从我国艾滋病人数增长规律谈起，本文主要内容关键词为：艾滋病论文,规律论文,人数论文,我国论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在解题教学栏中，经常刊登一些从不同角度，用不用方法求解的题目。这些题目多数是理论题或计算题。应用问题如何求解？要回答这个问题，恐怕不是一两句话就能说清楚的。本文仅从模拟角度研究一个应用问题：求我国艾滋病人数增长规律模型。从中可以看到，同是数学问题，由于考虑问题的角度不同，在某种程度上所求结果会有一定的差异。这对我们从事数学教学研究，可能会有某些启发。
1 模型的建立
资料取自中国1985～1995年艾滋病（ AIDS， Acquired immunedeficiency syndrome，获得性免疫缺陷综合症）人数（健康报：1996－11－27，2版），为方便计算，将年份减去1980，得到
年份x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
人数y 1 0 2 0 0 2
3
5 23 29 52目标是求出其模型。
显然，用直线模型y＝a＋bx拟合是不大合适，由于艾滋病是一种传染病，我们试用在一定时间范围内，描述传染病流行的指数模型求解，模型为
y＝exp（a＋bx） （1）由于（1）是一条曲线，通常是将（1）两端取对数，并记N＝1ny，则（1）化为对数线性模型
N＝1ny＝a＋bx
（2）接下来的问题是确定（2）的参数a和b，这只需将原始数据（x[,i]，y[,i]）中的y[,i]取对数，即用数据（x[,i]，1n（y[,i] ））拟合直线模型N＝a＋bx的方法求出要确定的参数，即a和b可用最小二乘法确定[1]
首先，由于1986，1988，1989年未发现艾滋病人，1n（y[,i] ）无意义，故用（2）不能求解，一个自然想法，去掉病人数为0的年份，得到对数线性模型
N＝1ny＝－2.3989＋0.3878x （3）由（3）可得
y＝0.0908exp（0.3878x） （4）
去掉人数为0的年份，使我们对求得的模型感到不大满意。 这是因为，丢掉了一些有用的信息。如何利用有限的资料，是求解应用问题中要经常注意的问题。此时，不妨将艾滋病人数为0的3个年份的病人数改为0.1，得对数线性模型。
N＝1ny＝－4.8498＋0.5544x （5）由（5）可得指数模型
y＝0.007830exp（0.5544x） （6）
将某些年份病人数为0修改为0.1（或0.01，0.001等），年份病人数不为0的不修改，虽然不大合理，但不失为一种可行的方法， 其思想和类似的手法在某些问题中是常用的。
进一步考虑，将所有年份的病人数均加0.1是否更合理？直观看，2.1人是什么意思，让人感到难以理解。将所有年份的病人数均加1， 可能更好。所有年份的病人数均加1的对数线性模型
1n（y＋1）＝－2.2346＋0.3745x （7）由（7）可得指数模型
y＝0.1070exp（0.3745x）－1 （8）
将人数为0的年份的病人数均加1的目的是将取对数无意义的值改变为取对数后有意义，将这种思想换个角度研究，我们注意到：把艾滋病人数累加
年份x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
人数z 1 1 3 3 3 5
8
13 36 65 117可避免某些年份病人数为0的现象，这样， 问题转化为求艾滋病累加人数的对数线性模型
1nz＝－2.7097＋0.4716x （9）由（9）可得指数模型
z＝0.06656exp（0.4716x） （10）
2 讨论
应用题不一定有标准答案。平常在解理论题或计算题时，只能应用而且常常要全部应用已知条件才能做出解答，但求解应用题时，在模型形式固定的前提下，研究的余地很大：去掉某些不合乎要求的数值，如模型（3），修改或补充某些参数，如模型（5），变换研究问题的提法，如模型（7）和（9）等是常有的事，在模型形式不固定的前提下，研究的余地更大。因此，所求模型可能不惟一。
一些人认为：有了计算器或计算机，如果模型形式已知，只需要套用模型即可。本文模型（5～10）的结果表明， 如何很好地利用现成的模型和充分地利用现有资料，有时也是不容易的。
3 进一步的研究
上面求出的指数模型，均是将其转化为对数线性模型求解，能否对原始数据不做改变直接求解。可以利用DUD（Doesn't use derivatives）法[2]或Marquardt法[3]，在SAS（Statistical analysis system）软件上实现，留给感兴趣的读者。