数列通项的五种求法，本文主要内容关键词为：求法论文,数列论文,五种论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
求数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既可考查等价转化与化归的数学思想，又能反映考生对等差与等比数列理解的深度，具有一定的技巧性，因此经常渗透在高考和竞赛中.要正确写出数列通项，其关键是：找出a[，n]与n的对应关系，而其中数列的通项求法比较灵活.下面分别介绍几种常见的数列通项的求法.
一、常规数列的通项
例1 写出下列数列的一个通项公式.
（1）3，5，7，9，….
（2）3，5，9，17，….
（3）（2/3），（4/15），（6/35），（8/63），….
（4）（2/3），1，（10/7），（17/9），….
解 （1）（方法一）注意观察，该数列前四项均为奇数，所以归纳出它的通项公式是a[，n]=2n+1.
（方法二）发现后一项比前一项都多2，前4项依次可写成a[，1]=3，a[，2]=3+2，a[，3]=3+2×2，a[，4]=3+2×3，∴a[，n]=3+2（n-1）.
（2）观察发现，前四项依次为2+1，2[2]+1，2[3]+1，2[4]+1，∴a[，n]=2[n]+1.
（3）每一项的分子0均为偶数，分母依次为1×3，3×5，5×7，7×9，…，均是相邻的两奇数之积，
（4）各项依次可写成（2/3），（5/5），（10/7），（17/9），…，分子依次是项数的平方数加1，∴a[，n]=（n[2]+1/2n+1）.
小结 认真观察（注意分解式子）所给数据的结构特征，正确写出对应的表达式.
二、摆动数列的通项
例2 写出下列数列的一个通项公式.
（1）1，5，1，5，1，5，….
附图
（3）1，2，2，4，3，8，4，16，….
解 （1）（方法一）∵奇数项均为1，偶数项均为5，
附图
（方法二）∵1与5的平均数为3，∴前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2.∴a[，n]=3+（-1）[n]×2.
附图
（3）∵a[，1]=1，a[，3]=2，a[，5]=3，a[，7]=4，…，∴当n为奇数时，a[，n]=（n+1/2）.∵a[，2]=2，a[，4]=4，a[，6]=8，a[，8]=16，…，∴当n为偶数时，a[，n]=2[（n/2）].
附图
小结 这类题需要看清奇、偶项的正、负，可用（-1）[n]或（-1）[n+1]等形式表示，或用分段形式表示.
三、循环数列的通项
例3 写出下列数列的一个通项公式.
（1）9，99，999，9999，….
（2）4，44，444，4444，….
（3）0.7，0.77，0.777，0.7777，….
解 （1）通过观察，发现此数列前四项为10-1，10[2]-1，10[3]-1，10[4]-1.∴a[，n]=10[n]-1.
（2）参照第（1）题，前四项可依次写成（4/9）×9，（4/9）×99，（4/9）×999，（4/9）×9999，∴a[，n]=（4/9）（10[n]-1）.
（3）前四项依次为（7/10），（77/100），（777/1000），（7777/10000），即为（1/10）×（7/9）×9，（1/10[2]）×（7/9）×99，（1/10[3]）×（7/9）×999，（1/10[4]）×（7/9）×9999，
附图
小结 找出统一的规律，借助10[n]来解决问题.
四、递推数列的通项
例4 已知数列｛a[，n]｝的第一项是1，以后各项由公式a[，n]=1+（1/2）a[，n-1]给出，写出这个数列的一个通项公式.
解 （方法一）∵a[，1]=1，a[，n]=1+（1/2）a[，n-1]，
∴a[，2]=（3/2），a[，3]=（7/5），a[，4]=（15/8），a[，5]=（31/16），…∴a[，n]=（2[n]-1/2[n-1]）.
（方法二）∵a[，n]=1+（1/2）a[，n-1]，∴2a[，n]=a[，n-1]+2.
令2（a[，n]+t）=a[，n-1]+t，则有t=-2
附图
例5 已知｛a[，n]｝中，a[，1]=1，a[，n]-a[，n-1]=2n，求a[，n].
解 ∵a[，n]-a[，n-1]=2n，
∴a[，2]-a[，1]=2×2，a[，3]-a[，2]=2×3，a[，4]-a[，3]=2×4，…，a[，n]-a[，n-1]=2n，
将上式全部相加得a[，n]-a[，1]=2（2+3+4+…+n）.
附图
例6 已知数列｛a[，n]｝中，a[，1]=（1/2），a[，n+1]=a[，n]+（1/4n[2]-1），求a[，n].
解 由递推关系可化为
附图
小结 思路一：根据递推关系求出前几项，然后再归纳其通项；思路二：将已知条件转化为等差数列或等比数列后再加以解决.
五、已知前n项和的数列的通项
例7 已知数列｛a[，n]｝的前n项和为S[，n]=3n[2]-2n，求a[，n].
解 当n=1时，a[，1]=S[，1]=1；
当n≥2时，a[，n]=S[，n]-S[，n-1]=（3n[2]-2n）-[3（n-1）[2]-2（n-1）]=6n-5.（n=1时也适合.）
∴a[，n]=6n-5（n∈N[，+]）.
例8 已知数列的前n项和为S[，n]，且满足log[，2]（1+S[，n]）=n+1，求数列的通项公式.
解 ∵log[，2]（1+S[，n]）=n+1，∴S[，n]=2[n+1]-1.
∴当n=1时，a[，1]=S[，1]=3；
当n≥2时，a[，n]=S[，n]-S[，n-1]=2[n+1]-2[n]=2[n].（n=1时不适合.）
附图
小结 这类题目只需分n=1和n≥2这两步考虑.注意数列中a[，n]与S[，n]之间的互化关系，这也是高考的一个热点.