数学教育的实践探索与数学方法论，本文主要内容关键词为：方法论论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1.数学学科教育理念的演进
人们对数学学科教育的理解，有赖于对数学学科教育价值的认识与理解.由于人们对数学学科教育价值的认识有一个逐步深化的过程，所以对数学学科教育的理解也有一个逐步深化的认识过程.
过去人们把数学学科教育局限于课堂上传授数学知识，数学学科教育只须将数学的知识与技巧传授给学生以满足社会的需要.这种数学学科教育观，必然将数学学科教育等同于课堂数学教学，将数学课堂教学局限于数学知识的传授.基于这种认识，必然将数学学科教育只理解为是一门研究数学教学任务、内容、方法与形式的学问.
随着人类社会由工业社会向信息社会的转变，对数学学科教育提出了新的更高要求.人们的数学价值观在与时俱进、逐渐深化、必然要引起数学学科教育观的演进.如果将数学作为描述客观现象的思维和语言模型的一种主要因素来理解，那么在数学知识、技能的背后却蕴涵着数学精神、思想和方法的无穷无尽的宝藏，从而迸发出数学科学的巨大的文化教育价值.按这种对数学的理解，数学语言是对模拟客观现象来说比日常语言更好的一种语言；数学思维是一种按一定逻辑步骤进行的最经济的思维；数学方法成为了使各门科学数学化普遍使用的方法.因此，不仅对科学工作者，乃至对一般的信息时代的普通公民都需要“普遍的高标准”的数学学科教育，他们不仅需要学到一定的数学知识，更需要的是领悟数学的精神、思想和方法以及数学思维和数学能力的训练.这种数学的精神、思想和方法以及数学思维和数学能力的因素.渗透于初等数学、高等数学，存在于各种数学教材之中.通过数学知识载体的学习“帮助学生学会数学地思维”，将作为数学学科教育的主要目标.总之，数学教学为的是达到对人格的塑造.这时数学教师才真正体现了“人类灵魂的工程师”的作用.在这种观念下，数学学科教育是一个广泛的概念.数学教学仅只是实现数学学科教育功能的一种主要的基本手段.
由于数学学科教育理念的演进，人们对数学教学也有了全新的认识.
首先，人们对教学有了全新的认识.用系统论的观点来分析，教学是教师借助于一系列的辅助手段（教科书、直观教具、教学技术手段等）来实现的一种复杂的控制过程.教学与任何控制过程一样，包括信息的接收、加工、储存和信息传输.教师把他从大纲、教材、数学文献和教学法文献中得到的信息以及学生水平和思维能力方面的信息进行加工，形成教学的信息，并且使用一定的手段将教学的信息传输给学生.无论什么形式的教学，教师总是调控者，这决定了教师的主导地位.学生接受这些教学信息后经过自己的加工，再按照教师的要求用问答、练习和解习题的形式把关于掌握知识的质量和思维发展程度的信息反馈给教师，学生是受教育的主体，是受控者.在教学过程中有由教师到学生和由学生到教师这两个方面的信息传输.所谓从学生到教师的“逆联系”是教学过程的实质性的组成部分.在教学的每一步，不估计学生思维活动的水平、思维的发展、概念的形成和掌握教材的质量，就不可能进行有效的教学.以上关于一般教学的认识，由于数学内容的特点，对于数学教学更是这样.
其次，人们对数学也有了全新的认识.数学可以理解为一种思维活动（数学活动），也可表示这种活动的结果——理论.过去的教学只注重传授数学理论的初步结果，学生处于“用口袋装知识”的被动地位.而现在的数学教学则是研究以数学活动为名统称的那些思维活动的一个领域.由于学生在数学活动中的发现与数学家的发现，就思维过程而言，并没有什么本质差别，因此，数学学科教学的任务是形成和发展那些具有数学思维（或数学家思维）特点的智力活动结构，并且促进数学中的发现.所以我们认为：数学教学是数学活动的教学.
对数学教学的上述理解，既充分体现了学生在教学过程中的主体地位，也充分体现了对教师的主导作用的肯定.数学教学过程对主体——学生而言，就数学知识的认识来说，是个再发现的过程，而就数学思维的活动来说，也是一个再创造的过程.
因此，数学学科教育的本质更具体地说，就是以数学知识为载体，以数学教学为主要形式，以培育“科学文化人”为目的的育人教育.数学学科教育的本质制约着数学教学，而数学教学又是实现数学学科教育的主要的基本形式.所谓数学教学主要是指通过教师指导下的学生的主动的思维建构活动，学习数学基础知识，开发智力，发展能力，培养创新意识与用数学的意识.可见，培养创新意识是数学学科教育的核心.数学学科教育是实现公民素质教育的重要组成部分.
2.数学方法论与数学教育的实践探索
以上从数学文化角度对数学教育价值的思索，必然得出通过数学教育全面发展学生素质的结论.素质教育，是教育发展的必然要求.那么如何在数学教学中落实这一要求呢？如何改变头疼医头、脚疼医脚的状况，将这一要求变为教师自觉的行动，长期有效地进行下去呢？从数学哲学的高度认识问题，从事数学教育工作的有识之士从20世纪80年代就开始探索用数学方法论指导数学教学的理论与实践.
1982年，徐利治教授出版了《数学方法论选讲》一书，指出：数学方法论主要是研究和讨论数学发展规律，数学思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问.它是辩证的反映论观点在数学中的表现和运用，是科学方法论的一部分.徐利治教授指出，数学是兼有工具性和文化性的学科，有自己的突出的特点.“为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律，研究方法，发现与发明的法则等有所掌握.因此，数学研究工作者，数学教师，科技工作者，都需要知道一些数学方法论.”而对于怎样才能较好地研究和运用数学方法论的问题，徐利治教授提出了两点：一是要重视科学哲学的学习，因为数学方法论离不开正确哲学思想的指导；二是要认真学习、分析数学史特别是数学思想史，因为那是为数学方法论提供宝贵素材的重要源泉.
1979年以后，波利亚的名著《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》相继翻译出版，引起了国内数学教育工作者学习与研究的兴趣.王梓坤教授的《科学发现纵横谈》的出版、郑毓信教授的多部数学方法论著作的相继面世，对普及学习方法论都起了重要的作用.1984年暑假，联合国科教文组织中国农村数学教师在北京师范学院培训，笔者应邀讲授《数学解题方法论纲要》，与在场听课的杨世明老师相识.课后我们一起共商宣传普及波利亚的数学思想和推动在中学数学教师中开展初等数学研究的问题，着手筹划召开“首届波利亚数学教育思想研讨会”的事宜.1987年3月18日，徐利治教授复信杨世明：“您和周春荔先生等搞波利亚数学思想研究座谈会，我是十分赞成的.按波利亚思想观点改革数学教材与教学法是完全正确的，我支持这种事业”.
数学方法论一般分为两大块，一大块是宏观的数学方法论，它探索的是数学发展的整体规律，主要研究数学的性质、内容、方法与意义，数学哲学、数学美学、数学文化、数学的价值、数学家成长的一般规律，数学学派对数学发展的影响等.数学科学研究中的数学史分析法也属于宏观的数学方法论的范畴.另一大块是微观的数学方法论.主要研究数学工作者在数学研究中使用的方法论.比如分类讨论方法、抽象分析（数学建模）方法、“观察—猜想—证明”的数学思维链、数学构造方法、数学公理化方法、化归原则与关系映射反演方法、逻辑演绎证明方法、数学探索的合情推理（不完全归纳、拓广、类比）方法等，都属于微观的数学方法论的范畴.
恩格斯说：“数学是辩证的辅助工具和表现形式.”数学工作者的主要任务是研究数学，通过探索提出新概念，发现新问题，得出新结论，并且给予逻辑的证明.除此之外，他们还要总结数学的研究经验、思想方法、认识规律.比如，数论的方法、集合论的方法、公理化的方法、极限的方法等等.对这种方法的研究相对于具体数学问题的研究而言，或多或少地已经带有思辨的性质.进而还要回答自己对数学的看法，对数学发展规律、研究方法的认识，这些问题已经涉足于数学哲学范畴的思考，对数学的上述思考进一步可以升华为一般的方法论，丰富哲学的认识论.可见，数学方法论这一研究领域，属于数学与哲学之间的交缘地域——数学哲学，是联系数学与哲学的纽带.数学的新思想、新方法、新成果往往通过这一纽带为哲学提供养分，充实哲学的科学基础.哲学思想也经常通过这一纽带对数学的发展及研究工作产生一定的影响.
事实上，数学方法论，顾名思义，就是要对数学方法进行评价、议论，对方法之优劣，对数学方法的产生、发展、完善的历史，对它的地位、作用和应用前景等都要说三道四，指其要害，揭其本质，挖其所隐.尤其对思想线索和背景的评述，十分重要.因为这正是数学中易于迁移的因素，正是它的一般教育功能之所在.正如一位教育家所说：“即使是学生把教给他的所有知识都忘记了，但还能使他获得受用终生的东西的那种教育，才是最好的教育.”数学方法论的一个重要的价值，就在于帮助教师发掘数学中那种可以使学生“受用终生的东西”，并传授给学生，形成受教育者的受用终生的素养.因此，将数学方法论应用于数学教学，在我国落实素质教育中是急待从理论与实践相结合的角度开发的一项重要课题.
1987年在北京师范学院学科教育研讨会上，笔者发表论文《数学教育学与数学方法论》，并在1989年第1期《中等数学》杂志上公开发表，明确提出了数学方法论对中学数学教学的指导作用以及研究途径，指出：
数学教学过程，是学生在教师的指导下通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维能力的过程.因此，在数学教学中存在着教师的思维活动，学生的思维活动，还有一种或隐或显地存在于教材之中的数学家的思维活动.数学家的思维活动是凝固渗透在教材之中的，通过备课，被数学教师所体会、所发掘的东西，再通过课堂教学把它作为一种信息传递给学生，或由学生通过自学来获取这种信息，而这正是在数学教学中“能够意会但又不可言传”的那些东西.
数学教师是数学教学过程的组织者和积极参加者，起着调控教学过程的主导作用；学生是数学教学过程的主要参加者，是数学学习过程的主体.教师的教学艺术，在于使学习过程与发现过程同步，保证学生思维结构的形成与发展，使之愈来愈和数学家思维结构相似.要实现这一点，作为一个数学教师，必须具备数学方法论的基本知识，必须对数学家的主要思想方法有相当的了解，这样才有利于人才的培养.
1989年5月20～24日，在北京师范学院成功地召开了“第一届波利亚数学教育思想研讨会”.紧接着，江苏无锡教研室徐沥泉先生主持的“贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质”的数学教育实验正式开题，提出：“在数学教学中，教师遵循数学本身的发现、发明与创新等规律，遵循学生身心发展和认知的规律，力求使教学、研究和学习同步协调发展，并引导学生不断地自我增进一般科学素养，提高社会文化修养，形成和发展数学品质，全面提高学生素质.”此项实验简称为“MM教育方式实验”.杨世明和笔者都被聘请为这一实验项目的顾问.我们与李思文先生曾亲赴无锡听课，总结经验.1994年这一实验成果顺利地通过包括王梓坤、张奠宙、林夏水等专家在内的专家组的鉴定，MM教育方式的有效性已逐步获得各地教育界的认同，并先后拓展到天津、北京、湖北、河南、河北、新疆、内蒙、山东、福建、甘肃等地.特别是北京市朝阳区，将数学方法论指导数学教学与新教材的实验、多媒体辅助教学的实验结合起来，使一批年轻的教师迅速成长.数学方法论与信息技术结合，使学生在数学教学中可以看到运动变化，体验发现过程，这一前景是非常广阔的.近年来，数学教学方法的改革实验，犹如雨后春笋一般，各地搞的项目很多，轰轰烈烈，需要从理论上研究和探讨，以期使实验的成果是到巩固、深化和发展.2002年4月出版的《MM教育方式 理论与实践》一书，对此作了全面系统的总结.由这些数学方法论指导数学教学实验的成果，为我们提供了重要的启示.
第一点启示：成功的教学改革实验，必须以科学、先进的理念为指导.凡具有时代气息的数学教学改革，必然需要现代的、先进的理论支撑.目前看来，除了先进的教育学、心理学的理念（主要有人本主义的认知——情意整合论和建构主义学习观）以外，从数学自身而言，就是数学文化及数学方法论.
数学教学的任何改革，都不能离开数学这个载体.其中，数学思想方法是数学的精髓，是数学知识的灵魂.只有贯彻以数学思想方法为指导的教学，以数学文化为背景的教学，才能使学生学到活生生的数学，领悟到数学的精神、思想与方法，形成正确的数学观念，感悟到数学的真正价值.
在先进的教学理念指导下，具体的形式则可多种多样.可以是合作讨论课，也可以是开放问题课；可以是启发式教学课，还可以是研究性的学习课.任何的教学理念模式，都不是限制教师的教学模板，而是在具体实施中为教师留有充分的发挥自我创造性的空间.
贯彻MM教学模式的教学，首要的是教师教育理念的转变，以认知—情意整合理念分析处理教师与学生之间的关系，以建构主义学习观分析处理学习者与学习对象之间的关系，以数学文化及数学方法论来分析处理教师与教学内容之间的关系.只有以先进的理念来处理好以上各种关系，才能创造出优质的数学课，才能整体地、大范围地提高数学教学质量.
第二点启示：数学教学方法的改革，必须始终坚持以发展学生的数学思维能力为核心.在贯彻数学教学改革的模式中，要全面地辩证地处理好各种关系.比如，既要突出学生的主体地位，又要充分发挥教师的主导作用；既要强调培养用数学的意识，又要注意数学的相对理论体系；既要教猜想，又要教证明；既要动手，又要动脑.要明确认识到，培养与发展数学的思维能力是数学教学的核心.关键在于培养与发展学生的数学观念，形成“数学地”看待问题、处理问题的意识.数学教师都知道脍灸人口的“七桥问题”的故事.在17世纪的东普鲁士小城镇哥尼斯堡有一条小河流经市中心，河上有七座桥连接着两个河中小岛及河两岸.居民经常沿河过桥散步，于是有人提出这样的问题：一个人能否每座桥恰好通过一次（不重复无遗漏），回到出发地点.这个看似简单的问题，众市民反复试验均未成功.于是有人写信给当时在彼德堡科学院的几乎双目失明的数学家欧拉，请他帮助解决.欧拉并没有亲自去桥上走试，而是运用他的智慧将问题数学化、抽象化处理，等价地转化为一个图形能否一笔画的问题.欧拉用极为简单的数学推理就令人信服的证明了市民需要的走法不存在.1736年欧拉发表文章阐述了自己的研究成果，并且该问题的解决对图论及拓扑学的诞生具有奠定性的作用.令人深思的是，为数众多的双目健全的市民为什么抵不过一个双目失明的欧拉呢？归根结底，在于欧拉有着较强的理性思维能力，能够“数学地”看待问题.在这里我们看到了数学抽象的威力，数学用抽象思维把握事物的力量.如果说17世纪的广大市民还只处于一个反复实验的水平，那么在人类进入信息时代的今天，我们的受教育者不能只处于17世纪哥尼斯堡市民的水平，而是要成为有一定数学思维能力的、能够“数学地”看待问题的公民.我们的数学改革实验归根结底是为了发展学生的数学观念，形成“数学地”看待问题的意识.
一个没有理论思维的民族，不可能站在世界的前列.人类要认识世界，数学科学是中介.数学学科有自己的理论体系，数学的应用，说到底是数学理论体系的应用.数学的学习，重点是对数学理论体系的学习.数学是思维的体操，是一种关键的普遍适用的并授人以能力的技术，这里的数学所指都是数学理论体系.数学是培养学生创新意识、应用意识的良好载体，是体现逻辑最彻底的一门学科，是发展学生理论思维能力的投入少收效快的最好的演练场.要实现21世纪中华民族的伟大复兴，需要使我们的民族成为具有较高理论思维水平的民族，中学数学教育起着重要的作用.因此，中学的数学学习，应该是有相对完整的数学理论体系的学习.
第三点启示：要全面规划，统筹安排，通过实验，做到教学改革、师资建设、教育科研三丰收.贯彻数学教学改革模式，全面提高数学教学质量，进一步推进素质教育，是一项需要长期坚持、不断深化、与时俱进的数学教学改革实验，需要实验者具有团结协作、无私奉献的精神，不能急功近利.实验一定要结合本地区、本学校的特点，可以做大课题，也可以做小课题；可以全面实验，也可以部分进行.鼓励百花齐放，创造出具有自己特点的教学模式.要听得进不同的意见，大胆起用年轻教师上阵挑重担，通过实验，既要提高教学质量、出论文出成果，又要造就一支有较高业务水平的年轻教师队伍.
实践证明，用数学方法论指导数学教学，是推进数学素质教育、使教师与学生双赢的一个有效的途径.
总之，以先进的教育理论以及数学方法论为指导，结合自己的教学实际，借鉴与创造相结合，精心计划，认真实践，不断总结，与时俱进，在21世纪数学教育改革的舞台上，一定可以画出美丽的画图.我国的中小学数学教学，一定会再造辉煌！
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