构设数学问题的若干要求，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
问题是数学活的血液，也是数学思维活动的有机组成部分。好的数学问题源于学生的生活和学习实践，高而可攀，活而不难，充分体现着科学性、知识性、新颖性、趣味性、启发性、发展性要求，具有知识功能、教育功能和发展功能。为了满足不同层次学生的学习需要，充分发挥它们的智力水平，教师必须通过数学活动课这一有效形式，在基本要求之上，予以必要的补充，使那些爱好数学的基础较高的学生的数学天赋得到早期启蒙和开发。本文将从六个方面阐述在小学数学活动课中构设数学问题应遵循的要求。
1.科学性要求
数学问题的科学性是指叙述上简明，没有岐意，问题中出现的数学概念是已知的，运用的数学符号是标准的，使用的数学术语是规范的；条件充分且必要，不能再少，也不需要增加，体现数学的严谨与简单美；每一个问题都可以看作一定数学系统的子系统，因而题中的条件与所在系统的命题体系应是和谐的，并且题目本身的子系统也是和谐的；另外对于应用题的条件和结论还要符合日常生活经验，不能脱离生活实际；题意清楚、解法合理、形式优美（如简炼的语言、对称的结构、规划的排列、深刻的寓意、精巧的数据等），求解活动的展开和连接线索清楚，舒展自然，突出通性通法，避免数据或条件在非实质的枝节上作过多的纠缠，避免知识点的简单重复，做到“浅而不俗、新而不难”；作图要规范、正确。科学性是所有问题的共同特点，违背科学性的问题一定不是“好问题”。
2.知识性要求
数学的基础知识主要是指概念、法则、性质、公式以及由其内容所反映出来的数学思想方法。
数学活动课主要构设两方面的数学问题。一是基本题，主要是紧紧结合课内教学，加强“双基”，与教学的要求同步，与学生的水平协调，既不太浅又不超纲，为进一步数学知识学习和能力提高，奠定良好的基础，这类“基本题”并不同于课本习题，要略高一筹，主要体现在解题方法的灵活性和解题过程的简捷上。二是提高题，其特点在于：
(1)运用的知识方法不过少，更不单一。以此检查学生综合运用数学知识和方法的程度。
(2)解题门径较为隐蔽，但未必唯一。以此比试学生善于寻求解题思路的程度。
(3)条件具备但表现得未必全部明显。以此比试学生在认真、周密的思维品质上，所得到训练的程度。
由此看来，小学数学活动课问题的结构，对知识性要求除了分层训练学生正确、简捷地运用所学的数学知识和方法外，重要的还在于灵活运用数学知识，提高解决问题的能力。
例1 如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于＿＿。
分析 这道题对知识性要求有两点：一是熟悉整除的概念；二是会分解质因数。后者是解决问题的手段和方法，也是解决问题的关键所在。
解 先把4875分解质因数4875=3×5×5×5×13，因为两数的和是64，这两数只能是3×13和5×5，即39和25，所以这两数的差是39-25=14。
3.新颖性要求
小学数学活动课数学问题的构思，要根据少年儿童的心理特点，讲究形式活泼、思维方法灵巧，为学生所悦纳，使之情趣盎然，激发起进一步探索的欲望。问题涉及的知识点虽不多，但思维的成分应很高。要巧妙地赋于问题以新背景、新情境，引发出新思路、新方法，给人以耳目一新之感。
解 把蓝色的大小圆分别盖在红色的大小圆上，使圆心与圆心重合，我们立即发现：
①红色大圆面积比蓝色大圆面积大一个圆环；
②红色小圆面积比蓝色小圆面积小一个圆环；
③这两个圆环宽一样，都是2cm。
显然，大圆环比小圆环面积要大，因此红色两圆面积比蓝色两圆面积要大。
注：在理论研究和应用研究中，常常会遇到估值判断题。本题就是一道小小的估值判断题。此题自然有许多做法，我们的目的在于只要判断谁大谁小，直接计算的方法是不可取的，这里强调“灵巧”，巧在既要直观又要快，而且还要使人确信所得判断绝对无误。
4.趣味性要求
小学数学活动课的开展在于激发学生学数学、爱数学的积极性，使数学问题具有趣味性是实现这一目的的重要途径。
例4 两个人玩报数游戏，轮流报出1～10中的自然数，每人每次报出的数都与双方已报出的数累加起来，谁先使这个累加和达到100，谁就获胜。问采取什么策略确保获胜？
解 这个问题可采取倒推法来考虑，获胜者为了先达到100，就可先达到89；同样为了先达到89，就要先达到78；依次倒推，每次应占领的制高点依次为：
1、12、23、34、45、56、67、78、89。
因此确保获胜的策略是：
先报1：如对方报a(1≤a≤10)，则报(11-a)。
注：通过解决这个问题，可以使学生逆向思维能力得以解决，同时也是针对小学生好胜的心理、吸引学生的注意力、激发学生解题积极性的有效方式。
例5 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4(1/2)米，黄鼠狼每次跳2(3/4)米，它们每秒钟只跳一次。比赛途中，从起点开始每隔12(3/8)米设有一个陷阱。当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了＿＿米。
分析 这个新颖的问题，巧妙地将最小公倍数的概念融入一个生动活泼的问题情境之中，吸引着思考者自觉地运用所学数学知识去解决这一饶有兴趣的问题。
5.启发性要求
好的问题解完后，往往留给人无尽的思考，这种思考表现在能透过问题的本身，领悟和掌握具有更一般意义的数学思维方法，这种启发性是使问题具有卓越的智力价值的标志。
例6 一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的1/7；第二天它吃了余下桃子的1/6；第三天它吃了余下桃子的1/5；第四天它吃了余下桃子的1/4；第五天它吃了余下桃子的1/3；第六天它吃了余下桃子的1/2；这时还剩12只桃子，那么第一天和第二天猴子吃桃子的总数是＿＿。
分析 这是个逆向问题，顺向思考非常困难，若运用“正难则反”原则，逆推求解，就会顺利达到目的。
我们从最后的环节入手，倒过来思考，不难得到：
第六天吃了12只桃；
第五天吃了(12+12)÷(3-1)=12（只）；
第四天吃了(12+12+12)÷(4-1)=12（只）；
第三天吃了(12+12+12+12)÷(5-1)=12（只）；
第二天吃了(12+12+12+12+12)÷(6-1)=12（只）；
第一天吃了(12+12+12+12+12+12)÷(7-1)=12（只）；
所以，第一天、第二天所吃桃子总数是12+12=24（只）。
这个问题的解决，摆脱了旧的解题模式所产生的思维束缚性，启示我们要善于迅速而敏捷地重建心理过程方向（从正向思维转向逆向思维），灵活自如地从一种解题方法转换到另一种解题方法。
6.发展性要求
小学数学活动课从活泼的形式、丰富的内容，为广大少年儿童提供了丰富的数学“食粮”，使他们的理解、好奇心和学习的愿望能始终得到鼓励，使他们的数学能力和潜在的数学素质得以充分的发展。
(1)概括能力
这里的概括能力包括两方面含义：一是从特殊的和具体的事物中，发现某些一般的、已经知道的东西的能力（即把一个特殊纳入一个已知的一般概念）；二是从孤立和特殊的事物中看出某些一般的、尚未知道的东西的能力（即从特殊推导出一般结论，并形成一个新概念），实际上就是具体与抽象、特殊与一般的互相转化能力，这是一种辩证思维能力的启蒙教育。
例7 计算：
推广到一般情况：分子、分母分别添上相同的6后，结果仍为1/4。
上述过程由特殊情况入手，抽象概括出一般的结论，最后又将一般的结论运用到具体的情境中，整个思维流程是“具体——抽象——具体”，体现了学习过程中的两次飞跃。
(2)逻辑思维能力
具有这种能力的学生在表述思想时，因果关系很明确，能理解事物的前因后果，找出它的来龙去脉，有序地展开思维。
例9 红盒子比白盒子大，蓝盒子比黄盒子大，比黑盒子小；黄盒子比白盒子大；黑盒子比红盒子小。请你按从大到小的顺序排出这些盒子的顺序。
解 题中的条件较多，先把这些条件翻译成不等式。
红＞白
蓝＞黄
蓝＜黑（即黑＞蓝）
黄＞白
黑＜红（即红＞黑）
根据上面的条件，不难推出：
红＞黑＞蓝＞黄＞白。
注：某些问题，若将文字语言，转译成数学表达式，能起到使推理简便的作用。上面的推理过程实际上是“数学化”的过程。
(3)思维的灵活性和深刻性
思维的灵活性表现为善于从不同的角度和方面去思考问题。
例10 把一个正方形的一边减少20%，另一个增加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的面积是＿＿平方米。
解 法一：因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少20%，另一边将增加[1/(1-20%)-1]=25%，所以，正方形的边长=2÷25%=8（米），正方形的面积是8×8=64（平方米）。
法二：用字母表示未知数，建立方程解决问题。设正方形边长为x米，由题意得：
x[2,]=(1-20%)x·(x+2) 即 x=0.8(x+2) x=8 所以x[2,]=8[2,]=64。
法三：画出示意图，图中正方形ABCD与长方形AEGH面积相等，ABFE是公共部分，所以长方形EFCD与长方形BFGH面积相等。注意到：BF=(80%÷20%)FC=4FC，因此CD=4BH=4×2=8（米），正方形面积为8×8=64平方米。
注：法一、法二都是从整体考虑问题，法一关键是发现了“2米是正方形边长的25%”这一核心问题，法二利用的手段显得很简捷；法三是从局部考虑问题，并且敏捷地发现"BF=4CF"这一隐含条件，从而快速得出结果。
思维的深刻性表现在：不满足停留在表面现象上，而是善于概括归类，抓住问题的本质和规律，预见事物的发展进程，把思维引向一定的深度和广度。
问题解决了，绝不能忽视解题后的思考这一环节。我们可以想一想：我能验证这个答案吗？能用其它方法解这道题吗？它的结论能推广吗？能将这道题目的结论或方法用于其它问题吗？……总之，解题后可供思考的内容是很丰富的，大致说有两方面：一个是验证、引深、推广结论，二是归纳、总结、应用方法。长此以往的训练，就会“小中见大、平中见奇”，不断引发出思维的“连锁反应”。
(4)空间想象能力
无论是黑板还是纸张，都是二维平面，在上面不可能画出精确的三维空间图形，这就使得空间想象能力成为一种必不可少的数学能力。
例11 有一个立方体，边长是5，如果它的左上方截去一个边长是5，3，2的长方体（如图），那么，它的表面积减少了百分之＿＿。
解 面对残缺的图形，通过“完形”操作，一个清晰、和谐的边长为5的立方体就呈现在我们眼前。原立方体的表面积是：5×5×6=150，减少的表面积是两块3×2的面积即减少3×2×2=12，所以减少的百分比是：12÷150=8%。
注：“完形”心理是较高空间想象能力的反映，如果缺乏这种能力，思维就无法扩张，只能停留在静止、表面的层次上。