教学：从消除教学混乱到思想启蒙&以“认知比”为例_数学论文

教学：从授业解惑到思想启蒙——以“认识比”为例，本文主要内容关键词为：为例论文,思想论文,授业解惑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、比较思辨，感悟“为什么学习”

      师：今天的数学课从一个一年级的数学问题开始.

      （课件出示情境：两个摆设一样的阅览室，哪个阅览室的人多）

      生：10人的阅览室人多.

      

      （师点击课件，出示问题2：哪个阅览室拥挤）

      生：人多就会拥挤，所以10人的阅览室拥挤.

      （极少数学生还举着手）

      生：我觉得不一定.如果那个阅览室面积也大，不见得就拥挤.

      师：哦，你的意思是面积大了，就不拥挤.哪个阅览室的面积小，哪个阅览室就拥挤.

      生：不是的，看是不是拥挤，不能只看人数多少，也不能只看面积大小.

      师：什么意思？

      生：要把人数和面积合起来比.

      师：那就叫“两量结合”吧，怎么样？

      师：思路清晰后，老师把条件补充完整.现在请大家比比看，哪个阅览室拥挤？

      

      生：20÷10=2（

），12÷6=2（

），所以一样拥挤.

      生：还可以这样来比：10÷20=0.5（人），6÷12=0.5（人），也是一样拥挤.

      师：“两量结合”，把相关的数加以数学处理，你们刚才是怎么做的？

      生：就是把两个数相除.

      （随着学生的回答，在“两量结合”的下面板书“两数相除”，两个词间用箭头相连）

      师：周密思考，能让我们更清楚地把握方法的价值.说起两个数之间的计算，还可以相加、相减、相乘呀！

      生：“几个人”加“多少面积”，没法加.相减也是的.

      生：“几个人”乘“几平方米”也没有什么意义.

      师：你们刚才的回答，一再表达“人数”和“面积”是两个不同的量，它们只能相除.那如果是两个“同类量”间的结合会是怎样的呢？我们来看下面这个问题.

      （师出示：学校举行植树活动，五（1）班出席了35人，四（1）班出席了32人，哪个班来的人数多？哪个班出席的情况好）

      生：五（1）班来的人多，但不能判断这个班出席情况好一些.

      师：来的人多，那不就是出席情况好吗？

      生：那还要看这个班一共有多少人.比如说，五（1）班一共有60人，而四（1）班一共才32人.

      师：举例就把道理说清楚了，真厉害！那谁来总结一下，我们是怎么解决这两个问题的？

      生：看“哪个班来的人数多”，直接用“人数比”；而要比较“哪个班的出席情况好”，需要把“总人数”和“出席多少人”结合起来.

      师：大家看，又必须“两量结合”了.如果五（1）班总人数是60人，四（1）班总人数是40人，下面你该怎么办？

      生：还是把两个量相除.

      师：现在都是人数了，难道就不能相加、相减、相乘吗？

      生：“来了35人”加“一共60人”，这求的是什么呀？不能相加，相乘也如此.

      师：那相减呢？

      生：也没有意思.

      师：真是如此吗？

      （学生开始迟疑，一会儿有人举手了）

      生：可以相减，“总人数”减去“来了多少人”等于“没有来的有多少人”.

      生：可以相减，但你也不能用“没有来的有多少人”来说明“哪个班出席的情况好一些”，还是要和“总人数”结合起来比较.

      师：实际上，生活中还有很多这样的例子，需要把两个量结合起来进行比较.这时，一般要用“两数相除”的方法来解决，而用两数相加、相减、相乘往往不能解决问题.正因为如此，需要把“两数相除”从原先的旧知识中给独立出来，进一步去研究它.现在，两个数相除又可以称为两个数的比（在“两数相除”下面再板书“两数的比”，并用箭头连接）.关于“比”的其他知识，请大家自己来学习.

      二、自学交流，理解“是什么意义”

      结合老师给出的“阅读思考”，自学教科书例1、例2（苏教版《数学》六年级上册第68～69页）.

      阅读思考：

      1.例1中，2杯和3杯有相差关系，也有倍数（相除）关系，哪种关系才可以表示成两个数的比？

      2.3∶2的各部分名称是什么？

      3.例2中，900:16的比值是多少？表示什么意思？例1中3∶2的比值是多少？表示什么意思？

      4.你的疑问……你的发现……你的提醒……

      然后组织全班交流，分享自学所得，根据交流情况随机突出“比”的相关要点：各部分名称，比值的意义及求法，比和分数、除法间的关系，写“比”时注意前后项的变化.

      师：通过独立学习、相互交流，我们对“比”有了更全面的理解.从“比”的角度来研究两个数相除，它的价值还有什么呢？也许你们都没有察觉，解决数学问题，有时候必须去变.比如，如何计算“

”？

      生：要通过通分，把“

”变成“

”再进行计算.

      师：又比如推导平行四边形的面积计算公式，我们又是如何处理的？

      生：把平行四边形进行剪、移、拼，变成长方形.

      师：数学的运用就是如此，有时“变”是必需的，但与此同时，变化中一定要保持着某方面的不变.异分母分数变成同分母分数，不能随便变，两个算式的什么不变？

      生：最后的计算结果不变.

      （随学生回答板书：结果不变）

      师：为了推导面积计算公式，把平行四边形变成长方形，图形的形状变了，但什么没有变？

      生：面积不变.

      师：那这些和我们今天学习的“比”，有什么关系呢？

      （师出示：小明通过尝试发现，果汁和水按1∶10的比调成的饮料最好喝.星期天，家里来了6个同学，他也想调出同样好喝的果汁饮料给同学们喝，如果直接加20份果汁，那应该加多少份水.）

      生：应该加200份水.

      师：你能保证这样调出来的饮料也好喝？

      生：可以保证.原先是1份果汁，现在变成了20份，那水就要从原先的10份变成200份.

      师：也就是说，果汁和水的量都在变，但什么不变？

      生：果汁和水的份数比的比值不变.

      师：对，两个量之间的比值不变，我们就可以认为这杯果汁的甜度没有变.

      （师出示：喝完饮料，小明和同学们去足球场为中国队加油.体育场那么大的地方，要配大的国旗才带劲.如果国旗长240厘米，那宽该是多少厘米？学生一筹莫展，随便报出了几个数.）

      师：国旗是一个国家的象征，可不是随便做的，是不是觉得还缺什么？

      生：还应该告诉我们，国旗的长和宽之间是什么关系.

      （师点击课件出示：《国旗法》规定，国旗的旗面是长方形，长和宽的比是3∶2.）

      师：现在能确定国旗的宽了吗？

      生：3∶2的3看作被除数，现在变成了240，扩大了80倍，那么2也要扩大80倍，所以宽应该是160厘米.

      师：善于用旧知识来解决新问题，真会学习.此处应该有掌声啊！

      师：长240厘米，宽160厘米，就是长2.4米，宽1.6米.这样的国旗，对杨利伟来说可没有用.作为第一个上太空的中国人，杨利伟在太空中展开了联合国国旗和中华人民共和国国旗，但空间有限，只带了这么小的国旗.（课件出示杨利伟在太空舱里展开国旗的照片）你估计，这面国旗的尺寸有多大？

      生：我估计长2.4厘米，宽1.6厘米.

      生：那也太小了，长24厘米，宽16厘米差不多.

      生：我估计长30厘米，宽20厘米.

      师：不猜了，这么多手都举着.告诉大家吧，杨利伟在太空中展开的国旗宽10厘米，长是多少？

      生：长15厘米.

      师：为什么偏偏是15厘米呢？

      生：因为长和宽的比是3∶2，也就是比值是1.5，一个数÷10=1.5，这个数只能是15.

      师：真棒！又一个善于利用旧知识的同学.

      师：大家看，我们可以从不同的场合因素考虑选用大小合适的国旗，国旗的尺寸一直在变，但什么不变？

      生：长和宽的比值不变.

      师：曾有人说，数学就是研究变化中的不变.今天的学习，大家明白了：原来在数学的变化中，可以保持“结果不变”“面积不变”“比值不变”，以后我们可以自觉地抓住这些不变去进行变.好，下课！

      三、教学反思

      数学不是普遍真理的简单堆积，而是动态的、过程性的经验结晶.从哲学观点出发，任何数学知识都有两个方面：看得见的定义、运算等结论性东西，以及蕴含在过程中看不见的思想方法、情感态度等隐性成分.一方面，有形可感的东西总是比隐性无形的东西更容易被把握；另一方面，虽然说知识在，思想方法、情感态度也就在，但学习知识技能的时候，其间的思想方法不会自然而然地呈现出来.因此，即便理念上我们已经有了这样的共识，即“良好的数学教育”理应努力实现从“双基”到“四基”的跃升，但在实践中，要做到这点并不容易.通过本案例笔者试图表达，数学教学从知识层面上的授业解惑到思想方法层面上的启蒙渗透，可以在以下两个方面着力：

      其一，在知识本源处追问“为什么”.关于“比”，逐一琢磨它的相关要点，可以发现与学生已掌握的旧知联系紧密.它的意义和分数、除法相关，它的性质相当于分数基本性质、商不变规律，它的相关运算也不复杂.掌握了分数、除法的那些知识，再来学习“比”，无难可言.不过，这并不表示没有任何问题.你去询问学生：“还有什么疑惑？”多数学生都会问：“已经有了分数、除法，为什么还要有‘比’呢？”

      思量起来，两个事物的比较，有时可以拿人数、时间、质量的多少直接比.这时，两量间的相差关系、倍数关系都可以说明问题.物体间除了可以度量直接比较的属性外，还有不可度量的属性，比如房间的拥挤程度、饮料的浓度、图形的形状等，这些属性无法直接用某种度量单位进行测量，那要进行比较，相关量数的相除关系才是有效的途径.“比”的数学本质也就在于，赋予了物体不可度量属性的可比性.

      学习一个新知识，我们关注这个知识是什么、怎么运用，往往不去问“为什么”要创造这个概念.而“为什么”恰恰揭示数学知识体系中这个知识存在的合理性和必要性——在事物本源的地方去深思，才能把握所学知识的本质，才能看到思维的唯美风景.

      其二，在看似没有联系的显性知识间揭示“隐性联系”.尽管大家对“数学思想是什么”各有各的说法，但已经形成的一些共识可以为教学所用，比如思想是比知识更抽象、应用更广泛、更为本质的理性认识.这启示我们，课堂教学首先要基于知识，其次要超越知识，善于揭示不同知识间的隐性联系.而且，越是在看似无关的知识间建立联系，对数学的理解就越趋向本质；建立的联系越广泛，也就越接近数学思想的内核！

      著名数学教育家波利亚说：“解决数学问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直至最终成功地找到某些有用的东西为止.”仔细想来，小学数学学习中何尝不是如此呢？异分母分数加减，变换成了同分母分数才能计算；第一次计算平行四边形面积，变换成了长方形才能推导公式；烦琐的计算，设法变换成了特殊数（整十、整百等数）的相关计算才能简便……但无论怎么变，其中必有某个数学要素没有变，有了“比”的意义，也就多了一条进行数学变换的途径.因而，基于“比”的意义，跳出“比”的知识范畴，将表面看似没有联系的显性知识统摄在“数学变换”的思想方法下，让学生的认识从无意识走向有目的，也便自然促进了学生数学素养的提升.

      “四基”的提出，被学者认为是面对世界数学课程改革发出的中国声音.但作为课程，文本的描绘无论如何美好，只有变成课堂里学生能感受到的体验课程才有意义.日常教学中，要实现基于“双基”而又超越“双基”，在教学策略、资源挖掘等方面，我们还有很长的路要走.

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