这样的结论对吗？——怎样理解和教学“等可能性”，本文主要内容关键词为：可能性论文,结论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
读了《中小学数学》2007年第12期王世彦老师的文章《“抛硬币”——想说用你不容易》后，深感想上好《等可能性》真不容易。王世彦老师三次上《等可能性》，每次都进行了深入研究，不断改进教法，想方设法让学生体验事件发生的等可能性，这种钻研精神令人敬佩。但敬佩之余，我们却对作者最后让学生获得的结论：“硬币抛掷次数越多，正反面出现的次数越接近，其可能性也就趋于相等”的说法不敢苟同，想与王世彦老师就怎样理解和教学“等可能性”，作一番探讨。要正确理解和教学“等可能性”，必须对以下两个问题有正确的认识：1.是否是“抛掷的次数越多，正反面出现的次数越接近”？2.在什么情况下才可以认为抛硬币“正面朝上与反面朝上的可能性相等”。下面就以上两个问题谈谈我们的看法。
一、用数据说明问题
对于第一个问题，我们不妨就借用王老师在文中引用的历史上数学家的抛硬币数据来说明问题。下面将文中数据摘录如下：
（注：表中相差数、合计数为笔者所加）
从表中数据可以知道，随着试验次数的增加，其相差数趋于越来越大，而不是越来越接近。从相差数的数据来看，是不可能得到“抛掷的次数越多，正反面出现的次数越接近”这个结论的。笔者也曾亲自抛过2000次硬币，获得的数据也说明“随着试验次数的增加，其相差数趋于越来越大，而不是越来越接近”。如不信，王老师不妨可以亲自做一下这个实验。
二、对获得结论依据的分析
王老师在让学生获得上述结论时是通过3张统计图，让学生感受“如果抛掷次数越多，硬币正反面出现的次数越来越相等”的，图中清楚地显示随着“抛硬币的次数增多，正反面出现的次数也越来越接近”。这不是和上述数据分析得出的结论相矛盾了吗？这又是怎么回事呢？如果细心的读者仔细比较这三张图：（见附图）
图1 每组抛10次的小组统计图
图2 每组抛40次的大组统计图
图3 数学家抛硬币统计图
我们可以发现这三张图的数量单位是不同的，这三张图的数量单位分别是1、10和1000。那么我们可以想象一下，如果把图1中的数据放到图3中，其统计图的条形高度几乎可以忽略不计，即正反面呈现接近于0的相等。把图2中的数据放到图3中，以图3的数量单位来制图，它们正反面的次数也都可以看作相等，其相差数也可以忽略不计。就图3中相差数量最多的蒲丰试验数据来说，其正反面的次数相差56个，这对于以1000为单位的统计图来讲也是微不足道的，因此图3中正面朝上和反面朝上的条形很接近就不奇怪了。我想如果王老师使用罗曼洛夫斯基的试验数据来比较，就会发现其相差数1242个，反映在图3的条形统计图上就会有较大的差异。反之如果用罗曼洛夫斯基的试验数据放到图1，以1为数量单位的统计图中，其结果相差显然是非常大的；即使用图2、图3的数据放到图1，以1为数量单位的统计图中，其结果相差也是非常明显的。综上所述，是统计图数量单位的不统一，欺骗了王老师和他的学生，因而得出了错误的结论。那么怎样才能得到抛硬币“正面朝上与反面朝上的可能性相等”的结论呢？我们不妨再来回顾一下概率的有关知识。
三、对相关概率理论知识的回顾
按照概率理论，设随机事件A在n次试验中发生了
次，则称是A在n次试验中发生的频数，称比值
为在这n次试验中发生的频率，记作
。下面我们借助“抛硬币”实验所采集的数据来说明一些问题。
资料来源：范大印、陈永花《概率论与数理统计》浙江大学出版社
从表中数据可以看出：(1)对于事件A，即使试验次数n相同，事件A在n次试验中发生的频率也会波动。(2)当试验次数n较小时，（例如20次）对于不同的试验轮次，频率波动的幅度往往较大，而随着n的增加，对不同的试验轮次，A发生的频率的随机波动性有逐渐减少的趋势，逐渐呈现一定的稳定性，即当n逐渐增大时，（例如2000次）f(A)越来越接近0.5，此时我们才可以说，在抛硬币时，正面朝上和反面朝上的可能性相等。(3)当试验次数n趋于无穷大时，频率将趋于一个稳定的值，这个稳定的值就是频率的波动中心，我们将频率所趋于的稳定值看作事件A发生的概率，即正面朝上和反面朝上的概率都是
。
从上面对概率基础理论知识的回顾中可以看出，对等可能性现象的正确理解，并不是依靠观测到“硬币抛掷的次数越多，正反面出现的次数越接近”的现象，从而得出“硬币正反面被抛到的可能性相等”的结论的。而是用频率指标（正反面出现的次数与试验总次数的比值）作为观察对象，只有当试验次数n逐渐增大，频率f(A)越来越接近0.5时，我们才能得出“硬币正反面被抛到的可能性相等”的结论。特别需要指出的是：当试验次数n逐渐增大时，硬币正反面出现次数相差的绝对数是增加的，硬币正反面出现次数的相差数与试验总次数的比值是逐步减少的。当试验次数n逐渐增大时，硬币正反面出现的次数越接近与硬币正反面出现的次数与试验总次数的比值（频率）越来越接近0.5，这是两个不同的概念，是不能相混淆的。
以上我们从理论和实验两个方面说明了王老师的教法是不正确，按这种教法，就只能教给学生一个错误的结论。那么，到底怎样教学《可能性相等》呢？
四、怎样教学《可能性相等》
从上面对概率基础理论知识的回顾中可以看出，对《可能性相等》正确而深刻的理解是建立在频率指标和极限理论的基础之上的，而五年级的学生还没有学过比的知识，不能理解频率的含义，也无法从极限的角度来真正理解“可能性相等”的概念，所以就五年级的学生学习“等可能性”而言，当然是不可能、也没有必要从理论的高度来认识“等可能性”。因此《数学课标》提出的要求只是让学生“体验事件发生的等可能性”。我们在教学《等可能性》时，应该把让学生“体验事件发生的等可能性”作为教学重点，而并不要求理解“事件发生的等可能性”。教学时可以先按教材要求组织学生分组开展抛硬币活动，然后用全班汇总数据的方法来组织教学（分组可以适当多些，这样试验次数就可以多些，试验次数越多，获得的数据就越多，这样就越能反映抛硬币数据的统计规律性）。我们不妨引导学生观察全班的汇总数据表，让学生发现全班抛硬币的结果是：有的组抛到正面朝上和反面朝上的次数相等；有的组抛到正面朝上和反面朝上的次数虽然不相等，但是也差不多；全班抛到正面朝上和反面朝上的次数合计起来也差不多；抛到正面朝上多的小组和抛到反面朝上多的小组的组数也差不多，所以在抛硬币的游戏中，抛到正面朝上和反面朝上的机会差不多，也就是抛到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。我们还可以进一步引导学生反思为什么抛到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的呢？那是因为正面和反面各占总面数的。通过这样几个层次的教学活动，就能使学生很容易获得“抛硬币时，硬币正面朝上与反面朝上的可能性相等”的体验。当然上述教学活动是肤浅的，学生获得的只是“体验”，而非深入理解。
王老师想用统计图来帮助学生加深对“等可能性”的认识，这倒不失为是一个很好的设想，只是需要将王老师运用的统计图作一些改进。我们不妨用实验总数的一半画一条横线，作为比较标准，让学生通过观察比较发现：1.抛硬币实验的结果，有时正面朝上的次数比反面朝上的次数多，有时反面朝上的次数比正面朝上的次数多；有时正面朝上的次数比总数的一半多，有时比总数的一半少（反面也是这样），具有不确定性。这样比较的目的在于让学生认识随机事件的不确定性，知道实验数据是在总数的一半上下波动的。2.通过观察图1让学生发现：当实验次数较少时，正反面朝上的次数或多或少，有时相差比较大。通过观察图2和图3让学生发现：当实验次数增多时，正反面朝上的次数的波动减少，逐步趋于稳定。正面朝上和反面朝上的次数也差不多，抛到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。以上两点是学生能够理解，并且比较地接近正确理论（以实验总数的一半画一条横线，作为观察、比较的标准，来看硬币正面朝上与反面朝上次数的变化情况，与以0.5为横轴观察、比较频率的变化情况有着异曲同工之妙）。这样的观察，有利于学生理解抛硬币时数据波动的规律，直观感受抛硬币时，抛到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。但通过观察统计图得出抛硬币正面朝上与反面朝上的可能性相等的直观结论，并不是完美的，它与对《等可能性》的正确理解还有一点距离。写到这里，我们深深感到，说清《等可能性》真不容易，上好《等可能性》更不容易。本文意在引发讨论——在小学阶段，到底该如何教学《等可能性》？希望各位同行参与讨论，多多指教！
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