山东省寿光市上口镇第一初级中学 262700
二次函数是轴对称图象，其对称轴对于二次函数的单调性及其奇偶性都有决定性作用，在涉及二次函数图象与性质的诸多问题中是非常重要的约束条件。本文就二次函数对称轴在解题中的应用点拨如下：
应用一：在单调区间中的应用
对于开口向上的抛物线，其单调性在对称轴两侧为左减右增，对于开口向下的抛物线正好具有相反的单调性；反之，若已知对称轴的位置或单调区间就可以判断对称轴的位置或者抛物线的开口方向。
例1：已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，若f（0）＝f（4）>f（1），则（ ）。
A.a>0，4a+b=0
B.a<0，4a+b=0
C.a>0，2a+b=0
D.a<0，2a+b=0
解析：由f（0）=f（4）可得f（x）=ax2+bx+c的对称轴为x=- ＝2，所以4a+b=0；又f（0）>f（1），所以f（x）在对称轴左侧为增函数，故有a>0，正确选项为A。
点评：对二次函数而言，若有f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x）关于x= 对称。若在对称轴两侧的单调性为先增后减，则抛物线开口向下；若在对称轴两侧的单调性为先减后增，则抛物线开口向上。
应用二：不计算函数值，比较函数值的大小
二次函数在对称轴处取得最大值或最小值，对于开口向上的抛物线而言，距离对称轴越远，函数值越大；反之，当抛物线开口向下时，距离对称轴越远，函数值越小。
例2：设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0，x∈R）对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t）成立，在函数值f（-1）、f（1）、f（2）、f（5）中，最小的不可能是（ ）。
A.f（-1）
B.f（1）
C.f（2）
D.f（5）
解析：由f（2+t）=f（2-t）知函数y=f（x）的对称轴为x=2。当a＞0时，易知f（-1）＞f（1）＞f（2），f（5）＞f（2）；当a＜0时，有f（-1）＜f（1）＜f（2），f（5）＜f（2），故最小的不可能是f（1）。
点评：二次函数的单调性与对称轴相关，故与函数值的大小相关，根据值与对称轴的关系即可得出函数值的大小关系。
应用三：值域或者最值问题
对于给定区间上的二次函数的最值问题，要考虑到对称轴与区间的位置关系来决定最值的取得。
例3：已知函数f（x）=-x2+ax+b2-b+1（a，b∈R）对任意的实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若当x∈［-1，1］时f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（ ）。
解析：由题知，函数f（x）关于x=1对称，所以有a=2，f（x）=-x2+2x+b2-b+1=-（x-1）2+b2-b+2，则f（x）在［-1，1］上为增函数。当x∈［-1，1］时，f（x）＞0恒成立，只需f（-1）＞0，即b2-b-2，则有b＜-1或b＞2。
点评：恒成立问题一般转化为最值问题来解决，判断出对称轴与定义域区间的关系，即可确定最值。
应用四：利用对称性求二次函数解析式
例4：已知抛物线y＝2x2－3x＋m（m为常数）与x轴交于A、B两点，且｜AB｜＝ ，则实数m的值为（ ）。
解析：由题知抛物线的对称轴为x= ，A、B为抛物线与x轴的两个交点，故为方程2x2-3x+m=0的两根。由|AB|= 可得A、B两点的坐标分别为（1，0）、（ ，0），所以x1=1与x2= 为方程2x2-3x+m=0的两个根。由根与系数的关系可得x1·x2= = ，故m=1。
点评：由对称轴即|AB|的长确定交点坐标，由根与系数关系确定m的值，根据对称性来求解，化繁为简，简化了运算。
应用五：求图象交点的和
例5：已知函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，且f（x+1）为奇函数。当x＞1时，f（x）=2x2-12x+16，则直线y=2与函数f（x）的图象所有交点的横坐标之和为（ ）。
A.5 B.4 C.2 D.1
解析：由于f（x+1）为奇函数，其图象向右平移1个单位后得到f（x）的图象，因此函数f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，如图所示。由对称性可得x2+x3=6，易知x1=-1，故x1+x2+x3=5，故选A。
点评：本题考虑到函数的对称性，对于图象的交点横坐标之和轻松解决，相比直接运算节省了较大的运算量。
论文作者:李玉章
论文发表刊物:《教育学》2016年9月总第104期
论文发表时间:2016/10/25
标签：对称轴论文; 函数论文; 抛物线论文; 调性论文; 图象论文; 交点论文; 对称性论文; 《教育学》2016年9月总第104期论文;