH模型的可行性和灵活性;Kadowaki等^[17]提出了一种线性非高斯无环模型,即LiNGAM模型,是结构方程模型和Bayes网络的变形,其在不依赖于先验信息的情况下可识别模型的因果结构；Moneta等^[18]将基于ICA的因果推断用于研究企业发展与企业绩效的关系,分析货币政策对宏观经济的影响,取得了很好的效果.Lütkepohl等^[19]通过使用结构向量自回归(SVAR)模型识别残差的结构冲击,其中波动的变化使用多元GARCH模型模拟,该模型假设随机冲击对变量的影响期限不同,从而对结构系数矩阵施加约束条件;Ahmadi等^[20]采用SVAR-GARCH模型描述了原油和股票市场的波动性,为了从简化形式的残差中识别模型的结构,假设某一随机冲击在短期内不会给某些特定的经济变量带来影响,并对结构系数矩阵施加了约束条件;Sotoudeh等^[21]使用SVAR-GARCH模型研究了商品贸易对全球石油市场结构性冲击的动态响应,该模型假设结构系数矩阵是满秩的.上述这些方法都是直接估计多变量GARCH的参数,因此随着时间序列维数的增加,需要估计大量的参数.

本文提出一种估计SVAR-GARCH模型波动率的新方法,其有以下优势：

由于潜山旅游业起步较晚，许多基础设施都还不完善，配套的衣食住行游购设施急需完善，许多景点的开发都只是浅尝辄止，部分景点连旅游专车都没有，目前整体的旅游状况是旅游产品结构单一，旅游市场主体弱小，以山水观光为主打产品，其他休闲娱乐产业发展滞后，尚未形成产业链，而旅游是一个综合性产业，门票收入只是小小的一部分，更多的收入来自于游客商业性的消费。

广州市是珠江三角洲城市群的中心腹地，接近珠江流域下游入海口，境内河流水系发达，大小河流众多，水域面积广阔（陈康林等，2016）。改革开放以来，广州市社会经济高速发展，人口数量快速增长，所产生和排放的污水量比较大（周志洪等，2017）。

1) 仅需假设瞬时因果矩阵B ₀是有向无环图,通过ICA方法可以识别模型的因果结构,并将残差分解为统计独立的误差项;2) 在保持SVAR因果结构的同时,建立了残差项条件协方差阵与误差项条件协方差阵的关系,进而可得到基于SVAR残差项条件协方差的多变量GARCH波动效应的估计方法;3) 利用单变量GARCH的估计结果和识别的因果结构可估计多变量GARCH条件波动的脉冲响应.从而有效减少多元GARCH模型所需估计的参数.

1 SVAR-GARCH模型的多元波动率

1.1 SVAR-GARCH模型

文献[22]提出用结构向量自回归(SVAR)估计时间序列数据的因果结构,基于GARCH模型中e (t )可以很好地描述金融数据的波动率,因此,取SVAR模型中误差项e (t )为GARCH过程,即SVAR-GARCH模型.设x (t )=(x ₁(t ),…,x _n (t ))^T(t =1,2,…,T )表示在一段时间内观察到的向量,不失一般性,假设每个x (t )均具有零均值向量,则SVAR-GARCH模型为

(1)

式中：B _τ (τ =0,1,…,l )是n ×n 矩阵,表示变量x (t )与x (t -τ )(τ =0,1,…,l )之间的因果关系,τ >0表示过去到现在的一般滞后效应,τ =0表示瞬时效应;e (t )表示误差项n ×1向量.

2) 通过最小化∑(1/|W _ii |)寻找W =A ^-1的行唯一置换,得到矩阵主对角线为非零元素;

1)e _i (t )是e (t )的第i 个元素,假设e _i (t )(i =1,2,…,n ;t =1,2,…,T )是相互独立的GARCH过程,即每个e _i (t )作为单变量GARCH(p ,q )处理：

则式(3)可等价表示为

(2)

式中：η _i (t )是独立同分布的随机变量序列,且表示e _i (t )的条件方差,h _i (t )=V (e _i (t )|I _t-1 ),I _t-1 是到时间t -1为止的过去信息^[12].为了保证对于任意j ,h _j (t )>0,假设

2) 模型中的瞬时因果矩阵B ₀对应有向无环图,无环即存在一个置换矩阵P ,使得PB ₀P ^T是严格下三角矩阵,从而I -B ₀是可逆的.

在模型识别和估计中上述两个假设至关重要,由式(1)可得

(3)

记

A =(I -B ₀)^-1,n (t )=Ae (t ),M _i =AB _i ,

(4)

,

(5)

式中

如果能在式(3)中识别e (t )和矩阵B ₀,即可推断模型的因果顺序和滞后效应.根据Hoyer等^[23]的结论,GARCH模型中e (t )的非高斯性和无环性假设保证了e (t )和B ₀可以被唯一地识别,且(I -B ₀)是可逆的.下面用B ₀估计e (t )中的波动结构.

设H _t 是n (t )的协方差矩阵,则有

现在的多媒体教室是一个复杂和精细的系统,是集成型、网络型、智能化的统一联动控制。面对这样一个复杂和精细的系统,有不少教师在讲台前束手无策。而目前高校教师大都要使用多媒体设备,做好任课教师操作多媒体设备的培训工作、提高其多媒体操作技能,将极大降低因人为操作不当而产生的多媒体设备故障,延长多媒体设备的使用时间,提高多媒体设备的使用率。因此需要注重和加强对任课教师操作多媒体的技能培训,特别是对新进教师的多媒体操作培训。培训结束后经考核发给任课教师多媒体使用证书,教师使用多媒体设备必须持证上岗。

H _t =cov(n (t )|I _t-1 )=A cov(e (t )|I _t-1 )A ^T=AV _t A ^T,

(6)

式中V _t =diag(h _1t ,…,h _nt ),h _it 是式(1)给出e (t )的第i 个分量的条件方差.设P 是将B ₀置换为下三角矩阵的矩阵,则有

PAP ^T=(P (I -B ₀)P ^T)^-1=(I -PB ₀P ^T)^-1,

用伪极大似然估计法对GARCH模型进行参数估计.假设B ₀是严格的下三角矩阵,并且W =I -B ₀,参数θ _l 的向量形式为

式中：K _j 和L _k 都是n ×n 维的参数矩阵;C 是n ×n 的对称参数矩阵;p 和q 是模型的阶.因此N (t )的协方差矩阵H _t 结构为

式中：这与经典的多元GARCH模型相似.

1.2 条件波动的脉冲响应

由式(6)可知,可通过分析e (t )中单个冲击对系统的响应推断H _t 的波动率.条件波动的脉冲响应可以刻画单个冲击对系统的波动响应,定义为

式中：R _s,i 表示在e (t )中第i 个元素在1个单位冲击后的s 阶滞后波动响应;H _t+s /t 表示在t 时刻H _t+s 的条件协方差信息集.由式(7)可知,残差项N (t )条件协方差矩阵的条件脉冲响应为

(8)

式中1 ⁱ-th 是一个对角线上第i 个元素为1其余元素都为0的n ×n 矩阵.

根据文献[24],单变量GARCH(p ,q )模型的条件方差可以写成如下形式:

(9)

式中:m =max{p ,q },v _i,t 是鞅差序列;如果j >q ,则α _ij =0;如果j >p ,则β _ij =0.因此,可以定义条件波动的脉冲响应迭代形式为

(10)

对式(10)两边取e _i (t )²的导数,得到单变量脉冲响应函数如下：

(11)

式(5)是一个标准的风险价值(VaR)模型,从而可以用最小二乘法估计M _τ 和n (t ).

在教学模式上，尝试“审美体验——创新解读——创新写作实践”三维递进教学模式。语文教学首先是审美和情感熏陶，同时又包含着丰富的观念和思维内涵。文字形式是思维和情感的工具，属于审美直觉层面，观念和思维是文字背后的逻辑内核。在语文教学中培养创新思维要做到由表及里，由形式到结构。在教学过程中，注重对文本的形式分析和对“陌生化”的还原，牢牢把握文本的观念和思维逻辑，发掘其中的创造性因子，要在课堂上进行“审美体验——创新解读——创新写作实践”三个阶段的提升，以创新观念为引导，让学生在阅读、写作、实践等环节提升创新能力。

1.3 GARCH模型参数估计

易得PAP ^T是下三角的,A 也是无环的.因此,式(6)中矩阵A 蕴含着H _t 中波动的因果顺序.由式(2)知e (t )的协方差阵V _t 结构为

θ _l =(θ _l1 ,…,θ _l,p +q +1)^T=(ω _l ,α _l1 ,…,α _lq ,β _l1 ,…,β _lp )^T,

对数似然可由下式给出：

(12)

式中:e _i (t )是独立成分e (t )的第i 个元素;w _i (t )是矩阵W 的第i 个行向量.W 是下三角矩阵并且对角线元素为1,因此有

式中p _i 表示独立成分的密度函数.

利用高斯伪似然极大化对数似然等式,得对数似然函数形式为

(ⅰ)如果c*(t)≠0，即则与上面情况2)相同.但当Κ≥0时，一般解(17)右边还要添加一项Φ1(z)；当Κ<0时，当且仅当c(t),a(t)+ib(t),G(τ),g(τ)间要满足-2Κ-1个实条件时才有解，且有唯一解.

θ 的伪极大似然估计定义为

2 模型求解与条件波动脉冲响应估计

求解SVAR-GARCH模型时,可以先使用信息准则(如Akaike信息准则(AIC)或Bayes信息准则(BIC))优化所有可能的子集l ,p 和q ,然后估计其滞后阶数l ,p 和q .本文假设SVAR-GARCH模型已给出滞后阶数,然后通过一种有效的多阶段估计方法对模型其他参数进行估计.

首先,使用独立成分分析方法将SVAR的残差分解为统计独立的成分;其次,用线性非高斯无环模型(LiNGAM)估计因果矩阵B ₀;最后,使用单变量GARCH的估计结果和识别的因果结构估计多变量时间序列的条件波动脉冲响应.

2.1 独立成分分析

独立成分分析(ICA)^[25]是一种统计方法,其假设观测数据为潜在变量的线性组合,潜在变量相互独立并且是非高斯的.典型的ICA模型为

微纳测头的材料属性和结构参数如表1和表2所示，其中，支撑梁选用铍青铜，测杆选用碳化钨，测球选用红宝石[18]。

x _t =As _t ,

(13)

式中：s =(s ₁,…,s _n )是统计独立潜变量的向量,称为独立分量;A 是未知常数的混合矩阵.ICA模型中的独立分量s _t 通过寻找矩阵W 得到:

“在我这里，没有不可能的事。”范坚强坚定地说。那副自信表情，让一杭开始动摇了，但他相信，雪萤绝不会背叛自己，唯一的解释是，雪萤找到记事本，但被范坚强的人夺走了。

s _t =Wx _t .

(14)

Reyhani等^[26]提出了一种用于线性混合独立信号源分离的快速不动点算法(FastICA).FastICA算法是一种快速有效且具有鲁棒性的算法,用于寻找E [G (w ^Tx )]的极值,其中G 是非二次函数,如G (x )=log(cosh(x )).该算法首先需要对观察到的数据向量进行中心化使其均值为0,然后对数据进行白化得到一个新的向量的协方差矩阵等于单位矩阵

寻找一个单位向量的迭代不动点算法为

(15)

式中g 是G 的导数,标准化w _n+1 ,即得到w 的估计,通过s =w ′x 可得到一个独立成分.上述算法可以扩展到整个ICA变换s _t =Wx _t 的估计,为了避免不同向量收敛到同一个极值点,必须在每次迭代后将进行正交化.假设已经估计出n 个独立成分或者n 个向量w ₁,…,w _n ,则可以再运行一元算法估计w _n+1 ,并在每次迭代循环后从w _n+1 中减去其在已经估计出的前n 个向量上的投影,然后再对w _n+1 标准化:

2） 修缮后的矿化床在前期（0～15 d） 对进水COD、NH3-N和TN均有较好的去除效果，COD最为明显，去除率＞90%；随着运行时间的延长，去除效果呈下降趋势，推测由于矿化床靠微生物和吸附作用，受外界影响变化大，且易堵塞孔隙，极大影响矿化床的处理效果。

(16)

并且

2.2 无环因果结构的识别

无环因果结构的识别是利用ICA技术通过n (t )=Ae (t )找到适当的矩阵A .由于SVAR-GARCH模型满足：1) GARCH(p ,q )过程具有尖峰厚尾特征^[27];2)e (t )是非高斯并且相互独立的.因此,可以使用ICA技术去估计矩阵A =(I -B ₀)^-1.为了避免ICA置换、标识和尺度的不确定性,假设变量x (t )间存在无环因果结构,即在使用ICA估计A 后,用A 的每行除以其对角元素并将其缩小到单位对角线,由此得到B ₀=I -A ^-1的主对角线元素都为0,并且存在一个置换矩阵P ,使得PB ₀P ^T是对角线为零的下三角矩阵,从而保证模型无环因果结构的识别.对B ₀和e (t )的估计,可以使用ICA-LiNGAM算法^[22]实现.

煌绿乳糖胆盐肉汤(BGLB)、结晶紫中性红胆盐琼脂(VRBA)：北京陆桥技术股份有限公司；氢氧化钠(粒)、无水碳酸钠、硫酸铜：天津市东丽区天大化学试剂厂；酒石酸钾钠：天津市科密欧化学试剂有限公司；福林酚：北京索莱宝科技有限公司，以上试剂均为分析纯。

2.配：根据菜品的要求及各种原料的性质在形状、颜色、营养、口感方面做好原料的搭配。忌因装点而影响口味，注意点缀用小料、配料、装饰品的口味、液汁不能对菜品有影响。

ICA-LiNGAM算法步骤如下：

1) 使用FastICA算法得到分解n (t )=Ae (t ),其中A 和e (t )分别是n ×n 和n ×T 矩阵;

SVAR-GARCH模型中e (t )和B ₀满足以下两个条件：

3) 将的每行除以其对角元素,得到对角线上全为1的矩阵

4) 令存在矩阵Z 使尽可能的严格下三角;

1.1 一般资料 2017年9月～2017年11月，选取上海中医药大学在读硕士研究生以及上海中医药大学附属曙光医院工作人员共13名健康志愿者作为研究对象。其中男性11名，女性2名，平均年龄(27.64±2.98)岁，平均身高(174.18±8.84)cm，平均体重(73.36±14.55)kg。所有受试者均在签署知情同意书后进行测试。纳入标准：年龄18～40岁；近3个月无下肢外伤史；未患有影响步态的神经肌肉疾病；意识清楚能够主动配合完成测试。排除标准：患有其他可导致步态异常的神经肌肉骨骼疾病者；不愿意主动配合测试者。

5) 瞬时因果B ₀包含n (n -1)/2个非零元素,其中一些可能非常小;

6) 计算滞后因果矩阵B _τ 的估计为B _τ =(I -B ₀)M _τ (τ >0).

图1 ICA-LiNGAM算法估计 B ₀ 的正确率
Fig.1 Accuracy of B ₀ estimated by ICA-LiNGAM algorithm

数据集的变量个数p 和样本容量N 分别取p =10,20,30,N =500,1 000,1 500,2 000,人工生成随机数据集,对ICA-LiNGAM算法估计瞬时因果矩阵B ₀的正确率进行测试,结果如图1所示.由图1可见,随着样本容量的增加,ICA-LiNGAM算法估计的瞬时效应B ₀正确率越来越高.

2.3 多阶段估计

多阶段估计步骤如下：

1) 用最小二乘法估计式(5)的自回归矩阵M _τ ,并从式(5)中计算出残差n (t );

本次计算研究涉及的所有数据均采用SPSS 19.0统计学软件处理，行χ2检验分析计数资料，用率（%）的形式表示，行t检验分析计量资料，用（均数±标准差）形式表示，Pearson相关性分析TMT时间与各影响因素的相关性，P＜0.05为差异有统计学意义。

2) 用ICA-LiNGAM算法估计因果矩阵B ₀和独立成分e (t );

式中因此,GARCH模型的对数似然函数为

3) 用伪极大似然估计单变量GARCH参数;

《共产党宣言》中蕴涵着丰富的思想和内容，其中关于全球空间的思想在一定程度上被遮蔽了，而对于全球空间的形成、发展、现状分析以及其形成意义的论述成为《共产党宣言》的重要构成，这对当前构建人类命运共同体也具有重要启示意义。

4) 用式(11)对e (t )中的每个元素估计单变量脉冲响应函数;

5) 用单变量脉冲响应函数和矩阵A 和式(8)估计多变量条件波动的脉冲响应.

3 应 用

下面用一种估计SVAR-GARCH模型波动率的新方法来估计能源期货市场的波动率.所选指标分别为西德克萨斯中级原油(WTI)、布伦特原油(SC)、轻低硫原油(CL)和天然气(NG).所用数据为美国纽约商品交易所(NYMEX)市场WTI,SC,CL和NG能源期货收盘价格的历史数据.数据集为2014-01-01—2016-12-31期间,由雅虎财经数据库(https://finance.yahoo.com/)获得的753 d每日观察数据.每日收益x _i (t )由x _i (t )=log(P _i (t ))-log(P _i (t -1))计算,式中P _i (t )是指标i 在交易日t 时刻的收盘价格.SVAR(1,1)-GARCH(1,1)模型为

x (t )=B ₀x (t )+B ₁x (t -1)+e (t )=M ₁x (t -1)+n (t ),

(17)

M ₁=(I -B ₀)^-1B ₁,n (t )=(I -B ₀)^-1e (t ),

(18)

h _i (t )=ω _i +α _i1 e _i (t -1)²+β _i1 h _i (t -1),

(19)

式中e _i (t )是e (t )的元素.

将SVAR(1,1)-GARCH(1,1)模型拟合到数据中,发现B ₀可以置换成一个严格的下三角矩阵,即瞬时效应遵循线性无环因果模型.表1列出了估计的波动方向.

表1 无环矩阵 B ₀

Table 1 Acyclic matrix B ₀

由表1可见: 当考虑瞬时效应时,WTI对CL和SL都有很强的正面影响,但对NG有负面影响；CL对SL和NG都有很强的正面影响；SC仅对NG有较弱的负面影响；NG对所有其他变量无影响.结果与能源期货市场上的规律相符.

使用FastICA分离n (t ),得到估计矩阵A 并提取出e (t )如图2所示.将GARCH(1,1)拟合到每个e _i (t ),由表2所列GARCH参数估计.结果表明,WTI和NG倾向于集群波动.

图2 独立序列 e (t )
Fig.2 Independent series e (t )

表2 GARCH (1 ,1 )的参数估计

Table 2 Parameter estimation of GARCH (1 ,1 )

使用条件波动的脉冲响应描述e (t )的波动结构,结果如图3所示,其中：虚线表示95%的置信区间;实线表示脉冲响应.由图3可见: 在独立的e _i (t )中1个单位冲击将被放大到WTI,SC,CL,NG,波动确实转移;WTI的波动对其他变量影响最大,同时,WTI的单位冲击对SC和NG具有较长的持续效应,而对CL的影响较弱;SC的单位冲击对WTI产生正方向的影响,持续时间较长,而对CL和NG产生负向的影响,持续时间较短;CL的单位冲击对WTI产生负方向的影响,且持续时间较长,对SC产生一个正方向的影响,对NG的冲击幅度较小；NG的单位冲击对其他指标影响都较小.

综上,本文研究了SVAR-GARCH模型的多元波动率,提出了一种估计SVAR-GARCH模型波动率的新方法.结果表明：该方法可以有效地减少多元GARCH模型所需估计的参数,同时也保持了动态GARCH模型的可追踪性；在数据驱动下,该方法具有识别数据因果结构的优势,并且在考虑因果效应时,可以使用单变量GARCH模型估计多变量GARCH模型的波动结构.在实例应用中,分析了WTI,SC,CL,NG之间的因果效应和波动结构,表明WTI对SC,CL,NG有显著影响,而NG对其他变量几乎无影响.在条件波动的脉冲响应函数中,发现波动确实转移,并且WTI的冲击对其他变量影响最大,且持续时间较长,这与WTI原油作为其他原油的定价基准以及在国际上有较强的影响力相吻合.实验结果表明,本文方法估计的波动率与能源期货市场的规律相符.

图3 条件波动的脉冲响应
Fig.3 Impulse response of conditional volatility

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Multivariate Volatility Estimation of SVAR -GARCH Model

XIE Pengfei,YE Jimin,WANG Junyuan

(School of Mathematics and Statistics ,Xidian University ,Xi ’an 710126,China )

Abstract : We considered the multivariate volatility of SVAR-GARCH model,and proposed a new method for estimating volatility.Firstly,the causal structure and error item of statistical independent were solved by independent component analysis (ICA) method,and the relationship between the conditional covariance matrix of the residual term and the conditional covariance matrix of the error term was established.Then,the impulse response of the conditional volatility of multivariable GARCH model was estimated by using the estimation results of univariate GARCH model and the causal structure of recognition,and the estimation of multivariate volatility was realized.This method could effectively reduce the estimated parameters.The experimental results show that the volatility estimated by the new method is consistent with the law of energy futures market.

Keywords : SVAR model;independent component analysis (ICA);causal structure;GARCH model;volatility

中图分类号: O212.4

文献标志码： A

文章编号： 1671- 5489( 2019) 06- 1391- 09

doi: 10.13413/j.cnki.jdxblxb.2019016

收稿日期 ：2019-01-15.

第一作者简介 ：谢鹏飞(1990—),男,汉族,硕士研究生,从事高维时间序列模型的研究,E-mail：PengfeiXie@stu.xidian.edu.cn.

通信作者简介： 冶继民(1967—),男,汉族,博士,教授,从事高维时间序列模型的研究,E-mail：jmye@mail.xidian.edu.cn.

基金项目 ：国家自然科学基金(批准号：61573014).

(责任编辑：李 琦，赵立芹)

标签：SVAR模型论文;  独立成分分析论文;  因果结构论文;  GARCH模型论文;  波动率论文;  西安电子科技大学数学与统计学院论文;