初中学生已经学过锐角三角函数，在直角三角形中用边长的比来刻画。三角函数是基本初等函数，它是刻画周期变化现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。与其他初等函数的学习一样，学习任意角的三角函数，关键在于让学生理解它的概念、图像和基本性质，并能用三角函数解释一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题。本节课基于初中学习锐角三角函数的基础，用单位圆来进一步深入的研究三角函数，为诱导公式的推导，研究三角函数的图象和性质以及三角恒等变换打下了坚实的准备基础。
二、教材地位与作用
三角函数是高中数学的重要内容之一.它是学生学习的一些简单函数的延伸和拓展；在教学过程中，学生对这个概念的认识经历了直观感受、文字描述和精确定义三个阶段，从而为高中的后继课程打下基础，与不等式、导数有紧密联系.
过去教材习惯于用角的终边上的点的坐标的“比值”来定义，新教材则用单位圆来定义。相比而言，用单位圆上的点的坐标定义三角函数有诸多优点。定义三角函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横纵坐标）之间的对应关系显得更为简洁明了，突出了函数的本质。其次，使三角函数的数形关系更直接，为后面的三角函数线与定义间的联系更为直接。更有利于用数形结合的思想去探讨三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系、诱导公式、单调性、周期性、对称性及最值等。
三、教法学法分析
建构主义教学理论认为：“知识是不能为教师所传授的，而只能为学习者所构建.”也就是说，教学过程不只是知识的授受过程，也不是机械的告诉与被告诉的过程，而是一个学习者主动学习的过程．因而，考虑到学生的认知水平，本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以探究研讨法为主，结合讲练结合法、谈话法等展开教学.教材在给出了三角函数的定义后，并没有直接给出它们的定义域和函数值的正负，而是设置了“探究”，留给了学生主动学习的空间，引导学生通过自己的思维活动得出结论
四、教学过程
1、问题切入，追寻历史
李文林认为“数学史研究具有三重目的，一是为历史而历史，即恢复历史的
本来面目；二是为数学而历史，即古为今用，洋为中用，为现实的数学研究的自
主创新服务；三是为教育而历史，即将数学史应用于数学教育，发挥数学史在培
养现代化人才方面的教育功能”。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆[ 数学史概论[M]. 高等教育出版社 , 李文林, 2011]三角函数的起源是什么？为什么要引入三角函数？
约公元前140年，希腊希帕霍斯采用经纬度来确定天球上星的位置；制作一个和三角函数表相仿的“弦表”。约62年，希腊海伦给出用三角形三边长表示面积的公式（海伦公式）。约100年，希腊梅涅劳斯著《球面学》，是三角学的奠基作，提出球面三角形的梅涅劳斯定理（Menelaus'?theorem）。约150年，希腊亚历山大的托勒密（Ptolemy，约100-约170）著《天文学大成》，发展了三角学，是古代最有影响的天文学著作。499年，印度阿耶波多(Aryabhata)著《阿那波多历数书》，总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识；有弧度制的思想。约1250年，阿拉伯纳西尔丁开始使三角学脱离天文学而独立。约1325年，英国布雷德沃丁将正切、余切引入三角计算。1464年，德国雷格蒙塔努斯著《论各种三角形》(1533年出版)，是欧洲第一本独立的三角学著作，其中出现正弦定律。1583年，麦芬克（T.?Fink,?1561-1656）首次给出三角学中“正切”等名称。1595年，德国皮蒂斯楚斯（B.Pitiscus,1561-1613）创用“三角学”一词。
2、情境创设，逐层剖析
环节1：初中时我们已经学过锐角三角函数，你能用直角三角形的三边的关系表来表示锐角三角函数吗？
设计意图：引导学生从原有的认知基础出发，来认识任意角的三角函数。
环节2：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
设计意图：引导学生用坐标法来研究锐角三角函数，教师在直角三角形所在平面上建立适当的坐标系，画出角的终边，引导学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数。
环节3：能否取适当点而将表达式简化？
设计意图：体现简约思想，并为引出单位圆奠定基础。
3、新知探索，构建概念
1.任意角的三角函数的定义
显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数。如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即 ；（2）叫做的余弦,记做,即；（3）叫做的正切,记做,即。
思考1：在上述任意角的三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有何特点,函数值是什么?
(1)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数.
(2)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.
（3）正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数我们将它们统称为三角函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一 一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。
四、教学反思
任意角的三角函数定义需要经历逐渐化归的过程，即由直角三角形中边的比到直角坐标系中坐标的比再到用单位圆上点的坐标定义三角函数，这样才能使学生的学习建立在已有认知经验的基础上，对任意角的三角函数的定义的理解才能全面、深刻，并对比函数的定义取理解。
论文作者:叶占忠
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年17期
论文发表时间:2020/1/15
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