同课异构，异在何处——由课例“同角三角函数的基本关系”引发的思考，本文主要内容关键词为：函数论文,关系论文,异构论文,课例论文,在何处论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“同课异构”是指不同的教师面对相同的教材，结合所教学生不同的实际情况，根据自己的教学经历、知识背景、情感体验以及对学生的不同认知等建构出不同意义的设计，呈现出不同教学风格的课堂，赋予静态教材以生命活力的一种教学形式。“同课异构”关键在“异构”，因学生的差异而“异构”，“异”在课题的引入，“异”在知识的生成、深化和拓展等方面。在一次某校年轻教师教学公开课展示活动中，笔者听了两位教师关于“同角三角函数的基本关系”的同课异构公开课，教材都是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）》的内容，这是一节公式推导及应用的新授课。由于教师对教材理解的不同及对学生差异的认知不同，在教学上表现出不同的特色和不同的教学理念，教学效果也不尽相同。
一、学生差异分析
在与全体听课老师、执教老师和学生的交流中得知，该校是当地四类普通中学，生源质量较差。上课的学生平行分班，水平相当。学生的数学基础差，运算能力弱，理解问题的速度慢，学习欲望不强。
二、“异构”分析
1.课题的引入不同
两位老师都采用“问题引导探究”的教学方法，但问题的设置有很大差异。
甲老师教学片断1
师：我们已经学习了任意角的三角函数，给出一个角，我们就可以求出它的三角函数值，比如cos 120°等于多少？
生（少部分）：
。
师：如果知道了一个角的某一个三角函数值，能求出其他三角函数值吗？比如已知
，能求出sinα的值吗？
：可以先求出α的值，再求sinα的值。
：可以寻找角α终边上一点的坐标，再求sinα的值。
师：还有其他办法吗？
（一段冷场后，教师见无人回答，提示：寻找cosα与sinα的关系，由点的坐标构造直角三角形可得到什么？）
【设计意图】提出了已知一个角的某一个三角函数值能否求出该角的其他三角函数值的问题，意在探求同角三角函数的基本关系，明确了今后的学习目标。然后由构造直角三角形探究其关系，引导学生思考问题方向。
乙老师教学片断1
复习练习：(1)通过填空题复习各象限角三角函数值的正负以及30°、45°、60°的各三角函数值。
(2)下列各式的值分别是什么？
【设计意图】巩固象限角定正负，引导学生从特殊角三角函数的数据关系中通过归纳、推理，发现其中隐含的同角三角函数的基本关系，明确本节课的学习目标，由此凸显同角三角函数的基本关系的本质就是它们的函数值的关系，为后续探究准备了素材。
课堂教学必须面向全体学生，这是《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）的明确要求。要做到这一点，在教学设计时各个环节就要根据学生的具体情况而做相应的调整，也就是“同课异构”的“异”之根本所在。
甲老师的教学设计高起点，一开始就激起悬念，开门见山，直奔主题，思维跨度大，问题具备一般性和抽象性，需要学生具备扎实的数学基础知识、较强的运算能力、敏捷的思维能力和强烈的探究欲望才能顺利解决，对于重点中学的学生来说没有任何障碍。但对于数学基础差、运算能力弱、理解问题的速度慢、学习欲望不强的非重点中学的学生来说则是困难极大，他们的解题思路很难快速打开（由课堂上学生的冷场可预见），若长期实行高起点，甚至会使学生觉得数学很难学而失去信心。
乙老师的教学设计实行低起点，入口宽，在复习旧知识的基础上由特殊角三角函数值为切入点，让学生通过运算，验证关系、发现规律，采用由简单到较复杂的问题串激发学生的学习欲望。这不仅体现了缓梯度、螺旋上升的教学方法，而且体现了《标准》中要引导学生学会自主探究的要求，也渗透了由特殊到一般的思想，符合学困生的认知规律，学生更容易接受，这种设计更适合数学认知能力较差的非重点中学的学生，课堂上学生的反应也证明了这一点。因此乙老师的设计更适合数学认知能力较差的非重点中学的学生。
2，知识的生成——公式的导出不同
同角三角函数的基本关系式的导出，甲老师直接由单位圆、三角函数线及三角函数的定义导出，乙老师采用归纳—猜想—证明的形式导出。
甲老师教学片断2
师：你是怎样得到sinα和cosα的平方和等于1的？由单位圆及三角函数线能否得出？
（一段冷场后，教师提示得出。）
【设计意图】用单位圆和三角函数线构造直角三角形得出，勾起学生对三角函数定义的回忆，并重点强调，在“直角三角形”下的实质是运用勾股定理。
乙老师教学片断2
师：前面的复习练习第(2)题的①中各个角都相同吗？②中的各个角都相同吗？③中的各个角都相同吗？
生：相同。
生：利用角α终边上一点的坐标构造直角三角形可以证明。
……
【设计意图】由特殊角的三角函数值的数据关系式，通过归纳推广，猜想出平方关系及商数关系的一般结果，再证明结果成立，体现出平方关系中常数“1”不变性。在证明的过程中，凸显平方关系的本质是勾股定理，商数关系的本质是任意角的三角函数定义。
甲老师的教学设计采用单位圆及三角函数线的几何直观得出结果，具有一般性，需要较强的观察能力、扎实的几何基础知识和运算能力，对于思维能力强的学生更合适。
乙老师的教学设计由数据关系说明，从具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般，再通过合情推理和证明得出关系式，设计出“从内隐到外显”的通道，思维能力较弱的非重点中学的学生更容易理解和接受，也同时引导他们学会如何归纳、猜想，以及探究事物本质的方法。
学会提出问题、思考问题和发现问题比纯粹掌握知识更重要。《标准》将“合情推理”作为学习过程中的一个重要的推理方式，但这种推理能力的形成与发展并不是“自动化”的过程，需要教师提供足够的学习、想象素材，让学生有合适的“抓手”去爬升。另外，关系式的归纳形成也是本节课的重点，由直观感知来获得，从而引发学生的感知确认，促进学生的知识生成过程，这样设计是比较适合学生的选择。这一点从课堂教学中学生的反应情况足以证明。教无定法，能达到最好效果的方法才是最好的方法。因此，乙老师的设计更适合数学认知能力较差的非重点中学的学生。
3.知识的深化——对“同角”的理解及公式的应用不同
对“同角”的理解及公式的应用，两位老师都明确了角的含义，注重解题中的分类讨论及进行必要的变式训练。但对“同角”的理解，甲老师没有给出必要的练习，而乙老师则给出练习；在公式的应用方面，乙老师变式训练比甲老师多。
甲老师教学片断3
（两名学生板演，还有学生不会分类讨论，忘记各象限角三角函数值的正负。）
……
【设计意图】设置cosα的值，求sinβ的值，目的是构造认知冲突，剖析关系式成立的条件，激发学生思考，明确同角的含义。然后通过练习巩固公式的运用，掌握分类讨论思想在解题中的应用。
乙老师教学片断3
师：应用公式解下面两题。
（学生先做，然后教师点评：已知角所在象限，不用分类讨论。）
变式1：将例1中的条件“α是第三象限角”删除，如何求解？即已知
，求cosα和tanα的值。
（学生先做，然后教师点评：不知道角所在象限，要分类讨论。）
变式2：已知tanα=3，且α是第三象限角，求cosα和sinα的值。
（学生先做，然后教师点评：已知角所在象限，不用分类讨论。解法：将tanα转化为sinα和cosα，再利用平方关系和商数关系，用方程思想解题。）
【设计意图】由特殊到一般，由具体到抽象，层层设问，构造认知冲突，剖析关系的条件，进一步明确同角的具体含义，通过练习和变式训练不但让学生深入理解公式中字母的可变性和关系的稳定性，掌握公式的灵活应用及理解运用分类讨论思想和方程思想解题的重要性。
两位老师都在引导学生正确理解“同角”上下了很多工夫，也达到了一定的效果。
甲老师没有同角的辨析练习就直接进入例题讲解和练习阶段，练习中也缺乏变式训练，这对于数学能力不强的学生显然缺乏提高“双基”能力训练的机会，对他们今后的发展是不利的。
乙老师则通过由特殊到一般再由一般到特殊的例题和习题的变式训练加以巩固，让学生不但从形式上弄清“同角”的含义，而且从本质上理解“同角”的含义，问题的设置有梯度。循序渐进，适合学生的认知水平差异，这对于思维能力较弱的学生而言实有必要，也是夯实“双基”的要求。
公式的应用环节也是如此。重点学校学生的运算能力一般比较强，解题过程也规范。但非重点中学学生的运算能力较差，解题不规范，因此平时教学必须重视解题过程的规范性，重视数学思想方法的渗透。没有必要的训练是不行的。
另外，乙老师提供了“同角”的一个反方向训练素材，以此引起学生认知冲突，加深对知识的理解和掌握；也在训练中提供了变式练习，这些变式练习入口宽，保证大多数学生都能入手，并使学生掌握基本的结构与策略，教师从不同方向、多个角度引导学生体验探究，让学生在解题中辨析、矫正。因此，乙老师的教学设计更适合数学认知能力较差的非重点中学的学生。
4.知识的拓展——编题训练的跨度不同
两位老师都安排了编题训练，以此拓展知识，但详略不同。甲老师省略了很多中间步骤，实行大跨度，忽略编题方法的总结。乙老师关注学生思维，实行小跨度，关注细节和知识的生成，重视对编题方法的总结。
甲老师教学片断4
（一段冷场后，教师提示，仅有几位学生能写出，大部分学生还是写不出。）
【设计意图】将变式与编题结合在一起，特别强调变式的方法和技巧可以直接应用到编题之中。证明恒等式的实质就是正向或逆向运用关系式，本质都是关系的运用，从而加深对关系式的理解和灵活运用，也从中学会观察和分析式子结构，总结出证明恒等式的方法。
两位老师都重视编题训练，但在具体处理上，甲老师却对学生的认知水平差异估计过高，面对理解困难的学生缺乏必要的提示或铺垫，使大部分学生做不下去，以致课堂出现多次冷场，最后老师不得不自圆其说。
乙老师则选择了宽入口，降低梯度，循序渐进，先公式变形，再提示变形的方向和编题方法，或给予必要的提示或铺垫，缩小跨度，注重知识的生成过程。我们知道，三角恒等式的证明有一条思想与策略的主线：考察等式两边的角的结构、函数结构和运算结构的差异，统一形式，逐步消除两边的差异。乙老师在教学设计中践行这一指导思想，在教学中明确告诉学生如何进行等式变换、化简、变角优先、切化弦或统一函数名、运算结构的整体代换等变换策略。这样处理，学生不但学会了编题，而且也学会了逆向思考问题（就是证明恒等式），看似笨拙实是高明，学生也收获信心。因此，乙老师的教学设计更适合数学认知能力较差的非重点中学的学生。
《标准》指出：“高中数学课程应提高学生的思维能力。”要有效地提高学生的思维能力，就必须在教学设计时站在学生的立场上思考问题，认真研究学生数学认知水平的差异，尤其是不同学校、不同类型学生学习数学的差异对课堂教学的影响，设计出符合学生认知水平差异的教学内容。只有设计与学生差异相匹配的“异构”才能取得最佳的教学效果。这样才能让学生喜欢，让学生发现，让学生创新，让学生收获。