赵振刚[1]2011年在《三类分数阶偏微分方程的有限元计算》文中认为分数阶微积分作为整数阶(经典)微积分推广,在生物、物理、化学、工程等领域有着广泛的应用。特别地,在近几十年里,许多研究者指出分数阶微积分以及分数阶微分方程非常适合用来刻画具有记忆和遗传特性的材料和过程。由于应用的广泛性,使得分数阶微积分这一领域越来越受到人们的关注,与之相关的理论分析和数值计算等研究工作就显得尤为重要。本文主要有两大部分。第一部分讨论的是函数的分数阶可积性和可微性问题。第二部分研究了三类分数阶偏微分方程的有限元计算问题。其中这三类方程分别从空间分数阶,时空分数阶,时空分数阶且时间方向为两项分数阶导数的角度研究了数值方法,给出了理论分析,并进行了数值模拟,数值结果与理论分析相吻合。具体地说,第一章简要介绍了分数阶发展的概况和研究分数阶微分方程数值解法的实际意义。第二章讨论函数的分数阶可积性和分数阶可微性。主要给出了函数关于Riemann-Liouville积分意义下的分数阶可积性定理,关于Riemann-Liouville导数和Caputo导数意义下的分数阶可微性定理。第三章针对非线性空间分数阶Fokker-Planck方程,建立了有限元数值格式。时间方向采用差分格式,空间方向采用分数阶有限元格式,并对全局误差进行了理论分析。数值算例表明数值方法的可行性。第四章考虑的是非线性时空分数阶亚扩散和超扩散方程。在空间方向上,我们利用分数阶有限元方法来逼近；时间方向上,分别利用分数阶欧拉向后差分格式和分数阶中心差分格式来逼近亚扩散和超扩散问题。同时研究了弱解的存在唯一性、半离散格式的稳定性、以及半离散和全离散格式的误差估计。最后所给出的数值例子验证了前面的理论分析。并在数值模拟中,我们观察到了有趣的分数阶扩散现象。第五章为数值求解时空分数阶电报方程。在时间方向上我们同时使用分数阶欧拉向后差分格式和分数阶中心差分格式来逼近,在空间方向上使用分数阶有限元格式来逼近,建立了半离散格式和全离散格式,并给出了有限元理论分析。所给的数值例子验证了方法的可行性。
吴荣, 杨春鹏[2]1996年在《S－调和函数与一类非线性偏微分方程》文中认为本文对超扩散过程定义了Ｓ－调和函数并讨论了它们的某些性质，在此基础上还建立了Ｓ－调和函数与一类非线性偏微分方程的非负解的关系．
任艳霞[3]1998年在《超扩散与非线性偏微分方程》文中研究指明南开大学博士研究生毕业(学位)论文超扩散与非线性偏微分方程作者:任艳霞年级:一九九五级专业:数学导师:吴荣南开大学数学学院
赵文娇[4]2014年在《几类时间—空间分数阶偏微分方程的数值方法分析》文中研究表明由于分数阶微分算子能很好地描述具有记忆和遗传特性的复杂物理过程，从而受到很多数学工作者的关注，它在各个领域的广泛应用也导致了大量分数阶偏微分方程的出现。然而，一般来说，求解这类方程的解析解却是非常困难的，因此对该类方程数值解法的研究已成为现如今计算数学的一个热门课题。本文主要研究时间-空间分数阶偏微分方程的有限差分法及有限元法。一方面，介绍如何利用有限差分法求解时间-空间分数阶超扩散方程的初边值问题。时间方向利用Diethelm分数阶向后差分法进行离散，空间方向采用移位的Grünwald算法离散，于是得到全离散的数值格式。进而再对所得到的离散格式进行稳定性与收敛性的分析，并给出稳定性条件及收敛阶估计。最后，给出数值算例验证方法的实用性。另一方面，讨论利用有限元方法对广义的时间-空间分数阶的对流-扩散方程在初边值条件下进行数值求解的问题。首先，在一般的Sobolev空间的框架下，将原问题转化为上述方程的变分问题，证明弱解存在且唯一。接着，利用Diethelm构造的数值求积公式对时间导数进行离散，空间方向导数利用有限元方法离散，然后证明方法的收敛性，给出时间及空间方向的收敛阶，并讨论所得到的全离散格式的稳定性。同时，给出数值算例验证所得到的结论。
李娅静[5]2017年在《随机分数阶偏微分方程的理论分析与数值方法研究》文中研究指明分数微积分在刻画反常扩散的幂律结构中起着关键作用,因此近年来分数阶(非局部)微分方程受到了人们的广泛关注并被成功地应用于各科学与工程领域.随着科学技术的发展,人们逐渐认识到随机扰动在物理系统中是不可避免的,有时甚至不可忽略,需要在确定性控制方程中加入相应的随机项,因而随机微分方程作为应用数学的一门新兴学科也已逐渐发展成为数学领域中一个不可或缺的分支.为了更好地刻画具有记忆和噪声扰动的反常扩散现象,随机分数阶微分方程出现了;与此同时,对于此类方程的理论和计算方法的研究也开始热门起来.然而分数阶算子的非局部性质和噪声的低正则性与不确定性给这类方程的研究造成了极大的困难,因此有关这类方程解的渐近行为和有效的数值方法的文献还很稀少.这就激励着我们进一步从理论上去探索此类方程的解的长时间行为,并从数值上去设计其有效的数值解法.本文总共分为六章来阐述.第一章概述了随机分数阶微分方程的发展过程,分析了随机分数阶微分方程目前的研究状况,并阐明了本文的主要内容、研究方法和主要创新点.第二章首先介绍了一些必要的预备知识.其次,利用-阶分数预解算子理论证明了本章中模型一的mild解的存在性,唯一性和连续依赖性.然后利用预解算子理论和Schauder不动点定理研究了模型二的mild解的全局存在性和其渐近行为.最后建立了本章中模型二在均方意义下的全局向前吸引集,这是对[28]中具有经典导数的随机发展无界时滞方程的拉回吸引子的有趣推广.第三章首先利用空间~2中的基函数将我们研究的方程展成级数形式,根据分数阶常微分方程的已有结果得到随机时空分数阶波方程的解表示.其次,通过离散时空加性噪声,得到了正则化随机时空分数阶波动方程;进一步在空间方向用Galerkin有限元方法离散正则随机时空分数阶波动方程.最后建立了模型的误差估计.当∈(1,_2~3]时,收敛阶为(Δ)~(max{1)2,~(-1)2~(-})+?~(2);当∈(_2~3,2]时,收敛阶为Δ+?~(2),其中是时间分数导数的阶数,是空间分数Laplacian的阶数,Δ是时间步长,?是空间步长,可以是任何足够小的正常数.数值实验验证了正则化方程的模型误差和有限元逼近的收敛阶.第四章中,我们考虑具有非线性乘性噪声和分数噪声的时间分数阶随机时滞发展包含问题.利用随机积分项的非紧性测度的新结果和多值映射的一个不动点定理,我们得到了本章中模型一的mild解的全局存在性.这里,我们解决了计算随机积分项非紧性测度的难题.最后我们讨论了模型二的mild解的渐近行为.第五章我们主要处理的是含有乘性白噪声和乘性分数噪声的非线性随机积分项.这一章大体上和第二章的研究方法类似,通过定义和离散时空白噪声和分数噪声,引入了模型误差,同时得到了一个正则化非线性时间tempered分数阶随机波动方程;并建立了模型误差的收敛阶,其具有过渡点,为=_2~3,也就是说,当∈(1,_2~3]时,收敛阶为-_2~1-,当∈(_2~3,2]时,收敛阶为1,其中是时间分数导数的阶数,可以是任何足够小的正常数.最后对此正则非线性时间tempered分数阶随机波动方程,利用Galerkin有限元方法给出了其数值格式,并详细推导了误差估计.第六章是本文总结以及未来工作方向的展望.
赵猛[6]2018年在《时空分数阶偏微分方程的快速算法及其应用》文中进行了进一步梳理分数阶微积分理论在近些年来已成为一个迅速发展的研究领域,主要被用于描述力学;工程中的复杂现象,特别是复杂系统中反常扩散的描述。传统扩散模型描述了粒子运动遵从一个正态分布的随机游走过程,而具有反常扩散属性的分数阶方程可以刻画粒子的概率密度函数并遵循非对称、重尾、尖峰等非常规分布。反常扩散现象已经在实际生活中通过大量的真实数据被普遍地捕捉观测到,这些现象可能来源于地下水中的污染物;股票价格;声波;穿过细胞边界的蛋白质;或者入侵新生态系统的生物。反常扩散现象通常可分为次扩散现象和超扩散现象。当分数阶导数作用在空间扩散项时,描述的是运动粒子在空间上会有一个长程幂律跳跃特性,对应模拟的是超扩散现象。当分数阶导数作用在时间导数项时,描述的是运动粒子发生跳跃时需要一个较长等待时间,对应模拟的是次扩散现象。因此,分数阶模型可以更有效更准确地模拟一些复杂的传输扩散机制。但是由于分数阶算子具有的历史依赖性与非局部性质,也增加了分数阶模型求解和模拟的复杂性。由于大部分分数阶偏微分方程找不到精确解的表达式,并且很多时候分数阶偏微分方程的精确解是用级数形式的特殊函数来表示的,因此,对分数阶偏微分方程数值方法的研究变得十分重要和必要。关于分数阶偏微分方程数值方法方面的研究已有大量成果涌现,其中比较多见的是有限差分方法[55-71];有限元方法[72-96];谱方法[97-113];无网格方法[114-116];有限体积方法[117-119];DG方法[120,121]。由于分数阶算子的非局部性质,导致了求解分数阶方程的计算耗时要比求解常规的整数阶方程大得多。具体表现为,对于求解空间分数阶方程,利用上述数值方法通常得到的刚度矩阵为稠密矩阵或是满阵。如果利用传统的直接求解方法进行求解,那么在每一个时间步上需要O(N3)的计算量以及O(N2)的存储量,N为网格节点数。对于求解时间分数阶方程,由于时间分数阶算子的历史记忆性,计算当前时间层的数值解必须要用到之前所有时间层的数值解信息。那么对于时空分数阶问题,综合时间与空间分数阶双重效应,采用传统方式进行求解,它的计算量会高达O(MN3 +M2N),存储量为O(N2+ MN),M为时间剖分步数。如此大的计算量及存储量要求对于高维问题是难以承受的。本文的主要内容如下:第一章,简单介绍分数阶微积分理论的发展历史以及正文需要用到的一些基本概念、基本算法、特殊矩阵;分析了分数阶方程数值方法的发展现状。第二章,内容主要来源于Meng Zhao,Hong Wang and Aijie Cheng,A Fast Finite Difference Method for Three-Dimensional Time-Dependent Space-Fractional Diffusion Equations with Fractional Derivative Boundary Conditions,Journal of Scientific Computing,2018,74(2):1009-1033.本章主要讨论三维分数阶导数边界条件变系数空间分数阶扩散方程的一类无条件稳定的有限差分方法,并给出了格式的稳定性与收敛性证明。对于齐次Dirichlet边界问题,Wang等[122-126]给出了一维及多维空间分数阶扩散方程的有限差分快速算法,并发现Dirichlet边界问题的刚度矩阵具有Toeplitz或块Toeplitz循环块结构。当利用Krylov subspace迭代法求解时,这种快速方法最终将计算量和存储量减少为线性增长。但边界条件变为分数阶导数边界条件后,由于分数阶算子的非局部性质,使得三维物理区域的内部节点与二维的边界节点强耦合在一起,破坏了 Dirichlet边界条件问题所产生的块Toeplitz刚度矩阵结构,从而使得现有问题刚度矩阵的结构变得非常复杂。假设我们取x、y和z方向具有相同的剖分节点数,那么边界节点的数目是O(N2/3),对于这些节点所形成的矩阵部分与相应的向量相乘,它的计算量也会达到O(NN2/3)= O(N5/3)!这甚至会超过已有快速算法对内部节点的计算量。通过对系数矩阵认真分析,精细地分解系数矩阵的内部结构,我们发展了相应的快速方法,该快速算法可将计算复杂度减少为O(N log N),存储量降低为O(N)。最后给出了常扩散系数光滑解;变系数光滑解;常系数非光滑解的数值算例,数值算例验证了方法的可行性与有效性。第三章,主要研究三维变系数时空分数阶扩散方程的一类有限差分方法,给出了格式的稳定性与收敛性证明。对于时间分数阶导数项,我们采用了传统的L1离散格式,对于空间分数阶导数项,我们采用平移的Grunwald差分格式进行离散,如果采用传统的Time-marching方式进行求解,计算量高达O(MN3+M2N,存储量为O(N2 + MN)。通过构造时空耦合系统,对耦合系统系数进行分析,我们发展了时空全局快速算法以及Divide-and-conquer(DAC)算法两种无压缩损耗的快速算法;又利用Jiang等[134]发展的一种利用指数求和方式近似Caputo时间分数阶导数中的卷积核t-1-μ快速算法思想,结合我们发展的相关空间分数阶快速算法,最终可将时空分数阶问题的计算量优化为O(MN log N+MN log M),而存储量降低为O(N log M)。最后通过数值算例验证了各算法的可行性与有效性。第四章,内容主要来源于Meng Zhao,Aijie Cheng and Hong Wang,A preconditioned fast Hermite fi-nite element method for space-fractional diffusion equations,Discrete and Con-tinuous Dynamical Systems-Series B,2017,22(9):3529-3545.本章主要讨论了一类稳态分数阶扩散方程的预处理快速Hermite元方法。通过对矩阵的分析,我们证明了刚度矩阵是块Toeplitz矩阵结构。但是由于刚度矩阵具有很强的病态性,随着自由度的增加,刚度矩阵的条件数会变得非常巨大,甚至会导致相应的迭代求解方法出现不收敛的现象。因此我们发展了相应的块循环预处理算子对上述的快速方法进行优化。最后通过数值算例验证了方法的可行性与有效性。第五章,内容主要来源于Meng Zhao,Shuai He,Hong Wang and Guan Qin,An integrated frac-tional partial differential equation and molecular dynamics model of anomalously diffusive transport in heterogeneous nano-pore structures,Journal of Compu-tational Physics,https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.01.002.页岩气的储层结构具有强烈的非均质性,在纳米基质中的页岩气主要由孔道中的游离气和有机质岩石中的吸附气共同组成,吸附气与游离气的分子扩散规律差异较大。根据分子动力学(MD)模拟结果显示,体系均方差位移(MSD)服从次线性增长,此传输过程整体是一个次扩散过程并可以被连续时间的随机游走模型描述,也就等价于时间分数阶偏微分方程。分子动力学(MD)模拟提供一种较为精确的研究页岩气纳米孔气体流动模拟方法,通过MD模拟可以有效地估算孔道与有机质岩石两种不同物性的扩散系数,但是对于复杂的非均质结构孔隙以及受限于对计算资源和计算时间的高要求,应用具有局限性。本章通过分数阶方程与MD模拟相结合的建模方式,可以更加快速有效地对非均质纳米孔结构页岩气的传输行为进行研究。这种新的建模方式不仅可以有效地弥补MD模拟在较大区域中计算成本昂贵的缺陷,而且能有效地回归出尺度提升后的系统传输的有效扩散系数,对页岩气经济开发具有重要的意义。
孙红[7]2016年在《基于多项式插值逼近的分数阶偏微分方程高精度差分方法》文中研究指明近几十年来,由于分数阶导数具有非局部性质,比整数阶导数更适合描述具有记忆和遗传性质的材料和过程.因此,分数阶微分方程更能准确地刻画许多自然界的现象,得到了越来越多的学者的关注.关于分数阶偏微分方程的数值解法无论对工程技术领域还是对数学本身都具有重要的价值.本文主要是在超收敛点处对时间分数阶波方程、多项时间分数阶波方程、时空分数阶Bloch-Torrey方程以及非线性时间分数阶四阶反应-扩散方程等初边值问题构造数值解法,并给出相应的理论分析.本文首先研究的是时间分数阶波方程的数值解法.对一维和二维时间分数阶波方程利用降阶法得到等价的方程组,然后利用L2-1σ公式(Alikhanov,J.Comput.Phys.280(2015),424-438)对等价方程组建立时间方向二阶精度,空间方向分别为二阶和四阶精度的有限差分格式.利用离散能量法,严格证明了格式在H1范数下的无条件稳定性和收敛性.同时还给出了三维时间分数阶波方程的差分格式.数值算例验证了格式的计算精度和有效性.其次,对多项时间分数阶波方程建立时间二阶精度的有限差分格式.利用降阶法得到等价方程组,再对方程组中的多项时间分数阶导数在其超收敛点处离散,从而对多项时间分数阶波方程分别建立时间和空间方向都为二阶精度的差分格式和时间二阶、空间四阶精度的差分格式.我们证明了两个格式是唯一可解的,且在最大模下是无条件稳定的和收敛的,收敛阶分别为O(τ2 + h2)和O(τ2 + h4).数值实验表明格式的有效性,验证了差分格式的理论分析精度.随后,讨论了一维和二维时空分数阶Bloch-Torrey方程的差分方法.利用L2-1σ公式来离散时间分数阶Caputo导数,分别应用分数阶二阶中心差分格式(C.Celik,M.Duman,J.Comput.Phys.231(2012),1743-1750.)和四阶紧算子(X.Zhao,Z.Z.Sun,Z.P.Zhao,SIAM J.Sci.Comput.36(2014),A2865-A2886.)对空间分数阶Riesz导数进行逼近,从而对一维和二维Bloch-Torrey方程构造有限差分格式.同时我们给出了分数阶二阶中心差分算子的权系数和的下界的一个估计式.利用离散能量法以及权系数的下界估计式,我们对格式的稳定性和收敛性给出了严格的理论证明.对二维问题,我们还给出了两个ADI格式来求解方程.数值算例验证了差分格式的有效性.最后一部分考虑了非线性时间分数阶四阶反应-扩散方程的数值逼近.首先利用降阶法,得到一个等价方程组,运用L2-1σ公式对时间Caputo分数阶导数进行离散,对空间整数阶导数采用二阶格式离散,进而构造一个三层线性化的有限差分格式.利用离散能量法,我们给出了格式在L2模下的无条件稳定性和收敛性的严格的理论证明,收敛阶为O(τ2 +h12+h22).对于差分格式的收敛性证明是理论分析的一个难点,我们主要应用二维网格函数空间的一个嵌入定理给出了格式的收敛性分析.数值实验验证了格式的理论分析的精度.
李娴娟[8]2009年在《分数阶偏微分方程的理论和数值研究》文中研究表明近年来，分数阶偏微分方程(FPDEs)在数学模型中的应用受到越来越广泛的关注。不同的FPDEs模型已被应用到越来越多的领域中，包括：材料，力学，以及生物系统等，并且发现FPDEs在研究一些具有记忆过程、遗传性质以及异质材料时比整数阶方程模型更有优势。FPDEs在数学建模上取得的进展，激发了人们研究数值算法的兴趣。本文从理论和数值计算两方面对分数阶扩散方程(FDEs)及其相关问题进行深入研究，主要内容包括以下三个方面：我们引进了一类新的利用分数阶导数定义的分数阶空间，并证明了此类空间与传统的分数阶Sobolev空间在范数意义下是等价的。利用这些结果我们导出了FDEs初边值问题的弱形式，并借助椭圆型问题的经典理论证明了弱解的存在唯一性。上述研究结果表明在Riemann-Liouville分数阶导数定义的情况下，分数阶扩散方程与弱形式的等价性证明不需要添加初值条件。相反地，在Caputo导数定义的情况下，该等价性则需要加初值条件来保证。基于上述弱解理论，我们计算时间分数阶扩散方程(TFDE)的数值解。TFDE与传统的扩散方程有本质的不同。对于前者，时间上的一阶导数被分数阶导数所代替，使得问题在时间上是全局的。我们提出将谱方法应用于TFDE时间和空间上的离散，给出最优误差估计证明该方法的收敛性，并用数值结果验证理论估计。归功于该方法在时间和空间方向上所具有的谱精度，我们能够有效地减少由全局时间依赖性所引起的对存储量的要求，从而可以计算长时间的解。我们考察用以描述神经细胞中离子反常扩散现象的分数阶Nernst-Planck方程。我们提出了一种时间有限差分／空间谱元法对该方程进行数值求解，并给出了数值方法的详细构造过程以及实现方法。数值结果表明数值解在空间方向上具有指数阶收敛精度，在时间方向上具有2-α(0＜α＜1)阶精度。最后，通过计算一个具有实际背景参数的问题说明所提方法的潜在应用。
张新东[9]2013年在《分数阶偏微分方程的若干近似算法研究》文中指出分数阶微积分方程是经典微积分方程自然的数学推广,具有深刻的物理背景和丰富的理论内涵,在物理、生物、化学等多个学科领域具有广泛的应用.对分数阶微积分方程的研究,不仅具有重要的学术研究价值,而且具有广阔的工程应用前景.目前,分数阶微积分方程的研究己成为国际上的一个热点研究课题.本文主要研究分数阶偏微分方程的几种近似算法(包括近似解析算法和数值算法).本文的研究内容主要包括三个部分：第一部分研究同伦分析方法(Homotopy analysis method-HAM)在求解分数阶偏微分方程近似解析解中的应用：第二部分研究局部间断有限元方法(Local discontinuous Galerkin method-LDG)在求解—维分数阶偏微分方程数值解中的应用；第三部分研究有限元方法(Finite element method-FEM)在求解二维分数阶偏微分方程数值解中的应用.在第一部分中,我们主要研究同伦分析方法在求解空间分数阶对流-弥散方程及时-空分数阶扩散方程中的应用,重点研究格式的构造及格式的有效性.数值实验说明此方法在求解分数阶偏微分方程的近似解析解方面是有效的：在第二部分中,我们主要研究一维时间分数阶Tricomi型方程及时间分数阶Fisher方程的局部间断有限元解法.通过构造一种隐式的、全离散局部间断有限元格式来求解上述方程的数值解,并通过理论分析证明了格式的稳定性,同时给出了详尽的误差估计.最后的数值实验结果表明所构造的格式是有效的；在第三部分中,我们主要研究二维时间分数阶扩散方程和Tricomi型方程的有限元解法,通过将时间方向上的有限差分方法和空间方向上的有限元方法相结合构造一种无条件稳定且收敛的格式,并对格式的稳定性和误差估计给出了详尽的分析.详细的数值实验结果验证了理论分析的正确性.
纪翠翠[10]2015年在《时间分数阶偏微分方程高阶数值解法》文中研究说明本文主要研究几类时间分数阶扩散方程的高精度数值解法并给出相应的误差估计式.首先,研究一维时间分数阶反常低扩散方程的高阶数值算法,并给出相应的先验估计式.基于带权和位移的Griinwald-Letnikov算子[48,64],选取位移(p,q,r)=(0,-1,-2),利用Riemann-Liouville分数阶导数与Caputo分数阶导数在一定的光滑条件下等价,推导出一种新的三阶逼近公式来离散Caputo分数阶导数.空间方向结合平均算子技术,对方程构造了一种新的紧差分格式(称为GL3差分格式).利用离散能量分析方法,严格证明了GL3差分格式无条件稳定和收敛.其次,讨论二维时间分数阶反常低扩散方程的高阶数值算法.遵循一维时间分数阶反常低扩散方程有限差分格式的构造技巧,对二维问题建立时间和空间均为高阶的差分格式,并分析了差分格式在L1(L∞)范数意义下是无条件稳定和收敛的.对于二维情形,由于H1半范不能嵌入到无穷模,因此,二维问题的理论分析技巧与一维问题有着本质的区别.同时,通过添加小量项,对二维时间分数阶反常低扩散方程建立紧交替方向隐式差分格式(称为紧ADI格式),通过数值实验验证了紧ADI格式的收敛阶和有效性.再次,研究时间分数阶扩散波方程的有效差分格式.在方程两端作用Riem-an-n-Liouvile分数阶积分算子,将原方程转化为积分-微分方程.利用线性插值思想,推导出一种新的二阶离散公式逼近Riemann-Liouville分数阶积分算子,并对等价方程建立高阶的数值格式.通过数值算例验证该差分格式的收敛阶和有效性.最后,研究带第一类Dirichlet边值条件的四阶分数阶扩散方程的空间高精度的数值算法.在点x0,x1,x2,x3处和点xM,xM-1,xM-2,xM-3处分别对：xx(x,t)进行线性组合,推导出第一类Dirichlet边值条件的具有四阶精度的离散公式,空间方向内部点作用平均算子,用L1离散公式逼近时间分数阶导数,对方程建立空间一致四阶的差分格式.利用数学归纳方法和离散能量分析方法证明差分格式的稳定性和收敛性.
参考文献：
[1]. 三类分数阶偏微分方程的有限元计算[D]. 赵振刚. 上海大学. 2011
[2]. S－调和函数与一类非线性偏微分方程[J]. 吴荣, 杨春鹏. 数学学报. 1996
[3]. 超扩散与非线性偏微分方程[D]. 任艳霞. 南开大学. 1998
[4]. 几类时间—空间分数阶偏微分方程的数值方法分析[D]. 赵文娇. 哈尔滨工业大学. 2014
[5]. 随机分数阶偏微分方程的理论分析与数值方法研究[D]. 李娅静. 兰州大学. 2017
[6]. 时空分数阶偏微分方程的快速算法及其应用[D]. 赵猛. 山东大学. 2018
[7]. 基于多项式插值逼近的分数阶偏微分方程高精度差分方法[D]. 孙红. 东南大学. 2016
[8]. 分数阶偏微分方程的理论和数值研究[D]. 李娴娟. 厦门大学. 2009
[9]. 分数阶偏微分方程的若干近似算法研究[D]. 张新东. 新疆大学. 2013
[10]. 时间分数阶偏微分方程高阶数值解法[D]. 纪翠翠. 东南大学. 2015
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