袁邦珂 四川省内江市隆昌市第一中学校 四川 隆昌 642150
【摘要】在高考数学中往往会遇到很多经典不等式，利用这些不等式解决相应的代数问题，也需要运用导数知识去解决不等式问题并为下一步解题创造有利条件（如解决函数最值问题、函数单调性及有关函数零点问题），利用导数知识也可以证明一些在以前所学但老师在课堂上没有证明的问题，从根本上解决不等式的一些重点和难点。在本文中将采取使用求函数导数的办法证明部分经典不等式并对简单不等式进行推广和应用。
【关键词】导数；不等式；证明
中图分类号：G652.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2020）05-144-02
不等式问题一直以来是高考数学重的重要考点，几乎出现于所有省市的高考题及模拟题中，当然这也是高中学习的难点之一。
为什么是重点？因为在不等式问题中不论在内容还是考察形式都是极其丰富的，可以很好的检验高中学生的数学基本能力，数学素养及逻辑思维能力。为什么是难点？因为在不等式的证明和应用中对高中学生都是要求较高的逻辑思维能力，难度较大。又由于高中学习过程中往往都是采取老师讲授，老师证明的方式多数时候都是老师代劳使得学生在不等式证明题中没有系统针对性的训练，导致学生往往在这类问题中比较害怕。下面本文将利用导数相关知识对一些经典的不等式进行证明。
一、相关概念
1、导数的概念
设函数在的某邻域内有定义，且在该邻域内，则函数在点处导数定义为
当且仅当上述极限存在时，函数在点处可导[1]。
2、高阶导数的概念
，
其中为整数，且在的某邻域内有定义，也在该邻域内[1]。
3、极值的概念
设函数在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于点的点，都有
（或）
则称函数在点处取得极大值（或极小值），极大值与极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点[1]。
二、导数在不等式中的证明与应用
1、导数在不等式中的证明方法
本文以以下一些例题为例。
例1.设a、b为实数，则有以下不等式成立。
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，，
，
在本例中的基本不等式是我们高中学习中常见的三个不等式，可将上述不等式推广为离散情况下：设为实数，则
连续情况下：设在上可积，则
[2]
（二）链接高考
上述在利用导数性质对高中阶段一些经典不等式的证明，利用上述思路可总结出在高考当中会采用到的两种基本方法。
1、利用函数的性态（单调性、极值、最值等）
此类一般采取如下思路：
若有，则有；
若有，则有，
当时，单调递增
当时，单调递减
当，时，正负不确定，此时可根据考虑凹凸性。
设在内有唯一极值点，则为极大值点时，，为极小值点时，成立。
例2、证明当时，。
证明：令，则时
。
令，则，判断不出正负。
再令，则
，
得证
2、利用常数变量化证明不等式
如果欲证的不等式中都是常数，则将其中一个或者几个常数变量化，再利用导数工具去证明和计算。
例3、设，证明。
证明：我们可以有三种常数变量化的思路
化成“齐次式”：，其中，当然第三种思路最为简单，以第三种思路为例证明不等式成立，由上可得
令，则
然后再令回，即得证
结束语
不等式在高考中属于较难的知识点，本文就上几种简单的方法证明一些简单经典不等式，而其中将不等式转化为函数，利用导数求函数的性质证明不等式是一种重要的方法，而导数及其应用也是微积分学的重要组成部分，在高中阶段它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想。总之，导数不仅使学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础。因此，通过导数的应用，我们深刻的意识到在高中阶段为学生开设导数及其应用的深刻的意义。
参考文献
[1]华东师范大学数学系，数学分析[M].高等教育出版社，1981.
[2][美]波耶.微积分概念史[M].上海：上海人民出版社，1977.
论文作者:袁邦珂
论文发表刊物:《中小学教育》2020年5月1期
论文发表时间:2020/5/7