传统推理与两个演算之比较研究，本文主要内容关键词为：传统论文,两个论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
内容提要 本文从语义学、语用学、语形学等各方面对传统推理与两个演算间的诸种差异进行了较为详细的剖析，说明它们各有不同的研究对象和领域，在整个逻辑科学中各有着不同的地位和作用，是不可能互相替代的，从而对那种以数理逻辑取代传统逻辑的作法和观点提出了批评。
传统逻辑是由亚里士多德创立，并由后人加以发展的形式逻辑体系和理论，其中发展得最为充分和完善的部分是演绎推理。数理逻辑是在传统逻辑研究的基础上，于十七世纪以后萌芽、建立起来的符号演算的形式系统，它通常指命题演算和狭义谓词演算，简称为两个演算。
数理逻辑学家普遍认为，数理逻辑是关于有效推理的学说。皮尔斯指出：“对逻辑所下的定义几乎有一百种。但就我们所知，最普遍的定义是把逻辑定义为关于推理的科学。”①科庇也说，逻辑的研究就是“用来区分正确的推理和错误的推理的方法和原理。”②苏佩斯亦言：“狭义地，逻辑是关于有效论证的理论或者演绎推理的理论。”③此外，还有一些类似的说法。可见，数理逻辑的核心是逻辑形式系统的符号演算，所谓两个演算实质上是对传统逻辑演绎推理形式（以下简称为传统推理）的刻划。那么，两个演算与传统推理有何关系呢？限于篇幅，本文仅就其差异方面进行讨论，以期厘定它们各自不同的涵义。
一
传统推理是人们日常思维中最常用的一种重要的思维形式，它首先是人们从已知获得新知的工具。因此，在论证中不允许循环，即由前提必然能推出结论，而前提的成立不能依赖于结论，换言之，推论的前提是结论的充足理由——当前提是真的，就能从前提必然推出结论。例如，当给定了“如果天下雨，那么地湿”和“天下雨”这两个前提时，我们就可以根据假言推理的规则断定“地湿”这个结论，而不需到户外去察看是否确实“地湿”。
有人认为，传统推理形式可以在数理逻辑中得到刻划，两个演算中的某些定理可以理解为传统逻辑的某些推理形式，因此可以用数理逻辑取代传统逻辑。殊不知，这仅是表面上的相似而已，它们有着本质上的差别。
两个演算实质上是关于函数的。真值函数的根本性质在于，只有确定了变元的真值，才能确定函数的真值。一个演算式只有首先确定公式内所有变元的值，最后才有可能判定该命题式是否为重言式。例如，命题蕴涵式：
①┣(p→(q→r))→(q→(p→r))
我们必须分别确定前件p→(q→r)和后件q→(p→r)各变元及其蕴涵式的值，才能得到整个蕴涵式的值。事实上，任何一个蕴涵重言式都具有这样的性质：确定前件真以确定后件真为必要条件，即在后件真尚未确定的情况下，不可能确定前件为真。前件真不可能独立于后件真的确定，因此后件与前件均为同一函数的不同变元，后件对前件来说只是在一定程度上重复前件的涵义，而不是新知。
狭义谓词演算也是如此。例如，演算式：
分别加以赋值，然后才能确定该演算式的值。
所以，尽管两个演算可以在形式上刻划某些正确的传统推理形式，但是两个演算与传统推理毕竟不同，不能因其表面上的相似而忽视其内在的本质区别。传统推理关系不同于纯形式的蕴涵关系，它具有更为丰富的内容，它首先是人们由已知进入未知的认识方法和手段。而两个演算中的公理、定理都表现为函数关系式，它必定先确定所有变元的值才能确定整个公式的值，蕴涵式的后件对前件不是新知。结论只是部分或全部地重复已断定的东西。可见，两个演算不能对一般的推理类型有本质的和全面的说明，它决不能代替对传统推理类型的研究。
二
在语用学上，传统推理必须符合前提的真实性要求和推理的有意义性要求。在传统推理中，各种各样的判断以一定的方式相联系，从而构成一定的推理类型，而各判断之间的联系并不是无缘无故的，总有其一定的客观根据。从各种推理的产生过程来看，它们都来源于对各种具体推理的抽象，只有从正确的前提出发，我们才能保证推理的客观必然性。
③人都是会死的，
④会死的都是人，
张三是人，
狗是会死的，
所以张三会死。
所以狗是人。
上两例都是直言三段论，例③的前提所断定的关系是正确的，只要其推理形式正确，就能推出正确的结论，从而该推理必然有效；例④的大前提所断定的关系是不正确的，尽管其推理形式正确，但所推得的结论却是错误的，因而该推理就不是必然有效的。所以，传统推理要求其推理前提必须真实。
所谓传统推理的有意义性要求，就是要求推理的前提之间或前提与结论之间的联系应当是有意义的，无意义的“推理”不被允许。
⑤2+2=4，
雪是白的，
所以2+2=4且雪是白的。例⑤是一个联言推理的组合式，尽管它的两个前提都是真实的，但是两个前提之间并没有意义的联系，作为结论的联言判断的肢判断之间也没有意义的相关性，因而该推理是无意义的。
数理逻辑研究推理，则完全舍弃了传统推理中这两个语用学要求，它从完全不同的眼界入手。顾名思义，演算是数理逻辑的主要特征，离开演算，数理逻辑就不可能存在，也不能解决任何问题，而演算的过程表现为符号的变换。
可以看出，在例⑥的演算过程中，我们所注意的只是符号的不同组合和转化，而与符号所可能代表的涵义无关，换言之，符号只是一种表示函数自变元的符号（即命题变元），不表示其它意思，因此，与传统推理不同，两个演算没有表达前提的真实性和推理内容在意义上的相关性这些逻辑语用学要求，仅注意符号的变换。
三
传统逻辑着重研究的是思维的形式结构，而思维的形式结构有着一定的客观根据和语言表达形式，它要求作为研究手段的语言必须具有丰富的表现力才能表达复杂的思维形式，这种语言只能是自然语言。因为自然语言具有信息容量大、表现力强的特点，适合于表达对思维形式结构的复杂整体的研究结果。在传统推理中，不仅表示一种由前提到结论的形式推导关系，而且还表现为内容上要求前提之间或前提与结论之间应有意义的相关性。尤其是二难推理，它既有形式结构上的要求，又有对其构成式的内容有特殊联系的要求，表明那种若选其一都会使之陷入进退维谷的势态，这些要求，如果离开自然语言都是难于做到的。自然语言最适于传达思维的深度和细微的差别。诚然，自然语言的信息容量是靠复杂化和精确不够得来的，但只有自然语言才能表达足够大的信息量，同时，又因为自然语言有一定的冗杂量，因而它才能表达新思想，而这也是逻辑理论发展的语言准备。总之，由于自然语言所天然具有的丰富表现力，使我们能很方便地用来表述一系列的推理过程及其研究结果，这是逻辑研究中的事实。
与传统逻辑不同，在数理逻辑中常用到的是形式语言，即人工的符号语言。两个演算研究真值函数和命题函数，描述函数之间的关系，所使用的语言必须是十分精确的，其意义必须是确定专一的，以防止任何哪怕是非常微小的曲解和意义转换。而且，数理逻辑研究必须抛开具体系统的特殊意义，而用较纯粹的方法进行比较方便和精确的研究。符号语言正好具有这样的特点，它由人工编造，只发展了自然语言的某些方面，撷取了自然语言意义中的某些要素而表达专一的意义，所以比较公理化，能将表达的思想尽量简明地写出来并用一种方式来理解，一类符号语言只能表达一种唯一的信息，使得符号语言成为数理逻辑研究函数关系的主要工具。
形式语言所传递的信息容量少，构造严格，表达精确，因而它的使用范围受到严格限制，不能取代传统逻辑对自然语言的研究。运用符号语言必不能研究与其相对应的元语言，亦即总还存在着一层不能为符号语言所表达的基本语言。因此，无论运用什么样的符号语言都不能真正研究和表述人类最根本、最天然的涵盖人类思维形式结构全部特征的自然语言。
长期以来，人们一直认为越精确就越正确，要正确就必定要精确，这实在是一种将问题简单化的偏见。根据诺依曼的不兼容原理，在信息处理过程中，高精确性与高复杂性是不能兼容的，正确性并不等于精确性。正确性只是表示认识与对象相符，但达到这一目的途径却不止一条，通过把握高精确的特征与把握高复杂的特征，都是同样可以达到正确的。如果要一般思维保持相当高的精确性，那么就必然要全面排斥自然语言，代之以严格的形式语言，必须从根本上降低人的思维本来就具有的复杂性，但这是根本不可能的。人类思维和自然语言复杂性的息息相关是不可变更的客观事实，规范思维的正确性必须从人类思维的根本特点——复杂性出发，这就只能使用具有复杂性的自然语言。
四
数理逻辑的两个演算是完全符号化、形式化的。传统逻辑在表述推理的形式结构时，也采用了一些符号表示逻辑变项。那么，这两类符号式有何差异呢？
首先，引入符号的原因不同。传统逻辑引入符号有两方面的原因：其一，在研究自然语言中概括出逻辑形式，这种逻辑形式往往可以直接用自然语言表达，符号的引入只是为了简明性起见；其二，逻辑本身的抽象特征和工具效用以及十七世纪以来数理逻辑的重大影响，使得传统逻辑吸收现代逻辑运用符号的研究成果来改进传统逻辑的推理形式。数理逻辑引入符号也有两方面的原因：其一，为了克服自然语言的歧义性和不系统性，引入普遍符号语言和数学方法，以保证逻辑的严格性、精确性，使思维推理亦如数学一样可以进行演算；其二，十九世纪以来数学的迅速发展，加深了对符号语言在逻辑系统中的地位和作用的认识，极大地促进了数理逻辑的形式化、符号化。
其次，符号的性质不同。传统逻辑的符号是对自然语言表述的逻辑形式的简明标示，缺乏数学思想和方法的引入，不重视系统地研究分析逻辑形式结构中的常项和变项的区别，尤其是忽视常项中的量词，没有变域和限制，缺乏相容的解释，难以被运用来构造逻辑演算系统。因此，传统逻辑引入符号往往只是辅助说明和简化自然语言，在一定程度上可以说没有超出自然语言。而两个演算的基本符号是人工设计的，属于形式语言系统的初始符号，具有严格性和精确性，它所引入数学中的函数概念对变项有域的规定和赋值，不仅研究符号形成的合式公式的演绎关系，还对形式系统加以语义研究。这种符号不仅克服了自然语言的歧义性和模糊性的缺点，而且还是由其自身的变形所构造的，它是有着自足、完备和协调特点的形式系统的基础。
再次，符号的一般特征和作用不同。传统逻辑的符号由于自身的性质没有超越自然语言，不能克服歧义性和模糊性的缺陷，虽然具有简明性特征，但不严格性特征更为突出，限制着符号发挥作用。譬如，传统推理类型中以符号表示了逻辑变项，但变项之间不可任意组合，各种不同变项的组合要受到它们所具有的复杂要素的制约；传统推理类型的符号不具有独立性，只有与非符号的关于推理形式的各种要素结合起来，才构成完整的推理类型；传统推理没有给出可行的符号形成规则和变形规则，对推理中的演绎仅用自然语言给出规则，缺乏区分和系统的说明，降低了符号的规范性和可操作性，等等。而两个演算的基本符号是严格确定的，不再依赖自然语言就能自足地构建相容的形式系统，成为逻辑演算系统的基础，公理、定理中的符号式是语法演算的概念，其命题变元是真值函数的自变元，整个符号式表达了特殊的真值函数的关系，只要保证原赋的函数值，公理、定理中的一切符号变换都是有效的。由这些符号建构的逻辑系统在现代科学领域和一般的知识理论抽象研究中有着基础性的作用，是它们重要的研究工具。
五
有人认为，尽管传统推理与两个演算有以上的诸种差别，但它们至少在结构形式上是相同的，可以互相体现、互相对应。我们认为，它们在结构形式上仍然是有很大区别的。
首先，传统推理的结构并非都能归化为两个演算中的结构。
传统推理一般包括判断变形推理、对当关系推理、三段论和复合判断的推理等。事实上，这些推理结构并不一定能成为两个演算中的公理或定理。
判断变形推理要求变形后所得到的判断主项所代表的事物必须是存在的，不存在的事物不能作为判断的主项。比如，我们不能由“所有的机器不是永动机”经换位推得“所有永动机不是机器”，因为永动机是不存在的，这一要求在两个演算中得不到体现。
依据判断的对当关系中的从属关系、反对关系、下反对关系的推理，在两个演算中也没有相应的表达式。这些推理之所以成立，是建立在判断主项所指称的事物存在的基础上的，如果判断主项所指称的事物不存在，那么AEIO四种判断间的关系将大不一样。例如“所有仙女都是美丽的”(SAP)，它在数理逻辑中可理解为：
X(X是仙女→X是美丽的），既然其前件假（没有仙女），那么该蕴涵式为真。但是，“有些仙女是美丽的”(SIP)却是假的，因为它在数理逻辑中可化为：
X（X是仙女∧X是美丽的），其一个联言肢为假（仙女不存在），因而该联言式为假。可见，由SAP真推不出SIP真，由SIP假也推不出SAP假，这是与传统推理相悖的。而且，传统推理的对当关系不能同真的反对关系推理在数理逻辑中可以同真，不能同假的下反对关系推理在两个演算中也可以同假，在两个演算中，
（x是仙女∧x是美丽的）与x（x是仙女∧x不是美丽的）同假。而在传统推理中，SAP与SEP是不能同真的，SIP与SOP也是不能同假的。
三段论的四个格具体化为一系列具体的式，很难说在两个演算里有什么公理或定理与之相对应。例如，第一格的四个有效式AAA、EAE、AII、EIO，在两个演算中一般可以符示为：
但是，例⑦的四个公式并不能确切地体现三段论第一格中的四个有效式，因为在这里仍然涉及到主项存在的问题和语义解释的问题。前已述及，传统推理的表达式与两个演算中的符号式是有很大差别的。
同样，很多复合判断的推理也很难在两个演算中找到相应的表达式。不相容选言判断的推理在数理逻辑里根本没有涉及；作为特殊推理类型的二难推理，仅从形式结构本身，我们就无法在两个演算中得到这种规定和表现，它不能任意地表示为两个演算中的简单重言式。它所具有的逻辑特性、结构等都不能在数理逻辑中得到表述。
总之，许多传统推理形式在两个演算中是没有与之相对应的公理或定理的形式结构的，它们不能为数理逻辑所精确表述，不可能完全归化为数理逻辑的真值函数式或命题函数式。
其次，两个演算的结构并非都是传统推理的结构。
两个演算的公理或定理表达的是函数演算式，它们或者是重言式，或者是普遍满足的。根据演算规则，可以保证从重言式或普效式推出重言式或普效式，所推出的公式称为形式系统内的定理。这些定理的结构和传统推理的结构是大相径庭的。
⑧┣((P∧q)→r)→(P→r)V(q→r)
例⑧的逻辑语义是：“如果若P且q则r，那么或者若P则r，或者若q则r”。这个定理与传统推理的结构是有很大差别的。比如，“如果体检合格(P)，并且考试及格(q)，那么可以录取(r)”为一个真的假言判断，但是事实上，不能由这个前提推出“如果体检合格则可以录取，或者，如果考试及格则可以录取”的结论。这个结论是一个析取判断，分别从它的肢判断来看，其前件并不是后件的充分条件。
例⑨的两个公式就是通常所谓的“蕴涵怪论”，即假前件可以蕴涵任何真的假的后件，真后件可以为任何真的或假的前件所蕴涵，这两个数理逻辑中的怪论在传统逻辑中不可能是一个正确的推理形式。例如，“如果魔鬼当上了美国总统，那么会给美国人民带来福利”。这个判断的前后件没有条件的联系，由此作出的推理自然不是正确有效的。所以，并不是任一演算中的定理或公理都能找到与之相应的传统推理的结构。传统推理的结构显然是与两个演算中的公理或定理不同的。
传统逻辑与自然语言、日常思维有着内在的联系，通过自然语言，传统逻辑研究一般的、普遍的人类思维规范，注重日常思维活动中的逻辑形式及其规律，具有广泛的提高逻辑思维素养的实际效用。而数理逻辑是科学思维和追求思维严格性、精确性、形式化的结果，是抽象的和严格的科学研究的工具。我们从传统推理与两个演算之间的上述诸种重要的差异就可以说明，传统逻辑不可能被数理逻辑所完全表现和取代。本文对传统推理与两个演算之间的区别进行研究，其意义就在于使我们更充分地认识到，传统逻辑与数理逻辑有各自不同的研究领域和作用，从而有它们各自存在的价值，绝不能用一种逻辑代替另一种逻辑，以便有利于整个逻辑科学的完善和进一步的发展。
注释:
①皮尔斯：《逻辑》，1925年纽约英文版。
②科庇：《符号逻辑》导论，1979年伦敦英文版。
③苏佩斯：《逻辑导论》导言，1963年加利福尼亚英文版。
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