中印两国球积计算方法与微积分的发展，本文主要内容关键词为：国球论文,微积分论文,计算方法论文,中印论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
［中图分类号］N0 ［文献标识码］A ［文章编号］1000－0763（2008）02－0071－04
一、引言
在微积分发明以前，要计算出弯曲的球面所包含的体积，需要借助于其他的辅助手段。对古代中国和印度的数学家而言，球积的计算同样是颇为棘手的问题。中印两国由于地理位置相邻，生活环境相似，思维方式相近，两国的算法也呈现出某种相似性，比如同属东方算学体系，同样注重机械算法的应用，同样对计算球积问题发生浓厚的兴趣。但是在具体计算球积问题时，中国的学者却另辟蹊径，走了一条与印度学者完全不同的道路，他们没有求出球的表面积，却准确的求出了球的体积。印度学者则利用他们自己的正弦表，将球面进行分割，得出球面公式，再运用积分思想得到球的体积。由此看来：计算球积问题是两国微积分发展的分水岭，也就是说由于在处理球的面积和体积问题时，中国的算学偏离了微积分发展的主航向，阻碍了微积分在中国的发展。而印度由于妥善处理了球的面积和体积问题，因而扣响了发展微积分的门扉。
二、中国与印度球积的计算方法
面积与体积的计算导致了积分学的思想萌芽，这可以追溯到古希腊、古代中国和古代印度。数学家刘徽利用无限分割的思想解决了圆的面积问题，这种基于平面几何进行的“无限分割术”思想影响了中国几何百年之久。在求解球的表面积时，他感到束手无策，求解出的几种曲面都是错误的，因此无限分割的思想遇到了很大的阻力。他在求球的体积时，构造了一个非常完美的图形，开创了中国构造方法的先河，他借助于两个互相垂直相交的圆柱的公共部分，即牟合方盖，利用类比的方法，做出准确的猜测，为以后祖氏父子的研究奠定了基础。在刘徽之后，祖冲之之子祖暅，利用祖氏定理“幂势既同，则积不容异”和“出入相补原理”方法，在牟合方盖的基础上，解决了刘徽绞尽脑汁未果的球体积问题，得出了球体积的正确公式。从中可以看出在求解有关球的性质的时候，我国并没有涉及到微积分方法。
无论是刘徽还是祖暅，他们求解球积问题的基本方法是构造方法，利用数学建模的方式求得与原来的问题等价，借助于外来的力量解决几何问题。并且，刘祖二人在具体求解时，首先计算出了球的体积，而球的表面积成为历史遗留问题，直到清代才得以完全解决。印度则与之相反，他们首先求出了球的表面积，然后又求球的体积。关于球的表面积计算方法，8世纪的印度天文学家拉拉（Lalla）用公式S＝A·C来计算地球的表面积（这里A为球的大圆面积，C为球的大圆周长）。
对于这一计算方法，婆什迦罗二世（Bhaskara Ⅱ）认为它远离人们的直观感觉，而实际上球的表面积有可能比它的大圆面积的五倍要小。他猜想球的表面积应是大圆面积的4倍。为了验证他的这一猜想，他使用了两种方法进行证明，这两种方法都要引用正弦表。[1] 我们知道印度的正弦表在当时已经发展得非常完善，印度人民对它的应用已经相当娴熟，在这样的大环境下，婆什迦罗使用正弦表求球的面积是水到渠成：第一种方法：他以球面上的任何一点作为中心，作平行圆，将球分成基本的环状形，则形成的圆的半径逐渐增加，这样可以根据需要作任意多个圆，通常情况下，所作圆的数量要与已知的正弦值个数相同，这些基本环状形的面积总和就是球的面积。婆什迦罗用平行于底面的平面把半径为3438的半球分成弧间隔相等的24份，把相邻的截面圆之间的“带”看成圆台的侧面，求出各自的侧面积，其侧棱的长近似地用母线长来代替，各个截面圆的半径可直接从正弦表中查到。累加所得到的结果，与球的大圆面积作比较可知球的表面积是大圆面积的4倍。第二种方法：过球面的一对相反的极点，作经线圈，再作与经线圈相垂直的纬线圈，这样一来就把球的表面分割成许多的四边形，一般情况是将球的八分之一面作为研究的对象，这八分之一面被分割为经线方向有24条经线，纬线方向有24条纬线，两条经线和两条纬线相夹就是四边形，这些四边形可以看作是等腰梯形，梯形的上下底边根据正弦表都可以求出，梯形的高也可以求出，根据梯形的面积公式，可求面积，所有梯形面积的总和就是球的面积。
因此可以看出印度求球的表面积的方法是将球的表面积等量分割，利用他们十分熟悉的三角表，算出每一等份的面积，再将所有的等份相加，就会得到整体的面积。面积求出以后，很容易就求出了球的体积。印度婆什迦罗的求体积的方法与后来的开普勒的方法相同，他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分，所有圆锥的底面之和就是球的表面积，由于表面积已知，各个小圆锥的高都是球的半径，所以根据圆锥的体积公式得球的体积。德国天文学家、数学家开普勒（1571—1630）在1615年发表的《测量酒桶体积的新科学》中，采用“用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积”，但开普勒较婆什迦罗已晚了500多年。
三、希腊球积的计算方法
在古希腊，数学家欧多克斯（约公元前410—前347年）发展了安提丰的“穷竭法”，他认为：“设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，再从所余量减去比这个量的一半大的量，继续重复这一过程，则所余的某一个量将小于给定的较小的量”。[2] 欧多克斯的穷竭法可看作微积分的第一步，但没有明确地用极限概念，也回避了“无穷小”概念，并证明了“棱锥体积是同等同高的棱柱体积的三分之一”。[3] 古希腊著名数学家阿基米德（公元前287—前212）在《处理力学问题的方法》利用“平衡法”求解体积，即“在数学上就是将需要求积的量（面积、体积等）分成许多微小单元（如微小线段、薄片等），再用另一组微小单元来进行比较，而后一组微小单元的总和比较容易计算。只不过这两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。”[4] 因此，可以说阿基米德的平衡法体现了近代积分法的基本思想，阿基米德本人用它解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。比如阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式，即球的体积等于底面为球的大圆、高为球半径的圆锥的4倍。在利用平衡原理推得球的体积计算方法后，阿基米德阐述了他对球的表面积的计算方法所作的推测：“根据所有的球与底为其大圆、高为其半径的圆锥的4倍相等这一定理，我想到了任意的球的表面等于其大圆的4倍。这是因为从任意的圆与底等于其圆周，高等于其半径的三角形相等这一事实来判断，我同样地设想任意的球与底等于其表面，高等于其半径的圆锥相等”[5]。
从上面的分析可以看出，在求球的面积或体积时，印度与希腊的方法比较接近于现代的积分学，二者不同之处是印度的有限分割、化曲为直的方法不具有普遍性，不能进行推广，希腊的无限分割加杠杆平衡方法极具推广价值，而我国与之相差甚远。
上文提到安提丰的穷竭方法，在古希腊曾被认为逻辑不缜密而遭到了抨击，亚里士多德甚至认为安提丰的作法不值一驳，因为希腊人对逻辑要求得非常严密，直接使用无限概念破坏了逻辑的严密性，所以欧多克斯（Eudoxus）不得不对安提丰的方法进行改造，以此避免直接冲突，符合人们的思维习惯。但是对于中国和印度则不存在这个问题，在这两个国家中由于逻辑要求不那么严密，所以刘徽对他的方法没有表现出什么不满意，从现有材料看，甚至整个中国古代都没有人怀疑过刘徽割圆术的合理性。[6] 印度的数学家也存在这个问题，他们从来都是毫不犹豫地接受这种不严密的思维形态，很自然地把这些看作是合理的，所以割圆术在印度同样是没有受到任何的质疑。两国的情况既然如此相像，那为什么在刘徽、祖冲之等杰出奇才的后辈中，竟然没有一个在微积分的发展中建功立业者？
四、中印计算方法的剖析
要探寻此问题的原因，就必须从方法论的角度加以探讨。从希腊求解球的面积和体积的方法，与印度的方法比较来看，两种方法大相径庭，说明了印度球积计算问题并没有受到希腊的影响。根据现有资料证明美索布达米亚文明中还没有有关球的体积计算问题的记载，至于古代埃及人是否掌握了球体积的计算方法，学术界存在着很大的争议。曾有数学史家根据对莫斯科纸草书第10题文本做出的解释，认为古代埃及人已经掌握了球体积的正确的计算方法，但这一结论又被以后的数学史家否定。而且就现有的材料来看还没有古代印度文明受到古代埃及文明的影响的证据。这就说明微积分在印度的发展没有受到任何域外文化的影响，既然排除了外来因素的影响，那只能从印度数学本身的发展特点找原因了。从球积的发展路线可以看到印度与中国走的路线完全不同，其实两国在最初有着共同的根基，那就是都用割圆术求解与圆有关的问题，甚至在某些时候中国的无限分割术比印度的分割术应用得更加广泛，比如求阳马、鳖臑的体积用的就是此术。但是这种分割术在求球的问题时，却遇到了极大的障碍。刘祖的求解过程只是局限在平面图形或者是直线立体图形，对于非直线的立体图形除了比较简单的以外，他们很难将他们的无限分割思想深化并应用到曲面。虽然，刘徽在《九章》中也有化曲为直的尝试，但仅仅局限于主观的臆断，并没有形成一定的理论根据。比如《九章》“勾股”章葛缠木问：“今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？”[7] 刘徽用青线缠绕笔管模拟葛缠木，然后“解而观之”，发觉如果令木长为勾，木周长为股，线一周长为弦，则每周之间自成小勾股弦，“合众勾以为一勾”，于是木长二丈为勾，“七周乘三围”即二丈一尺为股，而求其弦，即葛长，得到葛长之术的合理性。
如果说葛缠木问还真可以把曲的拉直的话，那么要把曲池拉直就只能凭想象了。刘徽注曲池（上下底面都是环田的立体）体积公式时说要把它“引而伸之”，他认为环田是由一些长短不一的“周”积累而成，以外周之长补中周之短，得“中平之周”，然后“引而伸之”，化环田为以周为纵，以径为广的一个长方形。于是他把曲面体化成了（平面）多面体了。但是，他如何将外周补中周即为中平之周，则语焉不详。这样化曲为直，应该说其理论的根据是不足的。所以有关曲面的性质，刘徽和祖冲之父子掌握得并不好，比如宛田、弧田、环田等面积都是错误的，更为奇怪的是刘徽关于球的面积竟然只字未提，是他的疏忽吗？不是，他既然能想到求球的体积，他怎么会忘记球的面积，既然不是疏忽，那就只能有一种解释：他不知道该怎样求解球的面积。因为以他现有的能力和才学，他没办法也想不到该怎样求解，或者说他对求球的面积不知所措，所以只好不说罢。这种从直面立体图形到曲面立体图形的过渡，对刘徽是很难的，因此他在求球的体积时另辟蹊径，借助牟合方盖图形，利用刘徽原理来解决球的体积，但最终他还是没有求出来。“以俟能言者”之言竟然等待了200多年。
印度在求解球问题的时候也是一波三折，但是他们总方向是正确的，他们在这个领域积累了许多经验。首先阿耶波多利用无限分割术求解圆周率，达到当时世界先进水平，接着还是他给出了球的体积为大圆面积与面积平方根的乘积，尽管是错误的，但它是一种将曲面转化为直线型物体的一种尝试，其后的马哈维拉，拉拉也在做这样尝试。直到婆什迦罗指出拉拉等人的不足，按印度求几何图形面积的方法，将弯曲的曲面分解形成无数个小曲面，由于分解的个数无限多，所以小曲面可以直观地看作是平面图形，而加以计算。这样用化曲为平的方法将球的面积求出，球的体积才迎刃而解。无论怎样，印度一直在朝着将曲面化为平面的方向在努力，并且最终是通过这种方法解决的球积问题。数学史家斯瑞尼瓦森格（C.N.Srinivasiengar）认为婆什迦罗才是发明微积分的先驱，他说要想准确地表述这一学科，没有极限思想是不可能的，所以婆什迦罗在求解球的问题时，肯定使用了极限思想，只不过是它的意义比较模糊，而极限思想严格形式上的定义是由牛顿、莱布尼兹在婆什迦罗500年后给出的。[8] 也就是说婆什迦罗在牛顿、莱布尼兹之前500年就已经在运用微积分的思想和方法。但是从上面的分析可以看出，婆什迦罗一个致命的弱点是没有将有限问题转化为无限问题，因此即使印度有先进的正弦函数表，发明微积分的桂冠依然没有落到他们的头上，充其量只能算是出现了近代数学意义上的微积分的萌芽。
如果中国与印度将无限分割思想很顺利地嫁接到曲面上，那么我国与印度也会成为近代微积分的发明者。但是历史没有如果，中国走了一条与微积分发展方向不同的路径，印度虽然叩响了微积分的门扉，但是却没有进入微积分的殿堂（婆什迦罗之后印度数学一度放弃对这种方法的继续研究）。究其原因，也许球面积与体积问题起到了关键的作用，它作为一个分水岭，使得中国学者与微积分失之交臂。所以微积分这一处理无限的数学分支之一，在刘徽、祖冲之之后，在漫长的岁月里，竟无人涉足其内也是理之必然。
［收稿日期］2006年12月19日，三次修回：2008年1月9日