一类两级DC/STORES库存系统模型与控制〔1〕，本文主要内容关键词为：两级论文,库存论文,模型论文,系统论文,STORES论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 引言
目前流通领域中，正在渐次推行以提高流通活动功能和生产率为主要目标的流通系统化。从物流管理方面看，根据系统化要求，必须努力实现配送中心（Distribution Center.即：DC）的作业自动化和时控管理，藉此加速实现物流的集中管理和流通设施及资源的合理配置。因此，配送中心将成为我国未来流通业的主要流通形态之一，必然导致全行业流通结构的调整。这样，如何加强DC存货的科学管理及适时配送，改善以DC为中心的多级系统物流质量，就成为库存控制一个新的研究课题，其应用前景和经济效益自不言而喻。
关于两级库存问题我们已做过一些工作〔2～3〕，近年来国外也有一些文献发表。本文这里主要研究的是一类具有N 个一级百货店和一个二级配送中心的两级库存系统。
2 系统模型构建
2.1 基本假设
（1）百货店和DC的库存水平实施周期性检查，库存控制采用s型补充策略，但DC的补充周期（又称：循环）是百货店补充周期的m倍（m为正整数）；
（2）补充的前导时间为常数，订货发生在本周期末， 货物到达则在下一周期开始之前；
（3）需求是随机变量且服从负二项分布（NBD），周期内各百货店需求相互独立；
（4）采取特别订购方式满足超额需求， 顾客愿意为此等待的概率为1－u，反之为u；
（5）DC的库存足以满足所有百货店在m个周期中的前m－1个周期的补充需求。当第m个周期结束时， 货物的“补充流”是直接从供应商经由DC到达百货店的。而在第m个周期间，来自百货店的特别订货， 必须由当前DC的库存现货来满足，否则便失去销售（lost sales）。
2.2 符号与术语
s、S——百货店级或DC级期初基本存货水平，百货店i 的基本存货为s[,i]；
h、H——百货店级或DC级单位物品维持费用；
r、R——百货店级或DC单位缺货损失费，指单位需求未满足而出现失去销售的费用；
D、D[,DC]——周期内百货店或循环内DC总需求；
d ——百货店级由于特别定货而发生的货物装运费和特别订单处理费；
W（s）——周期内由于正常补充和特别定货而产生的百货店对DC的总定货；
W[,ij]（s）——循环内第j个周期里，百货店i对DC的总定货；
X（s）——周期内百货店对DC的正常补充定货；
Y（s）——周期内百货店对DC的特别定货；
Y[,i]（s）——循环内最后一个周期里，百货店i的特别定货；
2.3 需求的负二项分布特征
对于x服从负二项分布，其概率密度函数为
（v+K－1
P｛x=k｝=f（kㄧp，v）=
v－1）p[v]（1 －p）[k]
（1）
分布函数则为
F（kㄧp，v）=1－B（v－1ㄧk+v）（其中：B（v－1ㄧk+v ）是
累积二项分布概率） （2）
当需求D=k时，且令p=x/（1+x），则有
（v＋K－1
P｛D＝K｝＝f（kㄧp，v）＝p[v]（1－p）[k] （v＋k－1
v－1）v－1）
x[v]（1＋x）[-v-k]
（3）
其累积分布函数为
s
F（sㄧp，v）=∑f（kㄧp，v）（其中：0＜p＜1；v＞1；k=0， 1，2， …） （4）
k=0
均值和方差则分别为
v
1
E｛D｝=v（1－p）/p=v/x和V[,ar][D]=v（1－p）/p[2] =──（1+──）
x
x
2.4 百货店期末库存和平均库存
（1）期末库存 由于前导时间为零，各周期期初库存现货为s。百货店的期末库存期望值为
s s
I（sㄧP，v）=∑（s－k）f（kㄧP，v）=sF（sㄧP，v）－∑kf（kㄧp，v） （5）
k=0 k=0
v（1－p）
引用式sf（kㄧP，v）=─────f（s－1ㄧp，v+1）[4]易推
p
ss
v v
∑kf（kㄧp，v）＝∑ ──f（k－1ㄧp，v＋1）＝──F （s－1ㄧP，v＋1）
（6）
k＝0k＝1 x x
v
I（sㄧP，v）＝sF（sㄧP，v）－── F（s－1ㄧp，v＋1）＝I（s
x
ㄧP，v）＋F（s－1ㄧP，v）（7）
这里s－I（sㄧp，v）是需求得到满足时的期望值，e（sㄧp，v ）则为未被满足的需求期望值。故有
v
e（sㄧp，v）=E[D]－｛s－I（sㄧp，v）｝=───－s+I（sㄧp，v ）
（8）
x
（2）平均库存 周期内平均库存水平为：A（sㄧp，v）=[s +I（sㄧp，v）].
（9）
2.5 周期内百货店期望费用
当百货店缺货，导致缺货费r的发生，其概率为u；倘若缺货采用特别订货的方式来解决，则会发生特别订货费d，此事的概率为1－u。
周期内百货店费用是由维持费与特别订货费两部分构成。故百货店费用期望值应为
c（sㄧp，v）=hA（sㄧp，v）+qe（sㄧp，v） [这里q =ru+d（1－u）]
（10）
2.6 百货店对DC的订货
百货店对DC的需求通常有：正常补充和特别订货。根据2.1 的假设，有
W（s）=X（s）+Y（s）（11）
在部分失去销售情况下，D＞S，X（s）=min[D，s]，D≠W（s），故D－W（s）就是“失去销售（lost sales）部分”。于是， 对式（11）两边求均值，得
E[W（s）]=E[X（s）]+E[Y（s）]和E[W[2]（s）]=E[Y[2]（s）]+2sE[Y（s）]+E[X[2]（s）].
（12）
于是，根据前面所推公式，有
在计算Y（s）时，一般可以考虑用两种不同的方法分别描述失去销售情况下的库存模型。第一种方法是：用固定比值u 来反映超额需求的失去；第二种方法则是把每次超额需求的发生与否视为一个伯努利试验。而将“成功”和“失败”分别对应于失去销售和特别定货。尽管这两种方法都具有相同的均值，但第二种方法具有更好的方差指标〔5〕。正因如此，本文采用第二种方法来分析“部分失去销售（partial lostsales）”情况。
设P[Y（s）=j]为特别订货需求为j的概率，于是
将式（18）代入（17），并利用式（6）可推得
由于这里的N相当大（N=50～100），根据“中心极限定理”，DC需求可用正态分布来近似描述。此时，正态分布的均值和方差应分别为μ（s）和σ[2]（s）。于是
I[,m]（S）是第m个周期再订货间隔期末DC的库存现货期望值。
在DC和百货店基本存货水平分别为s，S的情况下，循环内（m 个周期）DC费用的期望值为
这里的φ（yㄧs）是均值和方差分别为μ（s）、σ[2]（s ）的正态概率密度函数。于是，有N个百货店和一个配送中心（DC ）组成的库存系统循环内总费用期望值为
费用函数的最优解s[*]，可以通过“梯度－牛顿搜索法”来求解的〔6〕。S[*]则在s[*]求得后由式（32）确定。 藉此可获得系统的最优控制策略－（s[*]，S[*]）。
4 案例分析
本文采用文献〔5 〕的有关数据（表4 —1 ）。 三种代表产品（hypothetical products）有着不同的价格、边际效益、 维持费和缺货损失费及u值，且s=100，s[,i]=s。
4.1 系统状态：
（1）Ⅰ级系统，一次装运：存货均储存在百货店， 循环内百货店仅补充一次[m=1，S=0]；
（2）Ⅱ级系统，一次装运：两级存货优化平衡。 循环内百货店和DC各补充一次[m=1]；
（3）Ⅱ级系统，二次装运：两级存货优化平衡。 循环内百货店补充两次，而DC仅补充一次[m=2]。
4.2 DC对基本存货水平的影响
图4—1至4—3表明了三种商品的最优存货水平。为了便于和安全库存相对照，这里的最优存货实际上是用百货店和DC两者基本库存之和的最优基本库存与平均需求之比来表示。图中衬衫的安全存货最大，而钢琴则最小。可见u值大的商品，宜失去销售，要求较高的安全存货， 其相应的基本存货水平也较高。从需求率角度看，需求率越低，所需安全存货就越小。
图4—4显示出两级系统状态下百货店与DC间存货的分工存储情况。特别是：当循环内钢琴的平均需求v/x=0.5时， 其全部存货均应存放在DC之中，亦即所有钢琴需求的满足都必须建立在特别订货的基础上。但倘若DC无存货（如状态1），则在百货店存储钢琴仍是最优的。 所以，对于不同的系统状态，Ⅱ级系统DC有存货情况，较Ⅰ级系统或Ⅱ级系统DC无存货情况，有较低的基本库存水平。
表4—1 代表产品费用、概率及相关参数
衬衫钢琴电脑
缺货费(r) $ 8.00$ 50.00 $ 150.00
概率值(u)
0.950.30 0.80
维持费(h) $ 0.16$ 12.00 $ 20.00
特别订货费(d) $ 0.50$ 10.00 $ 10.00
需求参数:v=1.2和v/x=0.5,1,2,3,5,8,10,12,14
由此可知：不同特征的代表商品尽管同样在DC有存货，但它们各自的存货水平是不同的。而且， 即便是同一种产品， 在不同系统状态下DC有存货，若循环内补充次数不同，则其存货水平也将是不同的。
4.3 DC对最优服务水平的影响
图4—5显示了三种系统库存状态下钢琴的服务水平的变化。从中我们不难发现：尽管每种系统状态下需求是变化的，但其最优服务水平几乎接近常数。
表4—2列示了“Ⅱ级系统，二次装运”库存系统中各种商品的最优服务水平和由DC来满足需求的百分率。实际上，几乎所有顾客对衬衫的需求都是在百货店得到满足的，而钢琴的需求有16%是由配送中心交付的特别订货来满足的。不难理解，未被满足的钢琴需求（部分失去销售）约7%（6.86%=16%×（0.3/0.7）， 多是由于顾客不愿意等待特别订货而所造成的。
表4—2
衬衫 钢琴 电脑
综合服务水平 99% 93% 94%
特别订货百分率0.05%16% 2%
图4—6至4—8表明：在三种库存系统状态下，要达到同样（或接近）的服务水平所必须具有的库存水平。这里，我们以表4—2所示系统状态的服务水平为目标，选择各种系统状态下不同的基本库存以减少缺货费，直至达到目标服务水平。从上图可见：图中曲线的形状与图4—1至4—3的形状十分相似。所不同的，只是前者沿纵轴向下平移了一段。对于衬衫来说，由于DC处的存货，几乎使总库存量减少了一半。这说明：增加循环内百货店存货补充量是无益的。就钢琴来看， 和衬衫相仿，DC处的存货可使其总库存量减少三分之一，而循环内增加一次补充，则能使库存量再降低三分之一。而对于计算机来讲，DC处的存货虽同样可使其总库存量减少，但不明显。若在循环内增加一次补充则可降低库存近40%。
高质量的服务水平始终是零售商们重视和不断追求的目标之一。在库存控制方面，它需要依靠安全存货来保证，自然要求系统具有较高的基本存货水平（不论是百货店还是DC）。这势必导致库存费用的提高。解决这一矛盾的有效方法之一，就是增加循环内的补充次数。
5 结论
本文研究了一类具有N 个一级百货店和一个二级配送中心的两级库存系统，成功地构建出一类更具普遍意义的系统模型，并提出了一种获得系统优化控制策略的实用方法，从而为两级系统协调控制与管理提供了更为有效的理论支持。
在考虑需求特征时，本文不是沿袭传统研究方法，用泊松或正态分布来描述。而是根据连锁商业中配送中心和百货店顾客需求的特点，将需求的负二项分布特征引入两级库存系统模型。这是因为前者仅适于低需求率物品，而后者则对高、低两种需求率均有较好的适应性（文献〔6〕已有详细研究）。此外， 文中考虑更一般情形——允许部分失去销售（传统模式通常考虑“不许缺货”或“缺货不补”等极端情形），与其它研究结果相比，模型对库存系统的描述显然更加贴近商业实际。
本文选取了三种具有典型代表特征的实际商品为研究对象。通过分析它们在三种不同系统状态下DC的存货及其交货频率，对系统基本库存及最优服务水平等最优控制策略的影响，验证了本文所建系统模型的合理性。同时也表明模型具有良好的实用性及深厚的应用背景。
在此基础上，我们还可以从考虑资金时间价值出发，进一步研究两级库存系统的模型与控制问题〔1〕。
注释：
本文为浙江省自然科学基金资助项目，项目号：192012。
〔1〕本文1997年6月27日收到。1998年1月12日收到修改稿。