回归教材，注重探究，促进学生思维的发展--关于正弦定理和余弦定理的一轮反思_余弦定理论文

回归教材，注重探究，促进学生的思维发展——“正弦定理和余弦定理”一轮复习与反思，本文主要内容关键词为：定理论文,余弦论文,正弦论文,促进学生论文,注重论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、学情分析

      教学对象是四星级高中的高三物化组合普通班学生，基础良好，有较强的自主学习能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力.

      二、考点解读

      解三角形是数学高考中重点考查内容之一，而正弦定理和余弦定理是解决有关三角形问题的两个重要定理.高考对这一内容的考查既可能出现在填空题，也可能出现在解答题.填空题通常以考查三角形边角互化为主的小综合题形式出现，有一定难度；解答题主要考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理的综合运用，试题基本源于课本，难度虽然不大，但要求考生具有一定的运算能力和灵活运用正弦定理、余弦定理解题的能力.

      教学目标 （1）理解正弦定理、余弦定理的向量证法，掌握利用正弦定理、余弦定理实现三角形边角互化的方法与途径；（2）能根据条件灵活运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题；（3）通过三角函数、正弦定理、余弦定理、向量等知识间的联系体现事物的普遍联系与辩证统一.

      教学重点 能综合运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题.

      教学难点 合理选择正弦定理、余弦定理优化求解过程，解三角形中多解的取舍问题.

      三、过程实录

      （一）学生自测反馈

      用导学案辅助教学，课前以填空题的形式引导学生自主完成正弦、余弦定理的内容、变形、证明及其应用等知识的梳理，并留有下列自测题：

      （1）（教材第17页）在△ABC中，若（a+b+c）·（b+c-a）=3bc，则A=________.

      （2）（教材第10页）在△ABC中，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状为________.

      （3）（教材第11页）在△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，则△ABC的面积为________.

      （二）师生共同梳理

      ·定理的证明

      师：余弦定理、正弦定理有多种证明方法，请同学们回忆余弦定理的向量证法.

      

      师：上述证法简单明了，充分体现了向量的工具作用.这里运用了向量的什么知识实现了几何与代数的转化？

      学生共同回答：向量的数量积公式.

      师：正弦定理、余弦定理的向量证法，都是先构建三角形中的向量等式，然后利用向量的数量积运算将向量等式实数化，这是利用向量知识解决几何问题的一种重要方法与途径.

      ·定理的应用

      （1）解三角形中的三种类型

      师：如图2，下列各三角形用正弦定理还是余弦定理求解？

      

      生1：三角形①②中已知两边（两角）及其一对角（对边），可用正弦定理求解；三角形③④中已知三边和两边一夹角可用余弦定理求解.

      生2：三角形②还可以用余弦定理构建关于边c的一元二次方程求解.

      师：归纳起来，三角形①可用正弦定理求解，三角形③④可用余弦定理求解，三角形②既可用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解，这是可用正弦、余弦定理求解的三类三角形.

      （2）边角互化的两条途径

      师：说说自测题3的解题思路.

      生6：利用正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB将边统一化成角，转化为三角问题求解.

      

      师：正弦定理、余弦定理的上述变形是实现三角形边角互化的两条常用途径.

      （3）三角形边角关系的一条规律

      师：自测题1用什么定理求解？本题正确求解的关键是什么？

      生3：用的是正弦定理，正确求解的关键是多解的取舍问题.对于第1小题，由a＜c知角A为锐角，故仅有一解，而第2小题的答案应有两解.

      师：很好！“大边所对的角较大”是多解取舍时常用依据之一.再看下面的问题：在△ABC中，

，求cosC.

      师：本题的关键是如何判定角A是锐角还是钝角.

      

      师：两位同学用不同方法都得到了正确结论，但比较而言生5的方法更具一般性.一般地，在△ABC中，有sinA＞sinB

a＞b

A＞B.这是解三角形中多解取舍依据的一条规律.

      （三）典型例题讲解

      例1 （2013年北京高考题）在△ABC中，a=3，b=

，B=2A.

      （1）求cosA的值；（2）求c的值.

      

      方法2（求出cosC后用余弦定理） 略.

      

      师：本例中，通过对题设及结论的分析，合理选择正弦定理或余弦定理找到简便的解题途径是关键.解法3看似简单，其实因需排除增解实属不易.对多解取舍除了依据前面讲到的“三角形中，大角所对的边较大或正弦值较大”外，本题中根据已知三角函数值估算出角的范围也是常用的方法.

      探究：△ABC中，若有B=2A，三边a，b，c之间应满足什么条件？

      生8：由B=2A得cosB=2

-1，然后用余弦定理将角化成边.

      生9：由B=2A得sinB=2sinAcosA，用正弦、余弦定理将角化成边得

.

      师：生8虽然得到了三边间的关系式，但太复杂且不易化简，我们对此结论不满意.生9的结论简单了很多，能否进一步化简？

      生10：可通过因式分解得到a=c或

.

      师（追问）：当a=c时，b与a，c的关系如何？

      生10：当a=c时，△ABC是一个等腰直角三角形，

.

      至此，学生发现结论a=c包含在结论

中.由此，我们得到了令人满意的结论：在△ABC中，若B=2A，则

.

      正当我们要结束本题的讨论时，班内平时不大说话的同学表示他有更简单的解法.

      

      师：这真是一种大胆而巧妙的证法.其大胆之处是敢于将B=2A变形为B-A=A，打破传统的思维模式（用二倍角公式），而其巧妙之处是联合运用正弦定理、余弦定理化角为边，收到了意想不到的效果.

      例2 （教材第16页例6改编）如图3，在△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，D是BC上一点，且DC=2BD，求AD的长.

      

      

      师：本题还有其他解法吗？（停顿一下）由DC=2BD可联想到什么知识？

      

      师：解三角形问题归根到底是几何问题，因此解题中常需综合运用正弦定理、余弦定理及三角、向量等知识以达到简化解题过程的目的.

      （四）练习及课堂小结

      四、教学感悟

      （1）回归教材，变换形式进行数学“三基”的再强化

      高三数学复习要重视回归教材，已是全体高三教师的共识.但在回归教材的时间节点上，目前比较通行的是在高三一轮、二轮复习结束后距高考一个月的时间内进行，作为一轮与二轮全面、强化复习后的查漏补缺、“保温”训练.这项工作固然必要，但数学“三基”的落实、数学素养的形成在平时，而非一朝一夕之功.教材中定理和例习题具有典型性、示范性和关联性，它们或是渗透某些数学方法，或是体现某种数学思想，因此在高三一轮复习中，要认真分析教材与高考的连接点，充分利用教材相关资源，通过改编例习题的形式将相关重要知识点串起来，系统梳理知识，构建知识网络；通过挖掘教材中定理例题所隐含的数学思想方法（如本课中余弦定理向量证法中隐含的向量等式实数化的方法），使学生了解到高考中所用的一些解题思想方法并非是无源之水，无本之木，而是来源于教材，从而使学生更易理解和掌握数学思想方法.

      （2）注重联系，“合纵连横”进行知识体系的再建构

      高三一轮复习的重点是紧扣教材，夯实“三基”，但如果仅停留在教材知识的简单重复与罗列上，无法激起学生主动参与的兴趣.复习过程中，不妨将分散在教材各章节中有联系的知识灵活“串联”起来，并以多种多样的方式加以呈现，让学生在回归教材时进行再整理、再综合，进而掌握不同知识的结合点，提高综合运用知识解题的能力，发展学生的联想、归纳、推理等思维能力.

      （3）突出探究，着眼能力进行核心原理的活运用

      高三数学复习课容量大、时间紧，课堂上教师一言堂、满堂灌的现象较普遍.实际上，高三数学复习中，教师精心选择好的素材和试题，适时让学生自主或师生合作进行解法的探究及知识的引申拓展，这不仅不会影响进度，还会使课堂更充满活力，有利于促进学生思维的发展，培养学生的创新精神和实践能力，提高课堂教学的效率和品位.

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