向量教学存在的问题及对策，本文主要内容关键词为：向量论文,对策论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
向量进入高中数学教材已经好几年了。在上海这样的教改前沿地区，甚至在初中都开始学习向量了，一些老师的教学调查表明，初中生是完全能够接受基本的向量知识的，见文[1-3]。
新事物的出现，人们总会对其品头论足一番。对于向量法，这几年各大期刊上的文章不可谓不多也，有些杂志期期都有向量法的文章，讨论甚为热烈。笔者也写了一些小文章，见文[4-9]。
中学向量的内容本来不多，经过这么多老师（包括大学教授）的讨论，按道理来说，对向量的教学和解题应该早已弄清楚了才对。但笔者看了最近一些杂志上的文章，发现存在的问题不少，觉得有必要进一步对向量法的特点作一些介绍，同时也算是对笔者以前的几篇文章做一个小结。
一、向量特点分析
向量法解题的基本法则不多，只有4点：
法则1 是向量相加的“首尾相连法则”，即
。这个法则可以推广到多个向量，用来写出许多向量等式；
法则2 是向量数乘的意义和运算律，特别是可以用数乘一个向量来表示和它平行或共线的向量；
法则3 是向量内积（数量积）的意义和运算律，特别是相互垂直的向量内积为0；
法则4 是平面向量基本定理：如果
是平面上两个不共线的向量，则对于平面上任一向量a，存在唯一的一对实数
，使得
。
初等几何解题要用许多公理和定理，而向量法仅仅用这几条，这从根本上体现了向量法平易简捷的特色。这4条基本法则也展示了向量法的本质特点。下面进行详细分析。
对于向量回路，笔者认为是向量法区别于其他解题方法的本质特点。中的等号，可理解成“结果等效”。这与1+2=3中的“数量相等”有一定的区别，但并不难理解和接受。甲和乙都从A地出发去B地，甲是直接去A地，而乙却先是到C地办事再去B地，最终两人都到了B地，可谓殊途同归。下面这段对话常常出现在军事题材的影片中：
“你们现在什么位置？
报告长官，我们现在在A山头，离B山头还有30公里，但是过河的桥已经被敌人炸了，我们过不去！
我不管你们怎么过去，明天下午4点之前必须攻下B山头。不要说会流多少血，我对血没有兴趣；不要说死多少人，我不在乎，我只要结果。”
从A到B，有多条路可供选择；很多时候，我们更关心结果，而非过程。两点之间，直线最短，人尽皆知，但若两点之间根本无路可走，怎么办？搭桥也许需要花费较多的时间，我们选择另辟蹊径——绕！看似走弯路，实则是捷径！
很多文章都写道“向量是联系几何和代数的天然桥梁”，但为何天然？却语焉不详。回顾三角形的定义：“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形”，我们认为所谓天然就表现在向量和三角形都存在首尾相接的闭合回路，而三角形是最基本、最重要的几何图形，构成了几何学的基础，平面几何如此，立体几何亦如此。
图1
系。当然，共线的情形也不可遗漏。
关于平面向量基本定理。如图2，若
。这既可看做是向量的加法，又可看做是三角形全等中SAS定理的说明：由AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF推出△ABC≌△DEF，AC=DF。先证明了AC=DF，只有线段相等，AC与DF才能重合为一条边，两个三角形才有拼成平行四边形的可能。
图2
从另一角度看图2，若
，AB∥DE，BC∥EF，则可根据“有一条对应边相等的相似三角形全等”判定△ABC≌△DEF，AB=DE，BC=EF。这实质上就是平面向量基本定理。将两三角形拼在一起后，如图3，过C作AB的平行线，过A作BC的平行线，两线交于点D，构成平行四边形。
图3
在文[9]中，笔者详细论述了：平行四边形与平面向量基本定理有着天然的联系，平面向量基本定理则是平行四边形法则的扩展与延伸。即若把e看做是决定方向，把λ看做是决定大小的话，平面向量基本定理其实质就是平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等。
二、向量教学的几点注意
我们认为引入向量法，首先要让中学老师能够感受到向量法的优势；而不是可有可无，更不是增加负担。譬如说用小学的知识解鸡兔同笼问题感到很困难，等到中学学了解方程组之后，再来解就变得很容易，这就让学生感受到解方程组的方法很有用，很值得去学习。
笔者与中学老师交流的时候，发现一些中学老师没有感受到向量法的优势。经过调查研究，我们认为现在的向量教学和解题存在“穿新鞋走老路”的现象，披着向量的外衣，但实际上还是原来“综合几何”或“坐标法”那一套。
这种现象的造成，追本溯源，教材和教参的编写者要负相当大的责任。教材教参这个源头出了问题，中学老师们纷纷依葫芦画瓢，又在杂志上发表类似的文章，导致对向量法的误读进一步扩散。
1.将向量法等同于综合几何证法
首先我们来看苏教版（文[10]）教材上的一个例题。
图4
图5
图6
这一证明用到了重心分中线2：1的性质，否则证明还要长一些。其思想和坐标法本质上一样，在表达形式上比坐标法稍微简便，表现在一个点用一个字母表示，比用横、纵坐标表示更方便。一些中学老师认为，既然向量法和坐标法没有本质区别，为什么既要学坐标法还要学向量法，这不是增加学生负担么？笔者相信，这些老师看了下面这种证法之后，就会发现向量法与坐标法的不同之处了。
笔者在此无意否定坐标法，也不是说向量法就一定比坐标法更先进。而是认为：既然教材引入了向量法，所谓用人用其长处，那我们就要把向量的特点充分发挥出来，而不是穿新鞋走老路。
4.向量法不如综合几何证法么
接下来的例5在综合几何中，本是一道极常见的题目，根本不值得一提。随便找一个学过三角形相似的初中生都能轻轻松松做出来。就是这样一道题，却在高中的向量教学中，掀起了波澜。人教A版、北师大版、苏教版等多个版本的高中数学教材都选用了此题，或作例题或为习题。
例5 如图7，在平行四边形ABCD中E、F分别为AD、CD中点，连接BE、BF交AC于点R、T，求证R、T分别为AC三等分点。
图7
证明 第一步，建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化成向量问题：
。
从这可以看出，不是向量法本身有问题，而是没有正确使用向量法来解题。向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这也是将向量引入中学教材的一个重要原因。但现在一些资料过于注重其代数形式，忽视了几何形式，以致运用向量法解题时，与代数中的解应用题方法（设未知数，列方程）基本相同，将几何问题转化为方程组求解，其中还包括大量运算，较为繁琐。
一些资料将向量解题总结为“三部曲”：1.向量表示（把几何问题中的点、直线、平面等元素用向量表示）；2.向量运算（针对几何问题，进行向量运算）；3.回归几何（对向量运算结果作出几何意义上的解释）。这一总结是一个大的指导方针，从理论上来说，是没有问题的。在实际操作的时候，我们无需死守套路，完全可以根据几何意义列出等式，计算与图形融为一体；关键之处就在于领会向量几何，其运算不仅仅是数的运算，还包括图形的运算，这是向量法解题的特点。
三、向量教学要体现向量法优势
考虑到有教材初中就开始学习向量了。下面我们用向量法来证明初中的一些基本的平面几何定理和性质。
文[16]给出了勾股定理的向量法证明，源自1985年法国国民教育部数学教育委员会马蒂内访华讲演。
证明 （预备知识：由一个角的两边的任何一点向另一边作投影，其压缩的比值相同。）
图8
文[16]认为此证法“将线段投影，三角的余弦，以及未来的向量分解和数量积等知识都拧在一起，并用来证明勾股定理，在思想上更简约、更紧密了”。对于“多知识点融合”这一观点，笔者是赞同的。但勾股定理作为平面几何的基石，不能够出现得太晚，这也是以前的教材使用相似三角形证明勾股定理，而现在改用面积法证明的原因。
图9
我们先来看看中国古代数学名著《九章算术》中关于勾股定理的一个几何题：今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪（通斜）东北与乙会。问甲乙行各几何？如图9，假设二人的初始位置为A，后来会合位置为B，中间存在关系：
，即
。将等式两边进行平方得到余弦定理，再运用直角这一条件，即得勾股定理：
。其证明思路是极其自然的。既然是三角形，必然存在闭合回路；而结论牵涉到线段平方，所以将等式两边平方，得到的本是一般三角形所具有的余弦定理的性质，再加上直角这一条件，可得勾股定理。证明过程将已知条件都用了一遍，且只用了一遍，没有作任何辅助图形，应该是比较简单的了。
这是不是暗示古代数学家已经不自觉地在使用回路呢？文[17]认为：“勾股定理的出现，显示了人类已经能够初步地掌握方向的变化。两千六百多年前的人已经知道，如果从起点开始向东走四步，再向北走三步，则最后到达的地方离原出发点为五步之遥。也就是说人们已经会变化方向，而不再是单线地在前进。”
勾股定理的证法虽说有400多种，但无需添加辅助线的证法恐怕不多。而对于勾股定理的逆定理，证法就没那么多了。对勾股定理逆定理的经典证明，是在原三角形外，另外构造一个两直角边与原三角形相等的的直角三角形，然后通过三角形全等，说明原三角形是直角三角形。一些老师认为此构造法学生难以想到，于是纷纷进行再创造，譬如文[18]。但如果采用向量法，其证明是显然的。
下面是三角形中几个基本性质，用向量法很容易证明。
图10
图11
图12
图13
正如张奠宙和袁震东两位先生在文[16]中的小结所说，“向量和几何的融合，已是不可阻挡的潮流”。向量解题引入教材，也是必然，这也是好事：一方面能够使很多的知识贯穿起来，成为系列；另一方面也有利于学生进一步学习高等数学。但从目前的情况来看，如何编写向量法的教材，如何进行向量法的教学和解题，还很值得研究。对此有兴趣的读者，可以发邮件给笔者(zjz101@yahoo.com.cn)，大家共同讨论。
本文重在说明向量的特点，以示与综合几何法、坐标法的区别；所举例题都是常见习题，比较简单。在今后的文章中，我们会利用向量解一些难题，甚至是奥赛题，而且不局限于平面几何。